Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Курсовая работа по физике В.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ДАННОЙ РАЗРАБОТКЕ
Эта разработка создана для отработки экспериментальных и исследовательских умений и компетенций учащихся. Часть материала заимствована из других источников (см. ссылки), а часть - авторская методика, применяемая в течении нескольких лет.
В разработке собраны теоретические сведения о математическом и физическом маятниках, приведено их сравнение.
В практической части дан авторский вариант работы по исследованию периода математического маятника в котором подробно описан весь механизм проведения лабораторной работы в 9-х классах.
Особый упор сделан на умение не только строить графики, но и анализировать их и использовать для расчётов, что позволяет лучше подготовиться к ЕГЭ.
В работе предлагаются и заимствованные разработки с необходимыми ссылками на источники, позволяющие учителю выбирать наиболее приемлемые для него варианты работы с учащимися.
Черняев Александр Васильевич.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
рис.1
Уравнение движения математического маятника
Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая
двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник),
или по сфере (сферический маятник).
В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.
Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса
l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М (маятника) углом отклонения φ радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную Mτ в сторону положительного отсчёта угла φ, составим естественное уравнение движения.
Это уравнение образуется из уравнения движения mW=F+N, (1) , где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи.
Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.
, (2)
Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде
или 
, где W есть ускорение точки.
Итак уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных
уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой: 
или 
.
В нашем случае получим в проекции на ось t
,где m есть масса маятника.
Так как 
или 
, отсюда находим
.
Сокращая на m и полагая
, (3)
будем окончательно иметь:
,
,
,
. (4)
Рассмотрим сначала случай малых колебаний.
Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол φ и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут:
при t = 0, 
. (5)
Из интеграла энергии:
, (6)
где V — потенциальная энергия, а h — постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол φ≤φ0. Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол φ0 мал (φ0≤1); тогда угол φ будет также мал и
можно приближённо положить sin φ≈ φ. При этом уравнение (4) примет вид
. (7)
Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического
колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид
, (8)
где A и B или α и ε суть постоянные интегрирования.
Отсюда сразу находим период (T) малых колебаний математического маятника
(период — промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее
положение с той же скоростью)
и 
,
т. к. sin имеет период равный 2π, то ωT=2π, (π=3,14), откуда
(9)
Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:
. (10)
Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:
φ0 = A, 0 = ωB, т. е. B=0.
Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях
(5) будет:
φ = φ0cos ωt. (11)
Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике.
Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как
,
то (4) можно представить в виде
.
Отсюда, умножая обе части уравнение на dφ и интегрируя, получим:
. (12)
Обозначим здесь через φ0 угол максимального отклонения маятника;
тогда при φ = φ0 будем иметь 
, откуда C = ω2cosφ0. В результате интеграл (12)
даёт:
, (13)
где ω определяется равенством (3).
Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения
, (14)
где — работа на перемещении M0M активной силы F, если учесть, что в нашем случае v0=0, 
и 
(см. рис.1).
Из уравнения (13) видно, что при движении маятника угол φ будет изменяться между
значениями +φ0 и -φ0 (так как, |φ|≤φ0), т. е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении вправо (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:
при t=0, φ=0. (15)
Кроме того, при движении из точки A будет 
;
извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:
.
Разделяя здесь переменные, будем иметь:
. (16)
Так как
, 
,
то
.
Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем:
. (17)
Чтобы проинтегрировать уравнение (17), нужно найти квадратуру левой части.
Для этого перейдём от φ к новым переменному α, полагая:
, где 
. (18)
Тогда
,
откуда
.
Кроме того,
.
Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя ω его значением (3),
получим:
. (19)
По принятым начальным условиям (15) при t=0 угол φ=0, а следовательно,
как видно из (18), и α=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19)
определённые интегралы справа от 0 до t, а слева от 0 до α, получим
закон движения маятника в виде
. (20)
Интеграл, стоящий в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический
интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического
интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т. е.
