Раздел 2
Все звезды, которые находятся в нашей Галактике, имеют три составляющие движения. Это Галактическая, параллактическая и пекулярная составляющие. Галактическая составляющая возникает за счет вращения Галактики. Параллактическая составляющая – это влияние на собственные движения звезд движения наблюдателя. Пекулярная составляющая – это случайное собственное движение звезд. Собственное движение звезд состоит из тангенциальной и лучевой составляющей. Лучевых скоростей известно очень мало, и поэтому основным источником информации о движении звезд является только тангенциальная составляющая собственного движения звезд.
Для изучения кинематики нашей Галактике построено множество моделей. В данной работе рассматриваются две модели вращения Галактики. Это физическая модель Огородникова-Милна и математическая модель.
2.1. Галактическая система координат
При изучении кинематики нашей Галактики удобно использовать Галактическую систему координат. Прямоугольная и сферическая система коорнат их связь (матрица перехода) с экваториальной...
2.2. Центроид.
Для описания движения звездных систем необходимо ввести понятие центроид. Центроид – это мнимый объект, полученные путем выбора множества звезд, для которых проводится усреднение по положениям и собственным движениям. Усреднение положений всех звезд принадлежащим этому центроиду даст нам его координаты, а усреднение их собственных движений - среднее собственное движение центроида. Звезды, которые входят в данный центроид, имеют разную массу, и в большинстве случаев неизвестную, поэтому массы считают единичными. Использовние понятия центроида дает возможность заменить сложное диференциальное поле скоростей звезд на более простое и однородное. Так как при усреднении собственных движений звезд центроида мы избавляемся от пекулярной составляющей собственного движения, и остается только галактическая и параллактическая составляющие.
2.1. Физическая модель.
Найбелее популярная модель для изучении кинематики нашей Галактики является модель Огородникова-Милна. Расмотрим векторное поле скоростей звезд:
V=V0+S⨯r+A⨯r (2.1.1)
V0- параллактическая составляющая; S-тензор локальной деформации; А-тензор твердотельного вращения; r-вектор гелиоцентрического положения звезды;
Тензор локальной деформации в матричном виде принимает вид:
(2.1.2)
Тензор твердотельного вращения в матричном виде: 
(2.1.3)
Эта модель допускает использование, кроме тангенциальных скоростей, также лучевых скоростей звезд и их паралаксов для определения расстояний. На данный момент радиальные составляющие пространственных скоростей звезд получено очень мало, а паралаксы – только для самых близких звезд. При использовании только собственных движений, модель Огородникова-Милна в развернутом виде будет представлена следующими уравнениями в галактической системе координат:
(2.1.4)
(2.1.5)
где X0,Y0,Z0-компоненты скорости Солнца относительно выбраногоцентроида; 1/r – паралактический фактор, который при решении мы принимаем равным 1; М(11+), М(22+),М(33+) – описывают общее сжатие или расширение звездной системы вдоль соответствующих осей; М(12+)- описывают деформацию в плоскости XY; М(13+)- описывают деформацию в плоскости XZ; М(23+)-описывают деформацию в плоскости YZ; компоненты матрицы вращения представляют собой составляющие вектора твердотельного вращения звездной системы: М(12-)- составляющая вектора твердотельного вращения звездной системы вокруг оси Z; М(13-)- составляющая вектора твердотельного вращения звездной системы вокруг оси Y; М(23-)- составляющая вектора твердотельного вращения звездной системы вокруг оси X.
Решая данные уравнения с помощью метода наименьших квадратов, находим компоненты матрицы деформации и матрицы твердотельного вращения.
Кроме того, после решения данных уравнений, можно найти угловую скорость нашей звездной системы на расстоянии Солнца
(2.1.6)
где А и В постоянные Оорта линейной модели Оорта-Линбланда 
.
Зная угловую скорость, находим линейную скорость движения центроида Солнца относительно центра Галактики
(2.1.7)
2.2.Математическая модель.
