УДК 517. 31
А. Асанов, Жокен кызы С.
ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА-СТИЛЬТЬЕСА ПЕРВОГО РОДА
Вопросам исследования интегральных уравнений Вольтерра посвящено большое количество работ [см. например 1,5,7]. Но уравнения Вольтерра-Стильтьеса в общем случае не всегда сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра, так как интеграл Стилтьеса не всегда сводится к интегралу Римана или интегралу Лебега [6]. Поэтому изучение интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса представляет самостоятельный интерес. Так, в работе [2] автор, с помощью понятия производной по возрастающей функции, исследует интегральные уравнения Вольтерра-Стильтьеса второго и первого рода. Понятие производной по возрастающей функции дано в работе [3]. В настоящей работе рассматриваются вопросы регуляризации и единственности решения интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса первого рода.
Пусть 
-возрастающая непрерывная функция на G=
.
Рассмотрим уравнение
(1)
где 
, 
и 
–данные функции, 
-неизвестная функция.
Наряду с уравнением (1) будем рассматривать уравнение
(2)
где 
– малый параметр.
Потребуем выполнения следующих условий:
а) при любом фиксированном - непрерывная функция на 
,
для ;
б) при 
для любых 
справедлива оценка
, где 
при .
Будем обозначать 
линейное пространство всех функций , определенных на 
и удовлетворяющих условию
где С-положительная постоянная, зависящая от , но не от t и s.
Лемма 1.
Пусть
(3)
Тогда
1) если 
при почти всех и
,,то на сегменте справедлива оценка
(4)
где 
–произвольное число из интервала (0,1),
, 
-обратная функция к функции 
;
2) если 
при и
,,то
(5)
где 
, 
Доказательство:
Пусть 
.Тогда
(6)
Если 
, то учитывая условия леммы, имеем
(7)
(8)
Из оценок (6),(7) и (8) для (3) получаем искомую оценку (4).Первая часть леммы доказана.
Если 
, то
Получили оценку (5). Лемма доказана.
Лемма 2.
Пусть выполняются условия а) и б), оператор К определен по формуле (1),
при . Тогда оператор 
- ограничен.
Доказательство:
Пусть 
. Тогда, с учетом условий а) и б), для любых 
имеем:
Отсюда сразу следует утверждение леммы. Лемма доказана.
Рассмотрим уравнение (2)
Используя резольвенту ядра 
[см.2], имеем
Применяя обобщенную формулу Дирихле [2], после некоторых преобразований получаем
(9)
где
(10)
Так как уравнения (2) и (9) эквивалентны, то, учитывая условия а) и б), из (10) имеем
(11)
Теорема. Пусть выполняются условия а) и б). Тогда
1) если 
при почти всех , уравнение (1) имеет решение 
и 
, то решение уравнения (2) при 
сходится по норме 
к . И при этом справедлива оценка
||
||
(12)
где –произвольное число из интервала (0,1),
,
-обратная функция к функции , 
2) если при , уравнение (1) имеет решение 
, то решение уравнения (2) при сходится по норме к . И при этом справедлива оценка
(13)
где 
,,
Доказательство
В уравнении (2) сделаем замену 
(14)
где -решение уравнения (1). Подставим (14) в (2):
(15)
Сравнивая эквивалентные уравнения (2) и (9), уравнение (15) сводим к эквивалентному уравнению
(16)
где
(17)
Учитывая (11), из (16) имеем
, (18)
где 
Для доказательства первой части теоремы к (18) применяем обобщенное неравенство Гронуолла-Беллмана [2]. Далее, в силу (17) и в силу леммы 1 получим оценку (12). Вопрос сходимости разрешается из доказанной оценки.
Для доказательства второй части теоремы, применяя к (18) обобщенное неравенство Гронуолла-Беллмана, учитывая (17) и в силу леммы 1, имеем оценку (13). Теорема доказана.
Следствие 1.
Если выполняются условия а) и б) и при почти всех , то решение уравнения (1) в пространстве единственно.
Доказательство:
Пусть –ненулевое непрерывное на решение уравнения (1) при 
.
Тогда из (1) имеем
Отсюда по условию и в силу теоремы о среднем имеем
При 
получим .
Тогда, так как , из оценки (12) имеем
, 
- достаточно малое фиксированное число.
Следовательно, 
, т. е. 
при
Единственность доказана.
Следствие 2
Если выполняются условия а) и б) и существует число 
такое, что при почти всех 
,то решение уравнения (1) единственно в пространстве 
Доказательство:
Аналогично доказательству следствия 1, делая допущение существования ненулевого решения уравнения (1) при , учитывая условие и применяя теорему о среднем из оценки (13) имеем
, где -достаточно малое фиксированное число.
Тогда , т. е. при . Единственность доказана.
Пример 1
, 
Здесь 
Для данного уравнения выполняются условия а) и б). Тогда в силу теоремы и следствия из нее уравнение имеет единственное решение 
.
Следующий пример показывает существенность выполнимости условия б) для единственности решения уравнения (1).
Пример 2
,
Данное уравнение, кроме нулевого, имеет решение 
, так как здесь нарушается условие б).
ЛИТЕРАТУРА
1. С., Б. Приближенное решение интегральных уравнений 1 рода методом квадратных сумм. Дифференциальные и интегральные уравнения. - Иркутск,1973. Выпуск 1.-с. 248-258.
2. Интегральные уравнения Вольтерра-Стильтьеса второго и первого рода //Табигий Илимдер журналы. - Бишкек, КТМУ, 2002. Выпуск 2. –С. 79-95.
3. Производная функции по возрастающей функции //Табигий Илимдер журналы. - Бишкек, КТМУ, 2001. Выпуск 1. –С. 18-45.
4. П. Лекции по математической теории устойчивости - М.: Наука, 1967. –С.472.
5. И., Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтера 1 рода. Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. -Фрунзе. Илим, 1988. Выпуск 21. –С. 3-38.
6. П. Теория функций вещественной переменной /Под ред. В. - М.: Наука, 1974. –С. 200,250.
7. Интегральные уравнения. ИЛ., 1960.
Основные порталы (построено редакторами)