.(21)
Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел α как функцию от интеграла
u, то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:
, или
. (22)
Беря от обеих частей равенства (22) синус, мы получим:
. (23)
Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20), 
, то, переходя в равенстве (23) от α к φ с помощью формулы (18), найдём закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию sn, в виде
. (24)
Период колебаний
Найдём период T колебания маятника. Из положения φ = 0 в положение φ = φ0
маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (18),
при φ= 0 и α = 0, а при φ = φ0 величина
, то из уравнения (20) имеем:
. (25)
Таким образом, определение периода колебаний маятника сводится к вычислению
величины
, (26),
представляющей собой четверть периода эллиптического интеграла (21).
Известно (формула Валлиса), что
.(27)
Разлагая в выражении (26) подынтегральную функцию в ряд, получим:
.
Тогда, используя формулу (27), будем иметь:
.(28)
Подставляя это значение K в равенство (25) и учитывая, что
,
получим для периода колебаний плоского математического маятника выражение
. (29)
Следовательно, чем больше φ 0 (угол размаха), тем больше период
колебания маятника.
Таким образом, математический маятник свойством изохронности не обладает. Изохронность колебаний (др.-греч. ίσος «равный» + χρόνος «время») — физический термин, обозначающий независимость периода собственных колебаний колебательной системы от амплитуды этих колебаний. Колебания, период которых не зависит от амплитуды называют изохронными колебаниями.
Если при малых размерах ограничиться в формуле (29)
только двумя первыми членами, то, полагая 
, получим приближённое выражение периода
. (30)
Выводы
1.Получено уравнение простого гармонического колебания, закон движения для
малых колебаний, закон движения маятника через эллиптическую функцию.
2.Получено выражение для периода колебаний маятника.
Литература
1. Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969.
2. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981.
3. http://works. tarefer. ru/89/100254/index. html
Более простой вывод формулы расчёта периода математического маятника
ФИЗИЧЕСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Рисунок 1.
Физическим маятником называется твердое тело, шарнирно закрепленное на горизонтальной оси и движущееся под действием силы тяжести (рис. 1).
Точка О пересечения оси вращения х с плоскостью, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной оси х, называется точкой подвеса маятника.
Дифференциальное уравнение колебаний физического маятника 
где lo=OC - расстояние от центра масс С до точки О; G - вес тела.
Дифференциальное уравнение малых колебаний физического маятника (при φ≈sin φ)
Кинематическое уравнение малых колебаний физического маятника
где φ0 и ω0 - начальный угол отклонения от вертикали и начальная угловая скорость маятника;
амплитуда колебаний;
начальная фаза;
круговая частота физического маятника.
При амплитуде а≤8° погрешность при рассмотрении колебаний физического маятника как малых составляет менее 0,1%, при амплитуде а≤22° погрешность менее 1%.
Период малых колебаний физического маятника: 
Математический маятник - сосредоточенная масса на конце гибкой нерастяжимой нити длиной l - является частным случаем физического маятника.
Дифференциальное уравнение малых колебаний математического маятника
Период малых колебаний математического маятника
Приведенной длиной lпр физического маятника называется длина такого математического маятника, который имеет одинаковый период колебаний с данным физическим маятником:
где m - масса тела; rXc - радиус инерции тела относительно центральной оси хс, параллельной оси подвеса х.
Точка К, лежащая на расстоянии lпр от центра подвеса О на прямой ОС, называется центром качания. Если центр качания К поменять местами с центром подвеса О, период малых колебаний не изменится.
Если менять положение точки подвеса О физического маятника, период колебаний его может меняться (рис. 2) от ∞ (при l0=0 и l0→∞) до некоторой минимальной величины Тмин при l0=rХс:
Рисунок 2.
Ссылка на используемый ресурс http://www. baurum. ru/alldays/?cat=dynamics-solid&id=3897
Лабораторная работа
«Исследование периода колебаний математического маятника»
Цель работы: Определить параметры, от которых зависит период математического маятника, и получить зависимость периода колебаний от этих параметров.
Оборудование: штатив, нить, подвесы
Измерительные приборы: линейка, секундомер.
Схема установки
Работа состоит из трёх этапов:
подготовительного этапа, этапа измерений, этапа обработки результатов.
Подготовительный этап
Целью подготовительного этапа является подготовка учащихся к самостоятельной исследовательской работе с соблюдением аккуратности и точности измерений.
