Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Основные понятия теории игр
В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Простейшими более наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры, военные учения (маневры). Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.
Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этих случаях может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными.
Теория игр — математическая (модель) теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т. е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д.
Игрой называется упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам.
Игра — это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры. Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший исход. Исход игры — это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться либо аналитически выражением, либо таблично (матрицей).
Величина выигрыша зависит от стратегии.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе этого игрока от начала до окончания игры.
Оптимальной называется такая стратегия игрока, которая при многократном проведении игры обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш.
Различают игры по сумме выигрыша. Игра называется с нулевой суммой, если один игрок выигрывает за счет другого, а сумма выигрыша одного равна проигрышу другого. Парная игра с нулевой суммой называется антагонистической, так как интересы игроков прямо противоположны. Наиболее полно исследованы в теории игр антагонистические игры.
В зависимости от количества возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий.
Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой. Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из возможных стратегий 
, 
, а игрок В выбирает одну из возможных стратегий 
, 
. В результате выигрыш игроков составит соответственно 
и 
. Цель игрока А – максимизировать величину , а игрока В – минимизировать эту величину.
Матрица, составленная из величин , , ,
называется платежной матрицей, или матрицей игры.
Игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать минимальный выигрыш, т. е. 
. Величина 
называется нижней ценой игры. Стратегия А называется максиминной.
Игрок В должен выбрать такую стратегию, чтобы минимизировать максимальный проигрыш, т. е. 
. Величина 
называется верхней ценой игры. Стратегия называется минимаксной. Если обозначить выигрыш - 
, то
.
Если 
, то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом , которое называется ценой игры.
Если , то такая игра называется игрой с седловой точкой (игра с полной информацией). Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.
Пример 1. Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей 
.
Определить нижнюю и верхнюю цены игры, оптимальные стратегии игроков А и В, цену игры.
Решение. Определяем нижнюю цену игры 
. Определяем верхнюю цену игры
. Цена игры 
. Оптимальной стратегией игрока А является чистая стратегия А1, оптимальной стратегией игрока В чистая стратегия В4.
Ответ. 
, 
, .
Если платежная матрица не имеет седловой точки, то цена игры определяется условием . Таким образом, поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии – состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определёнными стратегиями – смешанной стратегии.
Теорема Дж. фон Неймана. Каждая конечная матричная игра имеет по крайней мере оптимальное решение в смешанных стратегиях.
Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большей размерности целесообразно упрощать, уменьшая их размерность путем вычеркивания дублирующих и доминирующих стратегий.
Дублирующими называются стратегии, у которых соответствующие элементы платежной матрицы одинаковы.
Если все элементы i-й строки платежной матрицы больше соответствующих элементов к-й строки, то i-я стратегия игрока А называется доминирующей над к-й стратегией. Если все элементы j-го столбца платежной матрицы меньше соответствующих элементов к-го столбца, то j-я стратегия игрока В называется доминирующей над к-й стратегией.
Пример.
Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей 
.
Определяем нижнюю цену игры 
. Определяем верхнюю цену игры
. Седловой точки нет, так как 
и 
. Прежде чем приступить к поиску смешанной стратегии, упростим матрицу.
Все элементы стратегии А2 меньше элементов стратегии А3, то стратегия А2 невыгодна для игрока А или стратегия А3 доминирует над стратегией А2. Поэтому стратегию А2 можно исключить. Все элементы стратегии А4 меньше элементов стратегии А3, поэтому стратегию А4 также исключаем.
Сравнивая стратегии В1 и В4, исключаем стратегию В1. Сравнивая стратегии В2 и В4, исключаем стратегию В2. В результате упрощений получим следующую платежную матрицу 
, у которой 
и 
. Седловой точки нет, так как и .
Основные порталы (построено редакторами)