РОСЖЕЛДОР
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ростовский государственный университет путей сообщения»
(РГУПС)
,
ЗАДАЧА О СВОБОДНОМ СКОЛЬЖЕНИИ КОЛЕСА
Учебно-методическое пособие по курсу «Прикладные задачи динамики»
Ростов–на–Дону
2007
УДК 534.014+531.4
Румянцев, А. Н.
Задача о свободном скольжении колеса : учебно-методическое пособие/ , ; Рост. гос. ун-т путей сообщения.– Ростов н/Д, 2007. – 12 с.: ил. Библиогр. 7 назв.
Изучается задача о свободном скольжении колеса по негладкой поверхности. Приведены условие задачи, правила выбора вариантов контрольной работы и пример решения типовой задачи.
Учебное пособие предназначено для студентов-заочников и студентов специальностей 290900 «Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство» и 290100 «Мосты и тоннельные сооружения» РГУПС.
Рецензент д-р техн. наук, проф. (РГУПС)
Учебное издание
Прикладные задачи динамики
Учебно-методическое пособие
Редактор
Корректор
Подписано в печать______2007г. Формат 60×80/16.
Бумага газетная. Ризография. Усл. печ. Л 0,73.
Уч.-изд. л. 0,98. Тираж 60. Изд. №.____ Заказ № ____.
Ростовский государственный университет путей сообщения.
Ризография РГУПС.
Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. им. Ростовского Стрелкового Полка Народного ополчения, 2.
© Ростовский государственный университет путей сообщения, 2007
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ДАННЫЕ К УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ
РИСУНКИ ЗАДАЧИ
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТИПОВОЙ ЗАДАЧИ
Постановка задачи
Область трения
Область равновесия
Реакция негладкой поверхности при смешанных режимах движения
Кинематическая диаграмма
Параметры ускорения колеса при разных режимах его движения
Динамическая диаграмма
1 случай: V0= 1м/с, rw0= 8м/с.
2 случай: V0= 8м/с, rw0= 1м/с.
Библиографический список
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
Студенты-заочники изучают курс «Прикладные задачи динамики» один семестр. В конце семестра по этому курсу сдается зачет. В течение семестра выполняется контрольная работа, которая перед зачетом защищается.
Контрольная работа представляет собой решение задачи о свободном скольжении диска. К задаче дается 10 строк дополнительных данных к условию задачи в таблице 1 и 9 рисунков в таблице 2.
Студент во всех задачах выбирает номер рисунка в таблице 2 по предпоследней цифре шифра, а номер дополнительных данных к условию в таблице 1 – по последней цифре.
Например, если шифр студента-заочника оканчивается числом 48, то берутся рис. 4 из таблицы № 2 и дополнительные данные к условию из строки 8 таблицы № 1.
Контрольная работа выполняется в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указывается название дисциплины, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет и специальность. Может указываться также и адрес для переписки.
При оформлении контрольной работы на первой странице тетради указывается номер варианта, далее делается чертеж и записывается, что в задаче дано и что требуется найти (текст условия задачи можно не переписывать). Рисунки по ходу решения задачи выполняются с учетом условий решаемого варианта; на них все углы и размеры должны соответствовать этим условиям.
Решение задачи необходимо сопровождать краткими пояснениями (смотри приведенный далее пример) и подробно излагать весь ход расчетов. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.
Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, проверяться не будут и возвращаются для переделки.
К работе, переделанной для повторной проверки (если она выполнена в другой тетради), должна обязательно прилагаться не зачтенная работа.
При подготовке к зачетам и экзамену студенты-заочники пользуются литературой, список которой приведен в конце методических указаний.
УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ
Объект, среднее сечение которого имеет круговую форму радиуса r, перемещается по негладкой горизонтальной поверхности.
На рисунках к задаче указано, чему равен радиус объекта r и его радиус инерции i относительно центральной оси.
Там же приведены значения модуля трения поверхности (f), модуля трения объекта (b) и модуля смятия (d) между ними. При решении задачи следует убедиться, что значения этих модулей удовлетворяют условию:
, 
, 
.
