Из опыта работы Г., учителя 1 квалификационной категории МБОУ Харетская СОШ. Подготовка к ЕГЭ по математике. Решение заданий С1.
К выполнению заданий группы С Единого государственного экзамена по математике приступают немногие участники экзамена, а до ответа доходят не более 20% приступивших. Значит, именно здесь содержится резерв для улучшения итоговых результатов выпускников, ориентированных на поступление в вуз. В большей части литературы для подготовки к ЕГЭ предлагаются наборы вариантов с ответами и частичным разбором решений, но без демонстрации различных подходов к решению. Рассмотрим задания типа С1, которые представляют собой уравнение или систему двух уравнений, содержащих тригонометрические функции. Основные трудности у участников экзамена, приступивших к решению этого задания, возникают не на этапе решения уравнения или системы, а на этапе отбора корней: при верно решенном уравнении либо неверно проводится отбор корней, либо не проводится вовсе. Рассмотрим различные способы отбора корней, причины появления посторонних корней.
Задание С1 контрольно-измерительных материалов в последние годы содержат тригонометрические выражения. Основные недостатки математической подготовки учащихся: ошибки в формулах решения простейших тригонометрических уравнений; при получении ответа не учитывается область определения уравнения; неправильно применяются тригонометрические формул; учащиеся не знают свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; плохо владеют способами отбора корней, удовлетворяющих тем или иным ограничениям, не умеют пользоваться тригонометрической окружностью.
Как правило, я знакомлю учеников с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность (как мне нравится), но не все понимают этот метод, поэтому необходимо рассматривать и другие способы: арифметический или алгебраический подходы. Ученик, знающий несколько приёмов отбора корней, может при решении задачи выбрать более рациональный. Полное правильное решение задания С1 с развёрнутым ответом оценивается 2 баллами. Допускаются различные способы решения и различные способы ответа. Главное требование – решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений. В остальном (метод, форма записи) решение может быть произвольным.
При решении различных уравнений школьникам приходится сталкиваться с понятием «посторонних» корней, появляющихся в результате неравносильных преобразований данного уравнения. Это связано с расширением области допустимых значений неизвестной в решаемом уравнении. Для получения правильного ответа возникающие «посторонние» корни необходимо исключить. При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов.
Арифметический способ:
а) непосредственная постановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;
б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
Алгебраический способ:
а) решение неравенства относительно целочисленного параметра и вычисление корней;
б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.
Геометрический способ:
а) изображение корней на тригонометрической окружности и их отбор с учетом имеющихся ограничений;
б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.
Функционально-графический способ:
отбор корней с использованием графиков простейших тригонометрических функций.
Многие учащиеся делают ошибки при сравнении чисел, записанных в разной форме, например 
. Поэтому, полезно уделить этому вопросу должное внимание, решая упражнения следующего вида.
1. Расставьте в порядке убывания числа:
2. Расставьте в порядке возрастания числа:
3. Сравните числа:
arctg
Следует уделить внимание и решению простейших тригонометрических уравнений, к которым тем или иным способом приводятся сложные тригонометрические уравнения. Прочное знание формул решения простейших тригонометрических уравнений и умение отметить их на тригонометрической окружности позволяет учащимся избежать досадных ошибок.
Вид уравнения | Общая формула серии решений |
sin x = a, |
|
cos x = a, |
|
tg x= a |
|
ctg x = a |
|
В случае отбора корней использование общей формулы серии решений для синуса и косинуса не всегда является удобной. В этом случае удобнее не объединять серии решений, а представлять их совокупностью.
1. Решение уравнения sin x = a (- 1 < a < 1) можно записать совокупностью двух серий решений: 
Уравнения sin x = 1, sin x = - 1, sin x = 0 имеют решения 
2. Решения уравнения cos x = a (- 1 < a < 1) можно записать совокупностью двух серий решений: 
Уравнения cos x = 1, cos x = - 1, cos x = 0 имеют решения 
3. Решения уравнений tg x = a можно записать совокупностью двух серий:
4. Решения уравнений ctg x = a можно записать совокупностью двух серий:
Арифметический способ отбора корней. Данный способ отбора корней связан с вычислением корней при переборе значений целочисленного параметра или нахождением значений тригонометрических выражений непосредственной подстановкой при проверке корней. Для удаления «посторонних» решений полезным оказывается использование формул приведения.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение. Перепишем уравнение в виде 
.
Это уравнение равносильно системе 
Решим уравнение системы: 
Отсюда
cos x = 0,5 или cos x = - 3 (нет корней). Из уравнения cos x =0,5 получаем: 
или 
Проверим для полученных значений x выполнение условия sin x ≤ 0. Для первой серии получаем: 
Следовательно, первая серия является «посторонней».
Для второй серии получаем: 
Следовательно, все числа второй серии решений уравнения системы являются корнями исходного уравнения.
Ответ:
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение. Рассмотрим два множества значений неизвестной x, для которых sin x ≥ 0 и sin x < 0 соответственно.
