Математический анализ

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет -
Высшая школа экономики"

Факультет экономики

Программа дисциплины

Математический анализ

часть II:
дифференциальные и разностные уравнения

для направления 080100 «Экономика» подготовки бакалавра

Автор программы:

Диесперов Вадим Николаевич, доктор физ.-мат. наук, профессор *****@***ru

Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики «29.08.11»

Зав. кафедрой Т.

Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

2  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100.62 Экономика.

Программа разработана в соответствии с:

·  Образовательным стандартом Государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «национальный исследовательский университет»;

·  Рабочим учебным планом университета по направлению 080100.62 «Экономика», утвержденным в 2011 г.

3  Цели освоения дисциплины

Цель курса «Математический анализ, ч. II - Дифференциальные и разностные уравнения» - изучение основных методов решений дифференциальных и разностных уравнений, методов исследования устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений и использование полученных навыков при изучении задач, возникающих в экономике.

Изучение учебной дисциплины «Математический анализ, ч. II - Дифференциальные и разностные уравнения» предполагает решение ряда важнейших задач:

·  освоение и систематизация обучающимися знаний основ теории дифференциальных и разностных уравнений;

·  овладение практическими приемами и навыками решения практических задач, анализ математических моделей, возникающих в экономике и информационное обеспечение этих задач.

4  Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  Знать основы математического анализа, дифференциальных и разностных уравнений, необходимые для решения экономических задач.

·  Уметь применять методы математического анализа и решения дифференциальных и разностных уравнений для решения экономических задач.

·  Владеть навыками применения современного инструментария дисциплины для решения экономических задач.

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция	Код по ФГОС / НИУ	Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)	Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции
Общенаучная	ОНК-1	Способность к анализу и синтезу на основе системного подхода	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-2	Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам, задачам и лежащим в их основе противоречиям	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-3	Способность использовать методы критического анализа, развития научных теорий, опровержения и фальсификации, оценить качество исследований в некоторой предметной области	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-4	Готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при работе в какой-либо предметной области	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-5	Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь их для решения соответствующий аппарат дисциплины	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-6	Способность приобретать новые знания с использованием научной методологии и современных образовательных и информационных технологий	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-7	Способность порождать новые идеи (креативность)	Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные	ПК-1	Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой	Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные	ПК-2	Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат	Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные	ПК-4	Способность критически оценивать собственную квалификацию и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности	Стандартные (лекционно-семинарские)

5  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина является обязательной и относится к «Математическому и естественнонаучному циклу» Б.2, включающему еще две обязательные дисциплины «Линейная алгебра» и «Методы оптимальных решений».

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

·  Знания всех разделов математики, полученные в общеобразовательной средней школе;

·  Линейная алгебра;

·  Математический анализ, ч. I.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

·  Методы оптимальных решений;

·  Теория вероятностей и математическая статистика;

·  Микроэкономика;

·  Макроэкономика;

·  Эконометрика.

6  Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоя­тельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
1.	Элементы теории дифференциальных уравнений I порядка. Некоторые уравнения I порядка, интегрируемые в квадратурах		3	3
2.	Системы обыкновенных дифференциальных уравнений		3	3
3.	Дифференциальные уравнения n-го порядка		4	2
4.	Комплексные числа		2	2
5.	Методы решения линейных дифференциальных уравнений и систем линейных уравнений с постоянными вещественными коэффициентами		4	4
6.	Устойчивость решений дифференциальных уравнений		4	3
7.	Разностные (рекуррентные) уравнения. Линейные разностные (рекуррентные) уравнения и системы с постоянными вещественными коэффициентами		6	8
8.	Устойчивость положения равновесия разностных уравнений и систем разностных уравнений		4	3

7  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	2 года	Параметры
1	2
Промежуточный	Проверки домашних заданий	4-й модуль	1-й модуль	·  в точение двух модулей
Итоговый	Экзамен	4-й модуль	1-й модуль	Экзамен: ·  первая часть – письменная работа в аудитории в 4-м модуле на 160 мин.; ·  вторая часть - письменная работа в аудитории в 1-м модуле на 160 мин.

