Самосогласованное решение интегро-дифференциальных уравнений Шредингера и Пуассона
В., А., В., Ю.
Студенты
Рязанский государственный радиотехнический университет, кафедра высшей математики, Рязань, Россия
nusha. *****@***ru_____
Рассмотрен расчет зонной структуры гетероперехода AlxGa1-x/GaAs самосогласованным решением уравнений Шредингера и Пуассона. Также приведена аппроксимация профиля потенциальной ямы гетероперехода, которая используется в расчете времени электрон-электронного взаимодействия.
Зонные диаграммы исследованных наноструктур рассчитаны методом самосогласованного решения уравнений Шредингера и Пуассона
; 
(1)
с граничными условиями
, 
, 
, 
(2)
Самосогласованное решение системы (1) с граничными условиями (2) представляет определенные трудности из-за неопределенности распределения плотности заряда 
. В ряде работ предприняты попытки расчета зонных структур гетеропереходов, однако авторы ограничились численным методом и не получили аналитического решения. Кроме того, в решении системы (1) могут возникнуть разного рода расходимости, существенно влияющие на конечный результат. Так как суммарный интеграл:
, (3)
то в первом приближении в яме должны существовать две области положительного и отрицательного зарядов: 
и 
с условием 
. Так как 
(
- уровень легирования), то простейшая аппроксимация, позволяющая получить численный результат, удобный для интегрирования интегро-дифференциального уравнения Больцмана, имеет вид:
(4)
Подставляя систему (4) в (3) и интегрируя, получим: 
.
Далее, подставив (4) в (1), и после простых преобразований [1] получим распределение потенциала:
, , (5)
, . (6).
Моделирование потенциала имеет существенный недостаток: «произвол» в определении постоянных 
и 
. Кроме того, используя метод, не удается решить уравнение Шредингера (1). В определенной мере произвол можно снять граничным условием (2).
. (7)
Откуда следует связь 
.
Для дальнейшего использования расчетов необходима аппроксимация профиля потенциальной ямы. Для этого решение системы может быть получено в виде:
. (8)
где 
и 
- некоторые подгоночные параметры [2].
Очевидно, что ряд в (8) является равномерно сходящимся, поэтому с точностью до 2 члена разложения имеем:
. (9)
Аппроксимация может быть использована для дальнейших расчетов времени электрон-электронного взаимодействия [1].
Авторы выражают благодарность зав. каф. высшей математики РГРТУ, доц. В., к. ф.-м. н., доц. И., к. ф.-м. н., доц. Б. и научному руководителю, асс. С.
Литература
1. Б., А., И., С. – Кинетические процессы в умеренно легированном гетеропереходе. – Вестник РГРТУ. – 2013. – №3(45). – С. 88-92.
2. Ambartsumyan V. A., Andryushchenko E. A., Bukhenskyy K. V., Dubois A. B., Dvoretskova E. A., Gordova T. V., Kucheryavyy S. I., Mashnina S. N., Safoshkin A. S. – Channels of electron-electron interactions in highly doped heterojunction. – Nanosystems: physics, chemistry, mathematics. – 2014. – Vol. 5, Issue 3. – pp 343-353.
3. Bukhenskyy K. V., Dubois A. B., Gordova T. V., Kucheryavyy S. I., Mashnina S. N., Safoshkin A. S. Electron-electron Interactions in Highly Doped Heterojunction. – Physics Procedia. – 2015. – Vol. 71. – pp. 359-363.
Основные порталы (построено редакторами)