Вопросы, задаваемые перед лабораторной работой:
Что такое математический маятник?(это груз в виде материальной точки, подвешенный на нерастяжимой и невесомой нити)
(нет, не является: груз – не материальная точка, нить – не нерастяжима и
не невесома)
3. Что необходимо сделать, чтобы приблизить маятник к «математическому»?
(длина нити достаточно велика по сравнению с размерами груза, а масса груза достаточно велика по сравнению с массой нити)
4. Как следует измерять длину вашего маятника?
а) от точки подвеса, до точки крепления груза
б) от точки подвеса до середины груза
в) от точки подвеса до нижней части груза
г) как - то иначе (укажите, как?)
(правильный вариант: (б) )
Следует отметить, что груз не материальная точка, а маятник не математический, а физический. Поэтому нужна поправка на длину нити, чтобы физический маятник более соответствовал математическому.
5. Что необходимо предпринять для увеличения точности измерений?
Если не будет нужных ответов, то необходимо продемонстрировать, что выбор более точных инструментов не всегда гарантирует более точные измерения. Для этого достаточно сильно укоротить нить и запустить маятник. Учащиеся сами убедятся, что главным ограничением точности является скорость нашей реакции при попытке непосредственно измерить период колебаний. Это послужит основанием для применения иной методики: выполнить 3 серии измерений времени 10 колебаний, а затем усреднить полученный результат.
Второй проблемой является невозможность точной фиксации положений маятника в начале и в конце колебаний.
6. Может ли повлиять амплитуда колебаний на результаты опыта и каким образом?
Из теории ясно, что период математического маятника всё - таки зависит от амплитуды, но лучше это объяснить не посредством теории, а с помощью наглядной демонстрации. Для этого нужно взять достаточно длинную нить и запустить маятник. При определённой большой амплитуде маятник начнёт задевать штатив и даже немного его раскачивать. На этот факт нужно обратить особое внимание учащихся и попросить их отклонять маятник лишь на малые углы!
7. Как влияет на период колебаний маятника наличие среды (воздуха)?
а) период колебаний становится больше, так как …
б) период колебаний становится меньше, так как …
в) период колебаний не изменится, так как …
Нужно объяснить, что колебания в среде будут затухающими. Следовательно период
будет больше из-за наличия среды, так как средняя скорость станет меньше.
8. По результатам ваших ответов на предыдущие вопросы обоснуйте, какими
параметрами должна обладать ваша установка и какие действия вы будете
производить для более точных измерений?
Здесь нужно показать, что период математического маятника не зависит от массы груза. Для этого можно запустить маятник при фиксированной длине нити с грузами разной массы и сравнить результаты.
С другой стороны необходимо продемонстрировать зависимость периода математического маятника от длины нити.
Таким образом, основным параметром является длина нити.
На этом подготовительный этап закончен. Ученики готовы выполнять работу.
Но полезно будет перед работой просмотреть ресурс (очень советую)
http://www. /watch? v=je3BV5MHJ60
или http://rutube. ru/tracks/3186150.html
(ссылку необходимо скопировать в строку браузера)
Инструкция к работе
(раздаётся каждому учащемуся перед работой)
Этап измерений
1. Собрать установку: штатив, нить, груз
2. Составить таблицу измерений
Длина нити L, м | 1 серия по 10 колебаний Общее время Т1,с | 2 серия по 10 колебаний Общее время Т2,с | 3 серия по 10 колебаний Общее время Т3,с | Среднее значение периода колебаний по сериям Т, с |
3. Произвести измерение периода колебаний маятника, начиная с L=0,05м до L= 0,60м с шагом 0,05м, выполняя для каждой длины по 3 серии из 10 колебаний. Результаты каждой серии измерений необходимо записать в таблицу.
4. После этапа измерений необходимо в тетради произвести отдельный расчёт среднего значения периода колебаний по сериям (Т). Для расчёта воспользоваться формулой:
Т =( Т1+ Т2+ Т3)/30
Записать эти данные в таблицу. Этап измерений в классе завершён.
Подписать данные у преподавателя! Далее этап обработки результатов (дома).
Этап обработки результатов
5. Построить в правильно подобранном масштабе график зависимости Т(L), где по вертикальной оси отложены значения Т, а по горизонтальной оси значения L
(см. инструкцию по построению графика).