В начальный момент времени объект находится в режиме свободного скольжения, то есть, его угловая скорость и скорость его центра (оси) направлены так, как показано на рисунке, и на объект не действует никаких сил кроме силы тяжести и силы реакции негладкой поверхности.
Определить, как будет двигаться объект при различных начальных условиях. Требуется получить решение задачи в двух случаях. Значения параметров, определяющих начальные условия движения объекта в этих случаях, приведены в таблице (w0 - начальная угловая скорость объекта, v0 - начальная скорость его центра (оси)).
Определить, в какие режимы движения попадает объект в обоих этих случаях. Какие значения принимают скоростные параметры объекта в начале и конце каждого режима. На какой угол повернется объект и какое расстояние пройдет его центр (ось) в каждом режиме движения.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ДАННЫЕ К УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ
Таблица 1
№ | 1-ый случай | 2-ой случай | |||
rw0[м/с2] | v0[м/с2] | rw0[м/с2] | v0[м/с2] | ||
0 | 4 | 1 | 3 | 9 | |
1 | 8 | 4 | 2 | 6 | |
2 | 9 | 3 | 3 | 12 | |
3 | 12 | 3 | 1 | 2 | |
4 | 12 | 6 | 2 | 8 | |
5 | 2 | 1 | 3 | 9 | |
6 | 8 | 2 | 1 | 2 | |
7 | 12 | 4 | 1 | 4 | |
8 | 6 | 3 | 2 | 8 | |
9 | 6 | 2 | 4 | 8 |
РИСУНКИ ЗАДАЧИ
Таблица 2
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТИПОВОЙ ЗАДАЧИ
Рис. 1
Дано: радиус инерции колеса – i=0,177м,
радиус колеса – r=0,25м, f=0,3, b=0,25, d=0,1.
1-ый случай: .rw0=8 м/с, v0=1 м/с;
2-ой случай: rw0=1 м/с, v0=8 м/с.
Найти: как будет двигаться колесо в обоих случаях?
Постановка задачи
1 Объект исследования – колесо.
Введем неподвижную систему координат 0xyz, направив ось 0x по границе поверхности, а ось 0z по нормали к ней (рис. 1). Ось 0y будет направлена перпендикулярно плоскости колеса (от нас). Совместим начало системы координат с начальным положением точки контакта колеса и поверхности. Начальные условия движения колеса имеют вид:
. (1)
2 Активной силой, приложенной к колесу, является сила тяжести mg.
Реакция негладкой поверхности 
разлагается на следующие составляющие: нормальная реакция 
, сила и момент сцепления (рис. 1).
Характеристики сцепления при плоском движении колеса по прямолинейной поверхности ограничены законами Кулона вида [4–7]:
, 
, 
. (2)
Рис. 2
Область трения
Геометрическая интерпретация выражений (2) означает, что линия действия силы не может выходить за пределы области, изображенной на рис. 2, которая называется областью трения. Линия действия силы проходит через отрезки, соединяющие точки B/ и B, D/ и D. Длины этих отрезков определяются модулями трения из (2): 
, 
. Лучи, исходящие из точек B/, B и D/, D, параллельны и составляют с нормалью к поверхности угол j, тангенс которого равен модулю трения: .
Линия действия силы проходит при качении без проскальзывания через одну из узловых точек D или D/, при буксовании – через B или B/, при юзе, имея максимальное отклонение от нормали, проходит либо между линиями C и T, либо – T/ и C/. Эти области на рис. 2 обозначены соответственно К и К/, Б и Б/, Ю и Ю/.
Штрих над буквой означает движение влево.
При движении колеса в смешанных режимах линия действия реакции негладкой поверхности проходит по линиям, обозначенным соответствующими буквами. Штрих над буквой означает движение влево.
Область равновесия
Рис. 3
Законы трения (2), выраженные через проекции вектора диаграммной реакции 
, 
, принимают вид:
, 
, 
. (2/)
Геометрическая интерпретация ограничений (2/) означает, что вектор диаграммной реакции 
не может выходить за пределы шестиугольника (рис. 3), симметрично расположенного относительно осей системы координат 0x1x2. Этот шестиугольник и называется областью равновесия.