7.1  Критерии оценки знаний, навыков

Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные на семинарских занятиях и умение самостоятельно программировать на каком-либо алгоритмическом языке разобранные алгоритмы численных методов.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

8  Содержание дисциплины

1.  Элементы теории дифференциальных уравнений I порядка. Некоторые дифференциальные уравнения I порядка, интегрируемые в квадратурах

Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Определение решения уравнения. Интегральная кривая. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной. Метод изоклин. Задача Коши. Уравнение, правая часть которого не содержит искомой функции. Общее решение, частное решение. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особое решение. Уравнение в дифференциалах. Уравнение в полных дифференциалах. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородное уравнение. Линейное уравнение, метод вариации постоянной. Уравнения Бернулли, метод Бернулли. Метод введения параметра. Примеры дифференциальных уравнений, описывающих динамику некоторых экономических, социальных и биологических систем.

Лит-ра: базовая: [1], основная: [3], дополнительная: [2].

2.  Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Нормальная система уравнений n-го порядка, её решение, интегральная кривая. Фазовое пространство, точки равновесия. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Автономная система уравнений. Положение равновесия. Свойства фазовых и интегральных кривых автономной системы уравнений.

Система линейных уравнений с переменными коэффициентами. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Однородная система линейных уравнений. Линейное пространство ее решений. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского. Система линейных неоднородных уравнений. Структура множества решений. Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных. Метод исключения.

Лит-ра: базовая: [1], основная: [3], дополнительная: [2].

3.  Дифференциальные уравнения n-го порядка

Понятие уравнения n-го порядка. Решение уравнения, интегральная кривая. Некоторые уравнения допускающие понижение порядка. Уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной. Сведение его к системе уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Линейные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Линейное однородное уравнение. Линейное пространство его решений. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского. Линейное неоднородное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами. Структура множества решений. Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных.

Лит-ра: базовая: [1], основная: [3].

4.  Комплексные числа

Определение. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи. Сложение, умножение и деление комплексных чисел. Формула Эйлера. Корни n-ой степени комплексного числа. Вещественные и комплексно сопряженные корни многочлена с вещественными коэффициентами. Теорема Гаусса.

Лит-ра: основная: [3].

5.  Методы решения линейных дифференциальных уравнений и систем линейных уравнений с постоянными вещественными коэффициентами

Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения n-ого порядка по корням характеристического уравнения (метод Эйлера). Построение частного решения линейного неоднородного уравнения в случае, когда правая часть является квазимногочленом.

Лит-ра: базовая: [1], основная: [3].

6.  Устойчивость решений дифференциальных уравнений

Основные понятия и определения. Критерий устойчивости решений линейных уравнений и систем линейных уравнений с постоянными вещественными коэффициентами. Классификация положений равновесия для линейных автономных систем на плоскости Исследование устойчивости решений нелинейных автономных систем на плоскости вблизи положений равновесия по линейному приближению. Приложения к исследованию экономических моделей.

Лит-ра: базовая: [1], основная: [3], дополнительная: [2].

7.  Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка. Линейные разностные (рекуррентные) уравнения и системы с постоянными вещественными коэффициентами

Разностное уравнение n-го порядка в нормальной форме. Определение решения уравнения. Задача Коши. Линейное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами. Метод вариации постоянной. Примеры: арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, рост вклада в банке (простые и сложные проценты). Линейное однородное разностное уравнение n-го порядка. Линейное пространство его решений. Фундаментальная система решений. Общее решение однородного уравнения. Построение фундаментальной системы решений линейного разностного уравнения с постоянными вещественными коэффициентами. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Частное решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть - квазимногочлен (резонансный и нерезонансный случаи). Линейная однородная система разностных уравнений. Линейное пространство её решений. Фундаментальная система решений. Общее решение. Построение фундаментальной системы решений линейной однородной системы разностных уравнений с постоянными вещественными коэффициентами. Структура общего решения неоднородной системы линейных разностных уравнений. Решение систем методом исключения.

