Ряды (таблица-схема исследования)
Вид ряда, его тип | Схема исследования |
ФОРМУЛЫ | 1! обобщенный гармонический ряд геометрическая прогрессия |
I. Числовой знакоположительный ряд
| I.1. Применим необходимый признак: Если ряд
 , то ряд расходится. Если  , то переходим к следующему пункту. I.2. Применим признаки сходимости знакоположительных рядов.
 (для признака Даламбера) или  (для признака Коши), тогда если если если
 и  начиная с некоторого номера   , то если больший меньший меньший больший
и при   , то ряды сходятся или расходятся одновременно. В качестве рядов для сравнения выбираем ряды вида формул 1! и 2!.
и интеграл  сходятся или расходятся «одновременно» при условии  и  – монотонно убывающая при  функция. |
II. Числовой знакочередующийся ряд
| II.1. Применим необходимый признак: Если ряд
, то ряд расходится. Если , то переходим к следующему пункту. II.2. Применим признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов: Если II.3. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Ряд Ряд Для сходимости знакоположительного ряда |
2! 
- действительные числа, 
.
, при 
то ряд
, то ряд
, то о сходимости (или расходимости) ряда ничего сказать нельзя.
,
, то ряд сходится.III. Числовой знакопеременный ряд
| III.1. Применим необходимый признак: Если ряд
, то ряд расходится. Если , то переходим к следующему пункту. III.2. Исследуем на сходимость ряд
 сходится, то исследуемый ряд сходится абсолютно. Если ряд расходится, то исследуемый ряд не является типовым рядом, рассматриваемом в изучаемом курсе и требует применения признаков, изучение которых не входит в программу курса (признаки Дирихле и Абеля* сходимости знакопеременных рядов). |
IV. Функциональный ряд
| IV.1. Применим необходимый признак: Если ряд
  , то на множестве  ряд расходится. Если   , то для исследования на сходимость ряда на множестве  переходим к следующему пункту. IV.2. Исследуем на сходимость ряд
 сходится на , то исследуемый ряд сходится на абсолютно. Если ряд расходится на , то исследуемый ряд не является типовым рядом, рассматриваемом в изучаемом курсе и требует применения признаков, изучение которых не входит в программу курса. |
V. Степенные ряды
| V.1. Находим радиус сходимости ряда:
 ряд сходится абсолютно. На множестве  ряд расходится. В точках  , т. е.  и  исследуем ряд с помощью пунктов I и II (числовые ряды получаем, подставляя в ряд  вместо  последовательно  и  ). |
, где 
- функции действительного переменного 
.
, то 
, при 
.
:
или 
.* Признак Абеля. Ряд 
сходится, если: 1) ряд сходится; 2) числа 
образуют монотонную и ограниченную последовательность.
Признак Дирихле. Ряд сходится, если: 1) частичные суммы 
ограничены в совокупности; 2) последовательность 
монотонно стремится к нулю при .
Основные порталы (построено редакторами)