1. Пусть sin x ≥ 0, тогда данное уравнение принимает вид: 
Разделив обе части уравнения на cos x (так как ясно, что cos x ≠0), получим 
, откуда 
. Из этой серии решений отберем значения x, для которых sin x ≥ 0. Подставляя 
в это неравенство, находим: 
при k=2n ,n
Z, и 
при k=2n+1 ,nZ. Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа вида 
.
2. Пусть теперь sin x < 0, тогда данное уравнение принимает вид: 
. Аналогично рассуждая, получим: tg x= , откуда 
. Отберем из полученных решений те значения x, для которых sin x < 0. Подставляя 
в это неравенство, находим: 
при
, и
при
. Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа вида 
Ответ: 
Пример 3. Решить уравнение 
Решение. Данное уравнение равносильно системе 
Решим уравнение системы: 
В области допустимых значений х, которое задается условием sin x 
0, последнее уравнение распадается на равносильную ему совокупность двух уравнений:
Отберем значения x, удовлетворяющие условию 
Для решения первой серии получаем: 
следовательно, условие 
выполняется.
Для решения второй серии получаем: 
Таким образом, условие выполнено только для четных значений n, то есть n=2m, mZ. Тогда 
Ответ:
В заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функции. Большинство учащихся решают неравенства с использованием стандартных, алгоритмических методов, что иногда приводит к громоздким выкладкам. В связи с этим процент верных решений неравенств невысок. Область применения свойств функций при решении неравенств очень широка, а умение использовать необходимые свойства функции при решении неравенств позволяет учащимся выбирать более рациональный способ решения. В учебниках крайне редки задания на понимания функциональной символики, поэтому ученикам необходимо предлагать такого рода задания не только при изучении функций, но и при решении уравнений и неравенств. В качестве такого задания рассмотрим пример, связанный с композицией функций.
Пример 4. Пусть 
Решите неравенство 
Решение. Так как 
то 
то неравенство 
примет вид
Сделаем замену 
где 
получим систему неравенств:
Возвращаясь к переменной x, получим:
Ответ: 
Предварительный анализ области допустимых значений неизвестной иногда позволяет получить решения без преобразований неравенства. Если при рассмотрении неравенства выясняется, что область определения неравенства состоит из одного или нескольких чисел, то достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решений данного неравенства. Если область определения неравенств окажется пустым множеством, то в этом случае неравенства решений не имеет. В некоторых случаях область допустимых значений неизвестной неравенства позволяет оценить левую и правую части неравенства и сделать вывод о его решении.
Пример 5. Решить неравенство 
Решение. Область определения неравенства задается условием: 
Для этих значений x получим: 
то есть правая часть исходного неравенства отрицательна на его области определения. Следовательно, неравенство справедливо при всех 
2.
Ответ: 2.
Использование непрерывности функции
Непрерывность функции является одним из важнейших понятий, с помощью которого доказываются многие утверждения в математике. Широко используется это понятие при изучении свойств элементарных функций, которые применяются при решении различных задач. Основная идея метода интервала, знак произведения (частного) определяется знаками сомножителей (делимого и делителя). Расширение возможностей метода интервалов основано на свойствах непрерывных функций: Если функция f(x) непрерывна на интервале и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. А как известно, функции, полученные из элементарных функций с помощью арифметических действий или их композиции, непрерывна на своей области определения. Поэтому метод интервалов можно успешно использовать и при решение неравенств, содержащих достаточно широкий класс функций. Так, например, метод интервалов допускает обобщение на выражения вида 
где f(x) – функции, непрерывные на своей области определения.
Множество решений неравенства при использовании метода интервалов можно представить в виде объединения промежутков, границами которых являются либо нули функции, либо граничные точки её области определении.
Рассмотрим неравенства, правая часть которых равна нулю, а левая часть представлена в виде произведений или частного функций с известными промежутками знакопостоянства.
Пример 6. Решить неравенство 
Решение. Так как при x = - 1 многочлен x4 +4x+20 принимает наименьшее значение 17, то неравенство x4 +4x+20>0 выполняется при всех значениях неравенства x. Тогда данное неравенство принимает вид 
Используем для его решения метод интервалов.
Рассмотрим функцию 
Функция не определена при х = 0 и х = 
. Данная функция обращается в 0 при х = 2,5. Найдем промежутки знакопостоянства.
Ответ: 0 < x < , x = 2,5.
Задание С3 контрольно – измерительных материалов – это задание повышенного уровня сложности, представляющее неравенства, содержащее рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические или модульные выражения. При решении этих неравенств учащиеся должны показать знания теорем о равносильности неравенств определенного вида, умение использовать стандартные и нестандартные методы решения.
При подготовке по данной теме особое внимание следует уделить применению метода интервалов и использование свойств функций. Полное правильное решение задание С3 с развернутым ответом оценивается 3 баллами. При решении задачи допустимы любые математические методы – алгебраические, функциональные, графические, геометрические и т. д.
При алгебраическом подходе выполняют равносильное преобразование неравенств, в частности, тождественные преобразования отдельных выражений, входящих в неравенство.
Основные порталы (построено редакторами)