Вершины области равновесия имеют следующие координаты:
P(b, –b+ d); T(–f + d, f); C(–b, f); P/(–b, b– d); T/(f – d, –f); C/(b, –f).
Реакция негладкой поверхности при смешанных режимах движения
Обозначим реакцию негладкой поверхности (рис. 1) в случаях движения колеса в смешанных (рис. 2) режимах: 
– при скольжении, 
– при торможении (юзокачении) и 
– при разгоне (буксокачении).
Определим эти проекции силы на ось 0x и проекции момента относительно оси, параллельной оси 0y и проходящей через центр колеса, в случаях скольжения вправо, торможения вправо и разгона влево:
= –0,3N, 
= 0,0625N,
= –0,3N, 
= 0,05N, (3)
=–0,15N,
=0, 0625N
Кинематическая диаграмма
Рис. 4
3 Обозначим (рис. 1) v и a – проекции скорости и ускорения точки C на ось 0x, w и e – проекции угловой скорости и углового ускорения колеса на ось 0y.
Для полной характеристики режимов плоского движения колеса по поверхности используется кинематическая диаграмма. На плоской системе координат 0x1x2 (рис. 4) строится вектор диаграммной скорости колеса 
, проекции которого на оси кинематической диаграммы равны:
, 
.
Положение вектора диаграммной скорости характеризует режим движения колеса. Конец вектора диаграммной скорости будем обозначать буквой D, и называть точкой движения. Разные области кинематической диаграммы обозначены начальными буквами режимов движения колеса. Линия K (рис. 4) составляет с осью 0x2 угол j, величина которого определяется значением параметра J: 
.
Так как колесо движется под действием постоянных сил, то уравнения движения колеса в любом режиме описываются законами равнопеременного движения и при начальных условиях (1) имеют вид:
, 
. (4)
4 Спроецируем [1–3] уравнение теоремы о движении центра масс колеса на оси 0x и 0z, а уравнение теоремы об изменении главного кинетического момента колеса – на ось 0y, направленную от нас (рис. 1):
; 
; 
, где 
. (5)
Из уравнений движения (5) определяем параметры ускорения колеса:
, 
, (6)
где 
= 0,5. Далее будем считать g = 10 м/с2.
Параметры ускорения колеса при разных режимах его движения
При скольжении вправо: 
= –3, 
= 5.
При торможении вправо: 
= –3, 
= 4. (6/)
При разгоне влево: 
= –1,5, 
= 5.
Определим значения параметров ускорения при движении колеса в режиме качения, например, вправо. Для этого подставим 
и 
в уравнения (5), которые примут вид ; 
.
Откуда находим: 
= –2/3. (6//)
Динамическая диаграмма
Рис. 5
Чтобы определить характер движения колеса при различных начальных условиях построим динамическую диаграмму, в которой статическая и кинематическая диаграммы объединены в одно целое.
На рис. 5 показана траектория точки движения D свободного колеса, в начальный момент времени скользящего вправо, для двух вариантов начальных условий движения:
1) 
, 2) 
5 Для получения окончательного количественного решения задачи о движении (диска) колеса по негладкой поверхности подставим найденные значения параметров ускорения колеса (6) в уравнения его движения (4).
1 случай: V0= 1м/с, rw0= 8м/с.
Законы изменения скорости при скольжении диска:
Определим время скольжения диска и угловую скорость диска в конце 1-го этапа. При t = t1 V1=0 w = w1: t1 = 1/3 = 0,33 c, rw1 = 8 –5/3 = 6,33 м/с.
Законы скольжения диска:
Определим путь, пройденный диском, и число оборотов при скольжении: при t = t1 S = S1, j = j1 , N1 = j1/2p: S1 = 0,33*(1-1,5*0,33) = 0,17 м,
rj1=0,33*(8-2,5*0,33)= 2,37м, N1 = 2,37/2pr =2,37/(2*3,14*0,25)= 1,51об.
Законы изменения скорости при буксокачении диска:
Определим время буксокачения диска и скорости в конце 2-го этапа.
При t = t2 rw2 + V2 = 0: 6,33-4 t2 – 3 t2 = 0, t2 = 6,33/7 = 0,904 c,
V2 = – 3*0,904 = -2,72 м/с, rw2 = 6,33-4*0,90 = 2,72 м/с.