Исспользование физических моделей для изучения нашей Галактики состоит в нахождении значений параметров, которые записаны в модели и имеют четкий физический смысл. В математической модели нет априорной информации о том что содержыт исходное поле скоростей. Поэтому использование математического метода в исследовании кинематики Галактики состоит в нахождении значимых коэфициентов ортогонального разложения собственных движений звезд и их интерпритация.
2.2.1.Скалярные сферические гармоники.
Сферические гармоники широко используются в различных областях физики и математики. Они могут быть определены многими способами. В данной работе используется определение, использовавшееся в работах Арфкен(1970):
(2.2.1.1)
(2.2.1.2)
где l и b долгота и широта точки на сфере, соответственно (0≤l≤2π; -π /2≤b≤ π /2). Рnk(δ) - полиномы Лежандра (при k=0) и присоединенные функции Лежандра(при k>0), которые определяются следующим образом:
(2.2.1.3)
где k=0,1,…; n=k+1,k+2,…
(2.2.1.4)
(2.2.1.5)
Для удобства, нумерация гармоник Knkp сводится к одному индексу j, где 
.
2.2.2.Векторные сферические гармоники(ВСГ)
Рассмотрим в касательной плоскости множество взаимно ортогональных единичных векторов el ,eb,er в направлениях долготы, широты и луча зрения, соответственно. Из определения векторных сферических гармоник (Арфкен 1970) вводится радиальная 
, тороидальная 
и сфероидальная 
гармоники с помощью соотношений:
(2.2.2.1)
(2.2.2.2)
(2.2.2.3)
где
(2.2.2.4)
Обозначим компоненты единичного вектора 
как
, и компоненты единичного вектора 
как 
и 
:
(2.2.2.5)
(2.2.2.6)
Эти компоненты определяются как:
(2.2.2.7)
(2.2.2.8)
(2.2.2.9)
(2.2.2.10)
Введенные гармоники 
ортонормированны на сфере, так как верны следующие соотношения:
(2.2.2.6)
(2.2.2.7)
2.2.3. Представление поля скоростей звезд по системе ВСГ
Реальное поле скоростей звезд на небесной сфере в галактической системе координат имеет вид: (переделать формулу F(l, b)=ml*cosb*el+mb*eb)
(2.2.3.1)
Используя определение векторных сферических гармоник, можем разложить поле разностей следующим образом: (F(l, b))
(2.2.3.2)
где в силу ортонормированности базиса коэффициенты разложения tnkp и snkp вычисляются по формулам:F(l, b)
(2.2.3.3)
(2.2.3.4)
Современные каталоги содержащих сотни миллионов звезд, поэтому целесообразно использовать предварительную пикселизацию данных. В данной работе исспользуется разбиение всей небесной сферы на равновеликие площадки по методу HealPix (Горский и др., 2005). В этом методе ключевым параметром, определяющим разбиение сферы на равные площадки, является число 
. Общее число пикселей 
. Двумя параллелями со склонением ±arcsin(2/3) вся сфера разбивается на три части – экваториальную и две полярные. В полярных зонах выбирается по 
параллелей, в экваториальной зоне число параллелей равно 
. На каждой параллели экваториальной области находятся центры 
площадок. Ближайшие к полюсам параллели всегда содержат по четыре площадки, а при движении от полюсов к экватору в полярных зонах число площадок на каждой параллели увеличивается на единицу. Нумерация площадок j = 0, 1, . . . ,N − 1 идет по параллелям с севера на юг.