6. Сравнить данную зависимость со следующими теоретическими вариантами:
а) Т= 2πL/
g, б) Т= 2π
L/g, в) Т= 2π
L/g
и выбрать наиболее подходящую зависимость для теоретического описания. Для этого необходимо построить по тем же значениям длин L, что и в эксперименте, графики этих зависимостей и сравнить их с экспериментальным методом наложения.
7. По результатам анализа вывести для отчёта на одном графике 2 зависимости – экспериментальную и теоретическую в разном цвете и произвести их сравнительный анализ. Например, какой график идёт выше, а какой ниже. Пересекаются ли они, где они ближе друг к другу, как объяснить их расхождение или пересечение и т. д.
8. По графику определить период колебаний маятника для длины нити L = 0,80 м, используя метод экстраполяции.
(см. инструкцию по построению графика).
9. Произвести защиту своей работы и проверить на опыте (в классе) точность ваших предсказаний методом экстраполяции для L = 0,80 м.
10.(Для отличников) По данным ваших измерений определить величину ускорения свободного падения. Для этого постройте зависимость квадрата периода от длины подвеса, далее см. инструкцию по построению графика T2(L).
Инструкция по построению экспериментальных графиков
1.Рассчитать погрешность измерения периода по следующей методике (все расчёты должны быть отдельно представлены в тетради):
а) найти средние периоды по сериям: t1= Т1/10, t2= Т2/10, , t3= Т3/10 для каждой длины L
б) рассчитать абсолютную погрешность периода по формуле
ΔТ = { [(t1-Т)2 + (t2-Т)2 + (t3-Т)2]/6 }1/2
(сложить квадраты разностей, поделить на 6 и извлечь квадратный корень)
2. Отложить на графике экспериментальные точки вместе с погрешностями: Т±ΔТ
3. Провести линию между точками так, чтобы часть точек была выше линии, а часть ниже. Но линия должна быть гладкой и пересекать по возможности все области погрешностей.
Пример построения графика и его экстраполяции, то есть продолжения в область неизвестных, но предполагаемых значений. Экстраполяция - один из методов прогнозирования будущих результатов.
К пункту 10. Примерный вид графика T2(L)( зависимость квадрата периода от длины подвеса)
Расчётная формула ускорения свободного падения
g = (2π)2δƖ/(δТ2)
По нижнему графику можно определить ускорение свободного падения.
Кроме этого се графики можно выполнить с применением Exell, что можно сочетать с занятиями по информатике
Далее для факультатива предлагается выполнить лабораторную работу по исследованию физического маятника (см. ниже).
Изучение колебаний физического маятника
1. Введение
Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной оси. Рассмотрим малые колебания маятника. Положение тела в любой момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия (рис.1).
Запишем уравнение моментов относительно оси вращения OZ (ось OZ проходит через точку подвеса О перпендикулярно плоскости рисунка "от нас"), пренебрегая моментом сил трения
(1)
Здесь 
- момент инерции маятника относительно оси OZ, 
- угловая скорость вращения маятника, Mz=-
- момент силы тяжести 
относительно оси OZ, a - расстояние от центра тяжести тела С до оси вращения.
Учитывая, что 
и, принимая во внимание малость колебаний, перепишем уравнение (1) в виде
(2)
(мы учли, что при малых колебаниях 
, где угол выражен в радианах). Уравнение (2) описывает гармонические колебания с циклической частотой 
и периодом
(3)
Частным случаем физического маятника является математический маятник, который Вы уже изучали. Вся масса математического маятника практически сосредоточена в одной точке - центре инерции маятника С. Примером математического маятника может служить маленький массивный шарик, подвешенный на длинной легкой нерастяжимой нити. В случае математического маятника а=l, где l - длина нити, и формула (3) переходит в известную формулу
(4)
Сравнивая формулы (3) и (4), заключаем, что период колебаний физического маятника равен периоду колебаний математического маятника с длиной l, называемой приведенной длиной физического маятника:
(5)
2. Экспериментальная установка. Методика эксперимента.
В данной работе в качестве физического маятника используется однородный металлический стержень длины L. На стержне закреплена опорная призма, острое ребро которой является осью качания маятника. Призму можно перемещать вдоль стержня, меняя таким образом расстояние а от точки опоры маятника О до его центра масс С (рис.2).
Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции маятника
(6)
где m- масса стержня. С учетом выражения (6) формула (3) для периода колебаний примет вид
(7)
Здесь мы ввели обозначения 
и 
В соответствии с формулой (5) приведенная длина маятника
(8)
Целью настоящей работы является изучение колебательного движения физического маятника и, в частности, экспериментальная проверка теоретических соотношений (7) и (8). Для экспериментальной проверки зависимости периода Т от величины 
, следует измерить периоды колебаний маятника при разных положениях опорной призмы. Результаты измерений удобно представить графиком зависимости y=f(x), где 
а 
В соответствии с формулой (7) эта зависимость имеет вид
(9)
График этой функции представлен на рис.3. Нетрудно показать, что функция (9) имеет минимум при 
 |
3. Измерения. Обработка результатов измерений.
1. Определите диапазон изохронности колебаний. Напомним, что изохронностью колебаний называется свойство независимости периода от амплитуды. К изохронности колебаний мы приходим исходя из предположения их малости, что выражается заменой 
.
В связи с этим, формулой (3) для периода колебаний можно пользоваться и некотором диапазоне амплитуд колебаний 
диапазоном изохронности. Для этого измерьте период колебаний для 5-6 значений амплитуды в пределах от 0° до 30° .Измерения прополите для одного положения опорной призмы. Например, соответствующему а=L/2. Результаты измерений занесите и таблицу
| 5° | 10° | 15° | 20° | 25° | 30° |
Т |
Выясните, в каком диапазоне амплитуд колебания являются изохронными.
2. Убедитесь и том, что колебания маятника являются слабо затухающими. (Напомним, что при выводе формулы (3), мы пренебрегали моментом сил трения). Для этого выведите маятник из положения равновесия и определите число колебаний, за которое их амплитуда уменьшается и 2-3 раза. Если N
10, то можно считать, что затухание маятника мало и пользоваться (в диапазоне изохронности) формулой (3).
3. Постройте по точкам график теоретической зависимости y=f(x). Для построения графика найдите с помощью микрокалькулятора значения по формуле (9) не менее чем при 10 различных значениях х в интервале 
. Результаты измерений занесите и таблицу.
X | 0.055 | 0.1 | 0.15 | 0,2 | 0,25 | 0,3 | 0,35 | 0,4 | 0,45 | 0,5 |
У |
4. Проведите экспериментальную проверку соотношений (7) и (9). Для этого
исходя из построенного графика выберите 8-10 параметра для
которых целесообразно провести измерение соответствующего им периода колебании Т.
Проведите измерение периода колебаний Т для выбранных значений х. При измерении периода колебаний (особенно к области малых х) следует внимательно следить за тем, чтобы амплитуда колебании не выходила зa пределы найденного выше диапазона изохронности. Результаты измерений внесите в таблицу.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
a | ||||||||||
T | ||||||||||
x=a/L ^т. | ||||||||||
y=T/T0 | ||||||||||
| ||||||||||
|
Полученные результаты с учетом погрешности нанесите на ранее построенный график. Сделайте вывод о совпадении экспериментальных результатов с предсказанными теорией. Проанализируйте причины возможного их несоответствия.
5. Экспериментально найдите приведенную длину маятника для некоторого положения опорной призмы, используя шарик на нити. Для этого подберите длину математического маятника так, чтобы в пределах точности измерений периоды колебаний обоих маятников совпадали. Измерьте длину математического маятника и сравните ее с приведенной длиной физического маятника, вычисленной по формуле (8).
Контрольные вопросы.
1. Что называется физическим маятником?
2. При каких упрощающих положениях выведена формула (З)?
3. Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса-Штейнера.
4. Выведите формулу для момента инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину и перпендикулярной стержню.
Ссылка на используемый ресурс : www. mgpu. ru/download. php? id=2451
Чтобы попасть на ссылку её необходимо скопировать в окно браузера.
А вот ещё одна исследовательская работа по изучению математического маятника в неоднородном силовом поле, которая вполне применима для кружковой работы.
http://avnsite. narod. ru/physic/junior2003/jun2003vjalov. htm
Основные порталы (построено редакторами)