Законы буксокачения диска:
Определим путь, пройденный диском, и число оборотов при буксокачении: при t = t2 S = S2, j = j2 , N2 = j2/2p: S2 = -1,5*(0,904)*(0,904) = -1,23 м,
rj2=0,904*(6,33-2*0,904)=4,09м, N2=4,09/2pr=4,09/(2*3,14*0,25)=2,61об.
Законы изменения скорости при качении диска:
Определим время качения диска. При t=t3 rw3 =V3 =0: t3=2,72*3/2=4,08c.
Законы качения диска:
Определим путь, пройденный диском, и число оборотов при качении:
При t = t3 S = S3, j = j3 , N3 = j3/2p: S3 = 4,08*(-2,72+4,08/3) = -5,55 м,
rj3 = 5,55 м, N3 = 5,55/2pr =5,55/(2*3,14*0,25)= 3,54 об.
Проиллюстрируем полученное решение на рис. 6.
Рис.6
2 случай: V0= 8м/с, rw0= 1м/с.
Законы изменения скорости при скольжении диска: 
Определим время скольжения диска и скорость оси диска в конце 1-го этапа. При t = t1 w1 = 0 V = V1: t1 = 1/5 = 0,2 c, V1 = 8 –3*0,2 = 7,4 м/с.
Законы скольжения диска:
Определим путь, пройденный диском, и число оборотов при скольжении: при t = t1 S = S1, j = j1 , N1 = j1/2p: S1 = 0,2*(8– 1,5*0,2) = 1,54 м,
rj1 = 0,2*(1–2,5*0,2) = 0,1 м, N1 = 0,1/2pr=0,1/(2*3,14*0,25) = 0,064 об.
Законы изменения скорости при юзокачении диска:
Определим время юзокачения диска и скорости в конце 2-го этапа.
При t = t2 rw2 + V2 = 0: –4 t2 +7,4 – 3 t2 = 0, t2 = 7,4/7 = 1,06 c,
V2 = 7,4–3*1,06 = 4,23 м/с, rw2 = –4*1,06 = –4,23 м/с.
Законы юзокачения диска:
Определим путь, пройденный диском, и число оборотов при юзокачении: при t = t2 S = S2, j = j2 , N2 =j2/2p: S2 = 1,06*(7,4–1,5*1,06) = 6,16 м,
rj2 = –2*1,06*1,06= -2,25м, N2 = –2,25/2pr = –2,25/(2*3,14*0,25)= -1,43об.
Законы изменения скорости при качении диска: 
Определим время качения диска. При t= t3 rw3=V3=0: t3=4,23*3/2=6,35c.
Законы качения диска:
Определим путь, пройденный диском, и число оборотов при качении:
При t = t3 S = S3, j = j3 , N3 = j3/2p: S3 = 6,35*(4,23–6,35/3) = 13,42 м,
rj3 = –13,42 м, N3 = –13,42/2pr = –13,42/(2*3,14*0,25)= –8,55 об.
Проиллюстрируем полученное решение на рис. 7.
Рис.7
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Яблонский, А. А. Курс теоретической механики: учебник/ , . – 9-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань» 2004.
2. Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики : учеб. для втузов / . – 13-е изд. – М.: Высш. шк., 2003.
3. Никитин, Н. Н. Курс теоретической механики : учебник для машиностроит. и приборостроит. спец. вузов / . – М.: Высш. шк., 1990.
4. Шехов, В. П. Прикладные задачи динамики. Качение колеса со скольжением по негладкой поверхности: методические указания / . – Ростов н/Д: Рост. гос. ун-т путей сообщения, 1998. Шехов, В. П. Механическое трение при качении со скольжением : учеб. пособие / . – Ростов н/Д: Рост. гос. ун-т путей сообщения, 2003.
5. Шехов, В. П. Трение в динамике: учеб. пособие / .– Ростов н/Д: Рост. гос. ун-т путей сообщения, 2005.
6. Шехов, В. П. Прикладные задачи динамики: учеб. пособие / .– Ростов н/Д: Рост. гос. ун-т путей сообщения, 2007.