НАДО ВСТАВИТЬ КРАСИВУЮ КАРТИНКУ ПИКСИЛИЗАЦИИ
Определение коэффициентов разложения систематических разностей по ВСГ теперь примет вид:F(l, b)
(2.2.3.5)
(2.2.3.6)
2.2.4. Статистические критерии определения значимых членов разложения
Определение значимости коэффициентов
и 
основано на том, что для нормально распределенного центрированного шума с дисперсией 
коэффициенты и являются нормально распределенными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и с единичной дисперсией. Следовательно, квадраты амплитуд 
и 
являются случайными величинами, распределенными по закону “хи-квадрат” с одной степенью свободы. На этом основании можно оценить вероятность q превышения величинами и порога X:
(2.2.4.1)
где 
- плотность 
распределения с k степенями свободы. Отсюда следует, что определение значимости каждой гармоники основано на проверке априорной гипотезы о том, что исходные данные являются дискретным центрированным шумом с единичной дисперсией. Высказанная гипотеза проверяется для каждой гармоники и с вероятностью p= 1− q отвергается, если квадрат значения коэффициента разложения центрированной нормированной последовательности данных превышает уровень порога обнаружения X.
Для определения значимости коэффициентов разложения необходимо
перебрать все гармоники, которые могут быть вычислены на выбранной сетке точек. Это требование сводится к установлению граничных значений
индексов k и n. Для выбора наибольшего значения 
можно воспользоваться тем обстоятельством, что на сетке HealPix с ключевым параметром условие ортогональности нарушается для произведения гармоник Tk1,k1,p (lj, bj) Tk2,k2,p (lj, bj) и Sk1,k1,p (lj, bj) Sk2,k2,p (lj, bj) при выполнении соотношения
(2.2.4.2)
Это означает, что значение k=kmax=4Npix является граничным в том смысле, что каждая векторная сферическая функция с индексами n=k>4Npix даст ложное значение коэффициента разложения с индексами n=k<4Npix. Поэтому перебор гармоник по индексу k следует вести для значений k=0,1,…,4Npix-1.
Ограничение на индекс n можно получить из условия получения с заданной точностью искомых значений коэффициентов разложения. Поскольку на дискретной сетке центров HealPix площадок существует по индексу n ограничение на точность вычисления квадратов норм базисных функций, для каждого допустимого значения индекса k предельное значение нашей серии n=k, k+1,...,nmax определяется из условия нарушения заданной точности (например, один процент) вычисления квадратов норм базисных функций: (l, b)
(2.2.4.3)
(2.2.4.4)
Таким образом, в границах допустимых значений индексов k и n неравенства
(2.2.4.5)
говорят о том, что коэффициенты с индексами n, k, p определяются с заданной вероятностью p = 1−q наличием соответствующих гармоник, а не шумом.
В этих формулах величины 
и 
вычисляются по формулам (25) и (26), по нормированным исходным данным F(l, b)
(2.2.4.6)
где средние значения и дисперсии исходных разностей получены следующим образом:F(l, b)
(2.2.4.7)
(2.2.4.8)
(2.2.4.9)
(2.2.4.10)
Центрирование и нормирование собственных движений mlΔαj cos δj и mbΔδj позволяет воспользоваться гипотезой о распределении искомых коэффициентов по закону хи-квадрат с одной степенью свободы. Однако для коэффициентов tn,0,1 и sn,0,1 при нечетных значениях индекса n тестируются не сами коэффициенты, а лишь значения
(2.2.4.11)
(2.2.4.12)
где 
и 
соответствуют (25) и (26), при F(l, b)
(2.2.4.13)
Очевидно, что при этом мы можем судить только о вероятности отклонения искомого коэффициента от его значения, соответствующего случаю независимости собственного движения звезд от координат. Таким образом, после отбора индексов n, k, p, для которых коэффициенты разложения значимы, численные значения самих коэффициентов и их среднеквадратичные ошибки определяются методом наименьших квадратов по отобранному множеству функций. Поскольку к зональным функциям с нечетными значениями индекса n критерий значимости, основанный на распределении хи-квадрат, применять нельзя, при МНК-решении всегда в набор функций следует включать зональные функции Sn,0,1 и Tn,0,1 при n = 1, 3, 5, . . . , nmax, где nmax назначается из условий (29) и (30) при k = 0, p = 1.
проверить номерацию формул и ссылки на них, представить в виде 2.n для n=1,2,....... во всех вормулах заменить экваториальные на галактические координаты а разность координат на собственное движение.
Основные порталы (построено редакторами)