Лит-ра: базовая: [2], основная: [3], дополнительная: [1].

8.  Устойчивость положения равновесия разностных уравнений и систем разностных уравнений

Определение устойчивости решений разностных уравнений и систем. Положение равновесия. Критерий устойчивости решений линейных разностных уравнений и систем с постоянными вещественными коэффициентами. Достаточное условие существования устойчивого положения равновесия нелинейного автономного уравнения первого порядка. Примеры разностных уравнений первого порядка в экономике: паутинообразная модель, динамика дохода в упрощённой модели Кейнса. Примеры разностных уравнений второго порядка в экономике: паутинообразная модель с обучением, модель делового цикла Самуэльсона - Хикса (мультипликатор - акселлератор).

Лит-ра: базовая: [2], основная: [3].

9  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1  Типовые вопросы и задачи для контрольных, зачетной и экзаменационной работ

1. Решите задачу Коши и укажите промежуток наибольшей длины, на котором решение этой задачи определено.

2. Решите задачу Коши и вычислите для решения

этой задачи значение .

3. Найдите решение уравнения, удовлетворяющее условию . Вычислите для этого решения значение .

4. Вычислите действительную часть числа .

5. Найдите все решения уравнения .

6. Решите задачу Коши и вычислите для решения этой задачи значение .

7. Для последовательности , удовлетворяющей рекуррентному уравнению и условию , вычислите величину .

8. Укажите все возможные значения дроби для всех тех решений рекуррентного уравнения , для которых она определена.

9. Решите систему уравнений

10. Решите неоднородную систему уравнений

и изобразите фазовый портрет однородной системы.

11. Найдите все значения параметра , при которых нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво.

12. Укажите все возможные значения дроби для всех тех решений уравнения , для которых она определена.

13. Решите уравнение .

14. Решите уравнение .

15. Решите уравнение

16. Решите одну из систем уравнений

или

17. Решите уравнение .

18. Решите уравнение .

19. Решите задачу Коши .

20. Решите задачу Коши .

21. Решите уравнение .

22. Решите уравнение .

23. Решите уравнение .

24. Найдите положения равновесия системы уравнений

определите их характер и начертите фазовые траектории соответствующих линеаризованных систем.

10  Порядок формирования оценок по дисциплине

Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях: активность студентов, правильность решения задач на семинаре, знание лекционного материала. Оценки за работу на семинарских занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.

Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Отекущий I = 0,7·Ок/р + 0,1·Оаудиторная + 0,2·Осам. работа (4-й модуль I курса);

Отекущий II = 0,8·Одз + 0,2·Оаудиторная (1-й модуль II курса).

Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится по обычным правилам арифметики округления.

Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене:

Оитоговый = 0,6·Оэкзамен + 0,2·Отекущий I + 0,2·Отекущий II.

Способ округления результирующей оценки итогового контроля производится по обычным правилам арифметики округления.

В диплом выставляет результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется по следующей формуле:

Одисциплина = 0,6·Опромежуточный + 0,4·Оитоговый,

где Опромежуточный – оценка за I часть математического анализа (1-й - 3-й модули).

Способ округления результирующей оценки по учебной дисциплине производится по обычным правилам арифметики округления.

11  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1  Базовые учебники

1.  К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. - М.-С. Пб.: Физматлит, 2001.

2.  К. Разностные уравнения. - М.: БИНОМ, 2006.

11.2  Основная литература

1.  К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. - М.-С. Пб.: Физматлит, 2001.

2.  К. Разностные уравнения. - М.: БИНОМ, 2006.

3.  Б., Г. Математический анализ и дифференциальные уравнения. - М., Изд. центр «Академия», 2010.

4. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М., НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

5. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / под редакцией К. - М.-С. Пб.: Физматлит, 2002.

11.3  Дополнительная литература

1. И. Исчисление конечных разностей. - М.: ГИФМЛ, 1959.

2. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М. Наука, 1961.

3. Л., И., И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. - М., УРСС, 2002.

Основные порталы (построено редакторами)

Домашний очаг Дом • Дача • Садоводство • Дети • Активность ребенка • Игры • Красота • Женщины • (Беременность) • Семья • Хобби Здоровье: • Анатомия • Болезни • Вредные привычки • Диагностика • Народная медицина • Первая помощь • Питание • Фармацевтика История: СССР • История России • Российская Империя Окружающий мир: Животный мир • Домашние животные • Насекомые • Растения • Природа • Катаклизмы • Космос • Климат • Стихийные бедствия Справочная информация Документы • Законы • Извещения • Утверждения документов • Договора • Запросы предложений • Технические задания • Планы развития • Документоведение • Аналитика • Мероприятия • Конкурсы • Итоги • Администрации городов • Приказы • Контракты • Выполнение работ • Протоколы рассмотрения заявок • Аукционы • Проекты • Протоколы • Бюджетные организации Муниципалитеты • Районы • Образования • Программы Отчеты: • по упоминаниям • Документная база • Ценные бумаги Положения: • Финансовые документы Постановления: • Рубрикатор по темам • Финансы • города Российской Федерации • регионы • по точным датам Регламенты Термины: • Научная терминология • Финансовая • Экономическая Время: • Даты • 2015 год • 2016 год Документы в финансовой сфере • в инвестиционной • Финансовые документы - программы

Техника Авиация • Авто • Вычислительная техника • Оборудование • (Электрооборудование) • Радио • Технологии • (Аудио-видео) • (Компьютеры) Общество Безопасность • Гражданские права и свободы • Искусство • (Музыка) • Культура • (Этика) • Мировые имена • Политика • (Геополитика) • (Идеологические конфликты) • Власть • Заговоры и перевороты • Гражданская позиция • Миграция • Религии и верования • (Конфессии) • Христианство • Мифология • Развлечения • Масс Медиа • Спорт (Боевые искусства) • Транспорт • Туризм Войны и конфликты: Армия • Военная техника • Звания и награды Образование и наука Наука: Контрольные работы • Научно-технический прогресс • Педагогика • Рабочие программы • Факультеты • Методические рекомендации • Школа • Профессиональное образование • Мотивация учащихся Предметы: Биология • География • Геология • История • Литература • Литературные жанры • Литературные герои • Математика • Медицина • Музыка • Право • Жилищное право • Земельное право • Уголовное право • Кодексы • Психология (Логика) • Русский язык • Социология • Физика • Филология • Философия • Химия • Юриспруденция

Мир Регионы: Азия • Америка • Африка • Европа • Прибалтика • Европейская политика • Океания • Города мира Россия: • Москва • Кавказ • Регионы России • Программы регионов • Экономика Бизнес и финансы Бизнес: • Банки • Богатство и благосостояние • Коррупция • (Преступность) • Маркетинг • Менеджмент • Инвестиции • Ценные бумаги: • Управление • Открытые акционерные общества • Проекты • Документы • Ценные бумаги - контроль • Ценные бумаги - оценки • Облигации • Долги • Валюта • Недвижимость • (Аренда) • Профессии • Работа • Торговля • Услуги • Финансы • Страхование • Бюджет • Финансовые услуги • Кредиты • Компании • Государственные предприятия • Экономика • Макроэкономика • Микроэкономика • Налоги • Аудит Промышленность: • Металлургия • Нефть • Сельское хозяйство • Энергетика Строительство • Архитектура • Интерьер • Полы и перекрытия • Процесс строительства • Строительные материалы • Теплоизоляция • Экстерьер • Организация и управление производством