МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «Средняя общеобразовательная школа № 2» г. Истры ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Урок алгебры в 9 классе Разработала учитель математики высшей квалификационной категории А. 2015 Цели урока: Обучающие: ввести понятие геометрической прогрессии; вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии Развивающие: способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, применять приемы сравнения, переноса знаний в новую ситуацию; развитие логического мышления, творческих способностей учащихся путем решения межпредметных задач (экономика) Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды 1.Организационный момент Ребята, вы изучили один из видов последовательностей – арифметическую прогрессию. Я предлагаю вам вспомнить основные формулы, связанные с ней и одновременно записать их в таблице, которая лежит у вас на столе. Что такое арифметическая прогрессия? Запишите формулу n-го члена прогрессии. Запишите формулу суммы n - первых членов прогрессии. Запишите характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Задание 1 (записано на доске) Дано несколько последовательностей. Определите, какие из них являются арифметическими прогрессиями и укажите ее разность а) 1;4;7;10;13;… Ответ. Арифметическая прогрессия, d=3 б)1; 2 ;4; 8; 16; 32;… в) г) 3;0;-3;-6;-9;… Ответ. Арифметическая прогрессия, d= -3 д) 4;9;16;25;… е) ж) –2;2;-2; 2;… з) 5;5;5;5;… Ответ. Арифметическая прогрессия, d= 0 Вы смогли определить из предложенных последовательностей только 3. А оставшиеся? Ребята, кто из вас играет в шахматы? А кто из вас знает историю создания шахмат? Существует легенда, которая имеет прямое отношение к последовательности, которую мы будем изучать сегодня. Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. –. Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание – предложил царь. – Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее. Сета сообщил свою просьбу, царь удивился скромности бедного Мудреца. – Повелитель, – сказал Сета, – прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. – Простое пшеничное зерно? – изумился царь. – Да, повелитель. За вторую клетку выдать 2 зерна, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32… (Приглашаю ученика, который эту последовательность записывает на доске) – Довольно, – с раздражением прервал его царь. Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию. Но знай, что твоя просьба недостойна моей щедрости.. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей. Царь Шерам засмеялся. Стоило ли ему смеяться, вы узнаете на следующем уроке. А сейчас рассмотрим последовательность, записанную на доске. 1, 2, 4, 8, 16, 32,… Определите правило, по которому эта последовательность выстроена. (Каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число 2). Это пример геометрической прогрессии. Таким образом, тема сегодняшнего урока «Геометрическая прогрессия». Записали число и тему. Итак, что мы изучаем? Геометрическую прогрессию ( вписать тему в таблицу) Как изучаем ? Я предлагаю метод исследования. Для чего изучаем? Чтобы уметь применять ее при решении задач из различных областей науки. Введем определение геометрической прогрессии. |
Числовая последовательность b1, b2, b3, b4, …bn, …
называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство
bn+1= bn q, где bn≠0, q – некоторое число, не равное нулю.
Отсюда , 
- знаменатель геометрической прогрессии.
( внесем эти данные в таблицу).
Есть ли в предложенных заданиях геометрическая прогрессия? Если да, укажите знаменатель q
а) 1;4;7;10;13;…
б)1; 2 ;4; 8; 16; 32;… Ответ. Геометрическая прогрессия, q=2.
в)
г) 3;0;-3;-6;-9;…
д) 4;9;16;25;…
е) 
Ответ. Геометрическая прогрессия, q=1/5
ж) –2;2;-2; 2;… Ответ. Геометрическая прогрессия, q=-1
з) 5; 5; 5; 5;…. Ответ. Геометрическая прогрессия, q=1
Решите задачу
(Экономика) Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 3 года, если вначале он был равен 1000р.?
Решение.
Каждый год сумма вклада увеличивается в 1,05 раза, следовательно, условие задачи соответствует геометрической прогрессии, где b1=1000, q = 1,03.
b1=1000,
b2= b1 q = 1000 ∙1,05= 1050;
b3= b2 q = 1050 ∙1,05= 1102,5
b4 = b3 q = 1102,5∙1,05=1157,625
Ответ. 1157,63 рубля
Эта задача решалась долго. Нельзя ли использовать другой способ решения этой задачи?
