УДК 519.6
НАХОЖДЕНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ ПРИ ЗАДАННОМ ПЕРЕПАДЕ ДАВЛЕНИЯ
Э.
ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»
*****@***ru
Задачи о нахождении вызванных перепадом давления течений в каналах различной формы имеют практическое приложение. Например, анализ таких течений важен при оценке загазованности отдельных участков подземных сооружений (шахт, метро и т. п.). Поэтому целью данной работы является построение метода решения нестационарной задачи о движении в каналах различной формы однородной вязкой несжимаемой жидкости при задании давления на входах и выходах канала.
Рассмотрим двумерную задачу о протекании вязкой однородной несжимаемой жидкости в канале с заданным перепадом давления на входе и выходе:
(1)
, (2)
, (3)
где 
- вектор скорости, 
- давление, 
- коэффициент кинематической вязкости, 
, 
- время, 
- область решения (см. рис.1), 
, 
, 
, 
- непроницаемые твердые стенки,
- участки протекания, 
- касательный вектор к границе .
В работе [1] показано, что для существования и единственности решения нестационарной задачи, кроме задания давления на участках протекания, необходимо задать только одну компоненту скорости так, чтобы вектор скорости на границе был ей перпендикулярен (3). Но в этом случае отсутствие значения второй компоненты вектора скорости не позволяет без дополнительных условий на нее построить процесс численного решения задачи.
Для численного решения нестационарной системы уравнений (1) с краевыми условиями (2),(3) построим в области 
разнесенную прямоугольную неравномерную сетку 
, согласованную с границей 
[2].
Будем решать задачу (1)-(3) с помощью трехэтапной неявной схемы расщепления по физическим факторам [3]:
(4)
(5)
(6)
На первом этапе методом дробных шагов с использованием продольно-поперечной прогонки решается уравнение движения без градиента давления. На втором – уравнение Пуассона для давления (5). И на третьем этапе с использованием решений (4) и (5) осуществляется поправка скорости (6).
На методом контрольного объема аппроксимируем уравнение (4) разностной схемой 2-го порядка по пространству. Для решения необходимо задать скорость на входе и выходе. Поэтому для замыкания системы и реализации схемы продольно-поперечной прогонки аппроксимируем уравнение (4) на границах протекания внутрь области решения, заменяя производные односторонними разностями первого порядка аппроксимации. В итоге матрица коэффициентов системы для прогонки в перпендикулярном границе направлении будет иметь следующую структуру.
То есть, кроме трех диагоналей, в первой и последней строке матрицы есть по одному ненулевому элементу. Исключая их с помощью преобразований Гаусса, мы получим систему с трехдиагональной матрицей, которая решается обычной трёхточечной прогонкой.
В постановке задачи отсутствуют граничные условия на давление на стенках канала. Чтобы задать их и тем самым замкнуть систему, выразим из уравнений движения производную по нормали 
. Т. о., для уравнения Пуассона (5) получена смешанная краевая задача. Поскольку (5) приходится решать на каждом шаге по времени, то выгодно было бы использовать какой-либо неградиентный метод, например, чебышевский. Но матрица СЛАУ в этой задаче является несамосопряженной и границы ее спектра неизвестны. Поэтому для решения была использована многошаговая итерационная схема, которая в случае самосопряженной матрицы является чебышевской [4], а также может быть использована, когда оператор системы несамосопряжен. Она имеет достаточно хорошую сходимость при несамосопряженном операторе и устойчива к неточному заданию входных параметров. Таким образом, очень выгодно в начале итерационного процесса, задав некоторым образом входные данные схемы, определить набор итерационных параметров и использовать его на каждом временном шаге.
Для тестирования работоспособности предложенного метода рассмотрим задачу о течении в разветвляющемся канале. На рис.1 представлен результат расчета на сетке с количеством узлов 150х250; на границах задано стационарное давление 
.
Как видно из рисунка, при установлении течения вблизи верхней стенки ответвления возникает вихрь, постепенно увеличивающийся в размерах. При выходе на стационарное течение (нижняя правая часть рис.1) он занимает почти весь проход, на границе протекания некоторые линии тока направлены внутрь канала, некоторые – наружу. Таким образом, подтверждается, что задание давления на границах канала не определяет направление вектора скорости на этих границах. Полученное стационарное течение совпадает с решением аналогичной стационарной задачи с точностью до 0,1%. Следует также отметить, что закон сохранения массы выполняется с точностью до 0,01%.
Рис. 1. Течение в разветвляющемся канале, моменты времени t=7,98; 12; 15,96; 19,68 соответственно
Таким образом, аппроксимация уравнений движения на границах протекания внутрь области, а также использование этих уравнений для задания краевых условий второго рода для давления, позволили получить метод, с помощью которого можно решать рассмотренный класс задач, находя течения, в которых заранее нельзя определить направление движения жидкости на границе.
Литература
1. Рагулин, В. В. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напора / В. В. Рагулин // Динамика сплошной среды: сб. научн. тр. // Новосибирск. – 1976. – Вып. 27. – с.78-92.
2. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар // Москва: Энергоатомиздат. – 1984. - 124с.
3. Белоцерковский, О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред / О. М. Белоцерковский // Москва: Наука. – 1984. - 520с.
4. Захаров, Ю. Н. Градиентные итерационные методы решения задач гидродинамики / Ю. Н. Захаров // Новосибирск: Наука. – 2005. - 239с.
Основные порталы (построено редакторами)