ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ КОНЕЧНЫМИ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Андрейченко Александр, 10 класс, СОШ №56,
г. Магнитогорск, Челябинская область.
Научный руководитель: к. т. н. И.
Любое рациональное число 
, а > 0, может быть единственным образом представлено конечной цепной дробью: 
, где q0єZ, {q1,…, qn}єN, qn ≠ 1. Следовательно, каждое рациональное число характеризуется набором неполных частных. Одной из характеристик является их количество t. Возникает вопрос, если дано число b, то как найти число а, 1 < a < b, такое что имеет t элементов в своем представлении конечной цепной дробью. Для решения этой задачи первоначально были составлены обширные таблицы для 5<b<55 и всех a<b. Для каждого b указаны такие а, которые имеют одинаковое количество элементов в представлении дроби в виде конечной цепной. В результате проведенного исследования было найдено решение поставленной задачи для случаев t = 2, 3, 4.
Теорема 1. Положительные рациональные числа вида , где k делитель b – 1, и только они имеют два элемента в своем представлении конечной цепной дробью, причем 
.
Теорема 2. Положительная несократимая дробь 
, где k < b, имеет три элемента в своем представлении конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда существует натуральное m ≠ 1 такое, что (b – m)
k и (k-1)m.
Теорема 3. Положительная несократимая дробь , где k < b, имеет четыре элемента в своем представлении конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда существуют натуральные m и l такие, что (b – m)k, (k - l)m и (m – 1)l.
Полученные критерии для t = 2, 3, 4 показывают, что с ростом t, условия теорем становятся громоздкими. Поэтому в работе к теоремам 2 и 3 получены следствия. Приведем одно из них:
Следствие 1. Если k – делитель b – 3 и 3 – делитель k + 1, то число имеет четыре элемента в своем представлении конечной цепной дробью, причем 
.
Это следствие, как и другие в работе, содержат формулы, позволяющие сразу записывать конечную цепную дробь, не производя последовательных делений. Но следствия применимы не всегда, поэтому для случая t = 4 были найдены еще достаточные признаки. Один из них такой:
Теорема 4. Если k – нечетный делитель b + 2, то число имеет четыре элемента в своем представлении конечной цепной дробью, причем 
.
Приведенные следствия и достаточные признаки удобны в практических вычислениях. Это позволяет ставить задачу о поиске условий для рациональных чисел, которые имеют более четырех элементов в их представлении конечными цепными дробями.
Кроме теорем для t = 2, 3, 4 в работе содержатся еще две теоремы. Первая из них позволяет находить числа, которые имеют на один элемент больше в представлении конечной цепной дробью, чем число , где 1< а ≤ 
. Вторая теорема – это одно из найденных свойств неполных частных.
Основные порталы (построено редакторами)