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель. Зная их, можно вывести формулу n-го члена прогрессии.
Выведем формулу n-го члена ( ученик у доски)
b4=b3 ∙q=(b1 ∙q2) ∙ q= b1 ∙q3
Как по аналогии сразу можно записать?
- формула n-го члена геометрической прогрессии
Эти формулы вписать в таблицу.
Вернемся к экономической задаче. Как можно было еще решить эту задачу?
(Используя формулу n-прогрессии.
b4= b1· q3 = 1000 ·1,053 = 1000 · 1,157625 = 1157,625)
Рассмотрим решение ключевых задач
Задача 1 (Ученик у доски)
Дано: (bn) – геометрическая прогрессия,
b1=81, q=⅓
Найти: b7
Решение.
b7= b1∙q6,
b7= 81∙(⅓)6 =34∙(⅓)6 = 1/9
Ответ. 1/9
Задача 2 (Ученик у доски)
Дано: (bn) – геометрическая прогрессия,
b1=2, b5=162
Найти: q
Решение.
b5= b1∙q4,
q4 =b5 : b1∙,
q4 =162 : 2=81∙,
q1 = -3, q = 3
Ответ.-3, 3.
Задача 3
Дано: 2, 6, 18,...- геометрическая прогрессия,
bn=486
Найти :n
Решение.
Пусть n - искомый номер, т. к. b1=2, q=3, то по формуле
, имеем
486= 2∙3n-1,
3n-1=243,
n-1=5,
n=6.
Ответ. 6.
Физминутка
Решение задач (по учебнику у доски)
а) 407 (2)
б) 409 (1,2)
Кто считает, что тему усвоил хорошо, те выполняют номера
а) 413 (1,2)
б) 416
Задание 2 ( 5 минут)
Закодированное задание «Карусель»
Учитель раздает каждому ученику листочки с кодами
( 3, 216, 24, 72, 
).
Ученики начинают решение задач со столбика, соответствующего своему коду. Если задание выполнено верно, то он получит в ответе один из кодов таблицы, к заданию которого он переходит решать. Это задание идет по кругу.
3 | 216 | 24 | 72 |
|
Дано: b1=3, q =2, | Дано: b8 = 216, q = -6 | Дано: b3= 24, q = - | Дано: b1 =72, bn = 1152 q= 4 | Дано: b5 = b6= 12 |
Найти: b4 | Найти: b4 | Найти: b1 | Найти: n | Найти: q |
Критерии оценок
«5» - верно выполнено 5 примеров,
«4» - верно выполнено 4 примера,
«3» - верно выполнено 3 примера,
«тебе предстоит еще позаниматься», если верно выполнено 1-2 примера
Мы познакомились с двумя видами прогрессии. С одной стороны они вроде бы разные, но… прогрессии.
Выясним, нет ли связи между ними?
Определения арифметической и геометрической прогрессий похожи. Надо лишь заменить сложение умножением или наоборот. А зная формулу n-го члена арифметической прогрессии, можно получить формулу для геометрической прогрессии, если заменить сложение умножением и умножение - возведением в степень
аn = а1 + d(n -1), bn = b1*qn-1 .
Аналогично, можно вывести характеристическое свойство геометрической прогрессии.
, bn =.
Здесь тоже достаточно заменить сложение умножением, а деление на 2- извлечением корня второй степени, и из характеристического свойства арифметической прогрессии получится характеристическое свойство геометрической прогрессии.
(Желательно, чтобы ученики это выполнили сами)
Итог урока. Вернемся к вопросам, которые были поставлены в начале урока.
Что изучили? Какая последовательность называется геометрической прогрессией.
Для чего изучаем? Потому что геометрическая прогрессия имеет широкое практическое значение.
Заключительная задача.
Дано:
b 1=4, b4=500
Найти: q
Ответ q=5.
Правильно, ребята, я желаю, чтобы все ваши знания оценивались этой цифрой.
Домашнее задание
№ 000(3,4), 410, 411 (418)
Основные порталы (построено редакторами)