9 класс | Авторская платформа Pandia.ru

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Задача 1. В кучке из 49 монет, ровно две – фальшивые. Известно, что фальшивые монеты отличаются по весу от настоящих. Как за три взвешивания определить легче или тяжелее фальшивые монеты настоящих.

Решение. Отложим в сторону одну монету, оставшиеся 48 монет разобьём на три кучки (I, II, III) – по 16 монет в каждой. Заметим, что в любом случае ровно две кучки из получившихся трёх будут иметь одинаковый вес.

Взвесим I и II, а также I и III. Без ограничения общности будем считать, что I и II весят одинаково. Тогда либо все монеты в I и II настоящие, либо в них содержится по одной фальшивой монете. Разобьём I на две части по 8 монет в каждой и сравним их вес.

1) Если вес обоих частей не отличается, то все монеты в I и II настоящие, в III содержится как минимум одна фальшивая монета. Следовательно, если III весит меньше I (выяснили ранее), тогда фальшивая монета весит меньше настоящей. Если же III весит больше I, тогда фальшивая монета весит больше настоящей.

2) Если вес обоих частей отличается, то в I и II по одной фальшивой монете, следовательно, в III все монеты настоящие. Если I весила больше III, тогда фальшивая монета весит больше настоящей, в противном случае – меньше настоящей.

Таким образом, за 3 взвешивания можно достоверно установить легче или тяжелее фальшивая монета настоящей монеты.

Задача 2. Числа x и x + 1 имеют нечётные суммы цифр. Сколько таких чисел x среди первой тысячи натуральных чисел?

Решение. Чётность чисел x и x + 1 может не поменяться только в том случае, если число x заканчивается на 9, другими словами . Представим и рассмотрим следующие 3 случая:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

1) Пусть b – чётная цифра. Тогда a также должна быть чётной, чтобы числа x и x + 1 имели нечётные суммы цифр. Всего существует 5 чётных цифр, следовательно вариантов представления числа в случае чётной b будет ровно 52 = 25.

2) Пусть b – нечётна и . Тогда a должна быть нечётной. Следовательно вариантов представления числа в случае нечётной b будет .

3) Пусть . Тогда a также должна быть равной 9 (так как в противном случае чётность x и x + 1 будет меняться). В данном случае существует только один вариант: .

Объединяя все варианты в рассмотренных выше случаях получим, что всего существует 46 чисел, удовлетворяющих условиям задачи.

Задача 3. Петя утверждает, что в последовательности чисел Фибоначчи (F1 = F2 = 1, ) всегда можно найти два соседних числа, заканчивающихся на одну и ту же любую цифру. В чём не прав Петя?

Решение. Заметим, что элементы F3k–2, F3k–1, , представленного ряда всегда нечётные, следовательно, не может идти подряд двух чётных элементов. Если ряд содержит два числа, заканчивающихся на 5, то его начальные значения могут равняться либо 5, либо 0, что противоречит условию F1 = F2 = 1. Все оставшиеся числа (1, 3, 7, 9) могут идти подряд, что легко показать на первых элементов ряда Fi mod 10:

1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3.

Задача 4. На доске написаны три различных двузначных числа. Вышедший к доске ученик должен был перемножить первое число со вторым, а полученный результат разделить на третье число. Однако ученик перепутал действия и вместо правильного ответа 96 получил второе число (из написанных на доске). Какие числа были записаны на доске?

Решение. Обозначим данные три числа (последовательно) как a, b и c. Исходя из условий задачи.

Так как все числа различны, то «перепутать» действия ученик мог только таким образом, что число b оказалось в знаменателе. Другими словами,

Из условия следует, что . Подставляя в получаем . Таким образом, b представимо в виде , где m – нечётна и не превосходит 5. Так как a, b – различные двузначные числа, то . Следовательно, , .

Задача 5. Докажите, что четыре расстояния от точки на окружности до вершин вписанного в данную окружность квадрата не могут быть одновременно рациональными числами.

Решение. Построим квадрат ABCD, вписанный в окружность, и рассмотрим расстояния от точки E на окружности до вершин данного квадрата (рис. 1).