Практикум 2-18. Основные представления квантовой физики твердого тела. Фононы. Теплоемкость.
Теория теплоемкости твердых тел Эйнштейна
Среднее значение энергии гармонического осциллятора
(1)
Молярная внутренняя энергия твердого тела
(2)
где 
, а 
- характеристическая температура
(3)
Молярная теплоемкость кристалла
(4)
При низких температурах 
(5)
Теория теплоемкости твердых тел Дебая
Число 
собственных частот в интервале от 
до 
равно
(6)
где 
- функция распределения собственных частот колебаний тела. Для трехмерного кристалла 
, 
- нормировочная постоянная.
Молярная внутренняя энергия твердого тела
(7)
где 
, а 
- характеристическая температура
(8)
Молярная теплоемкость кристалла по Дебаю
(9)
При низких температурах 
(10)
Пример 18.1. ([1] 50.11) Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, определить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на 2К от температуры 
.
Решение
Конечное значение температуры 
К, тогда изменение молярной внутренней энергии равно, согласно (2),
(11)
Итого, два неизвестных: 
, и одно уравнение. Как поступать в такой ситуации? Надо доопределить постановку задачи, причем так - зададим в диапазоне от 100 до 1000 К с шагом 100 К. Функция , согласно (2), является гладкой от характеристической температуры , то по приведенному ответу можно установить значение пропущенного параметра. Вычисляя по (11) получаем
100 36.54 300 36.25 500 36.19 700 36.17 900 36.15
200 36.32 400 36.21 600 36.18 800 36.16 1000 36.15
Таким образом, изменение молярной внутренней энергии при нагревании на 2 К практически не зависит от характеристической температуры, поэтому отбрасывая дробную часть получаем 
Дж
Ответ: Дж
Пример 18.2. Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до 
. Характеристическую температуру принять равной 300 К.
Решение
Начальная температура 
К, конечная температура 
К, изменение молярной внутренней энергии равно, согласно (7),
(12)
где 
, 
,
. (13)
Итак, 
(А2), 
, значение 
найдем графически из Приложения, и равно 6.5, из (12) получаем 
Дж/моль
Ответ: 
Дж
Пример 18.3. ([1] 50.24) Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, определить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на 2К от температуры 
.
Решение
Конечное значение температуры К, тогда изменение молярной внутренней энергии равно, согласно (12),
(14)
где 
, , а 
задана (13).
Итого, два неизвестных: , и одно уравнение. Аналогично примеру 18.1, доопределяем постановку задачи, причем так - зададим в диапазоне от 100 до 1000 К с шагом 100 К. Функция , согласно (14), является гладкой от характеристической температуры , то по приведенному ответу можно установить значение пропущенного параметра. Вычисляя по (14) для разных , получаем
100 40.36 300 40.18 500 40.14 700 40.12 900 40.11
200 40.22 400 40.15 600 40.13 800 40.12 1000 40.11
Таким образом, изменение молярной внутренней энергии при нагревании на 2 К практически не зависит от характеристической температуры, поэтому отбрасывая дробную часть получаем 
Дж. Сравним с более грубым результатом вычисления по модели Эйнштейна 
Дж (грубость модели есть следствие того, что Эйнштейн полагал, что тепловое движение описывается совокупностью независимых осцилляторов, колеблющихся на одной частоте ).
Ответ: Дж
Пример 18.4. Определить квазиимпульс 
фонона, соответствующего частоте 
. Усредненная скорость звука в кристалле равна 1380 м/с, характеристическая температура Дебая равна 100 К. Дисперсией звуковых волн пренебречь.
Решение
Отсутствие дисперсии означает, что частота звука пропорциональна волновому числу, т. е. 
. Решение представим в виде цепочки формул: 
К 
. Подставляем численные значения в полученные формулы, получаем: 
кг·м/с
Ответ: кг·м/с
Пример 18.5. Определить температуру Дебая для одномерного химически простого кристалла, т. е. цепочки атомов, совершающих колебания вдоль прямой линии, на которой они размещаются. Концентрация атомов (число атомов на единицу длины) 
м-1. Скорость упругих волн в кристалле 
м/с.
Решение
Впервые такую систему рассчитал Исаак Ньютон во второй половине 17 века в задаче одномерного распространения звука. Минимальная длина волны, которая может распространяться в цепочке равна 
, где 
- период решетки – расстояние между ближайшими атомами цепочки атомов. Почему это так, можно понять если записать уравнение движения 
-го атома
где 
- отклонение -го атома от положения равновесия. Считая, что по цепочке перемещается продольная бегущая волна 
, получаем 
и 
, где 
.
Максимальная частота при 
и 
, тогда минимальная длина волны равна 
, что и требовалось показать.
Итак, 
. Найдем межатомное расстояние из линейной концентрации атомов: 
, а 
, тогда 
и 
м. Искомая характеристическая температура Дебая равна 
К.
Ответ: 
К.
Самостоятельная аудиторная работа
А18.1. Найти частоту колебаний атомов серебра по теории теплоемкости Эйнштейна, если характеристическая температура серебра равна 165 К (3.45 ТГц).
А18.2. Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до 
. Характеристическую температуру принять равной 300 К (0.34 Дж).
А18.3. Определить максимальную частоту собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура Дебая 
К (3.77 ТГц).
А18.4. Найти отношение изменения внутренней энергии кристалла при его нагревании от нуля до 
к нулевой энергии. Указание: значение интеграла (7) определите графически по графику А1 (0.0052)
А18.5. При нагревании серебра массой 10 г от 10 К до 20 К было подведено 0.71 Дж теплоты. Определить характеристическую температуру Дебая серебра. Считать и 
кг/моль. Значение интеграла Дебая см. А2 (212К).
А18.6. Длина волны фонона, соответствующего частоте 
, равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить характеристическую температуру Дебая , если усредненная скорость звука в кристалле равна 4.8 км/с (441К).
А18.7*. Период решетки одномерного кристалла (кристалла, атомы которого образуют одномерные цепочки, не взаимодействующие друг с другом) равен 0.3 нм. Определить максимальную энергию фононов, распространяющихся вдоль этой цепочки атомов. Усредненная скорость звука в кристалле равна 5 км/с.
Задание на дом: [1]: 50.9, 50.14, 50.21, 50.26, 50.27, 50.44
Литература
1. Г., А. Задачник по физике. Изд. 5-е. М. Высшая школа, 1988.
2. В. Курс общей физики. Том 3. М.: Наука, 1988. – 320 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ
1 эВ – 
Дж
(А1)
(А2)
Основные порталы (построено редакторами)