Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Слайд 1
Уважаемые члены государственной экзаменационной комиссии!
Вашему вниманию представляется выпускная квалификационная работа на тему: «Преобразования Лапласа и Фурье и их приложения».
Слайд 2-3
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Более подробная структуры дипломной работы представлена на слайдах.
В математике XVII века самым большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница, их ближайших учеников и сотрудников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований, быстро изменивших все лицо математики, поднявших ее роль в системе естественно-научного знания человечества. Основываясь на данную теорию, стали появляться и развиваться другие математические теории, имеющие не менее ценное значение для человечества.
За последнее столетие в математическом анализе и алгебре широкое распространение получили методы, связанные с использованием интегральных преобразований. Эти методы были успешно применены к решению дифференциальных и интегральных уравнений, изучению специальных функций, вычислению интегралов.
Смысл введения интегральных преобразований состоит в следующем: с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений, перейти от сложных понятий математического анализа к более простым алгебраическим соотношениям.
Интегральные преобразования используются не только в математике, но и в других различных сферах человеческой деятельности: расчет выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов; расчет электрических схем; решение задач математической физики.
В нашей работе мы подробно рассмотрели преобразования Фурье и Лапласа.
Слайд 4
Преобразование Фурье – операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты при разложении исходной функции на элементарные составляющие – гармонические колебания с разными частотами.
Преобразование Фурье функции 
вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается формулой вида (1):
.
Рассмотрим свойства преобразований Фурье.
1. Преобразование Фурье является линейным оператором:
.
2. Справедливо равенство Парсеваля: 
.
3. Формула обращения: 
.
4. Преобразование Фурье и дифференцирование: если 
.
5. Преобразование Фурье и сдвиг: 
.
Слайд 5
Существует несколько видов преобразований Фурье.
1. Многомерное преобразование Фурье: 
.
2. Непрерывное преобразование Фурье (задается несколькими формами):
3. Ряды Фурье: 
.
4. Дискретное преобразование Фурье: 
.
5. Оконное преобразование Фурье: 
.
Слайд 6
Преобразование Лапласа – интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
Рассмотрим виды преобразований Лапласа.
1. Прямое преобразование Лапласа:
2. Двухстороннее преобразование Лапласа – обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения 
:
3. Дискретное преобразование Лапласа. Различают 2 вида:
D-преобразование: 
.
Z-преобразование: 
.
Слайд 7
На слайде представлены свойства преобразований Лапласа.
1. Линейность:
.
2. Умножение на число:
.
3. Теорема смещения: если функция 
это изображение 
, то 
является изображением функции 
.
Доказательство представлено на слайде:
Применим оператор Лапласа:
. ЧиТД.
Слайд 8
На слайде представлен пример решения интегрального уравнения с помощью преобразования Лапласа.
Пример. Решить интегральное уравнение 
.
Решение:
Функции, входящие в уравнение имеют преобразование Лапласа 
.
Пользуясь, сверткой получим:
Используя таблицу основных изображений, получим: 
.
Ответ: .
Слайд 9-10
На слайде представлен пример решения дифференциального уравнения с помощью преобразования Фурье.
Пример. Используя преобразование Фурье, найти решение дифференциального уравнения: 
.
Решение:
Пусть 
, тогда по свойству о дифференцировании преобразования Фурье, получаем:
.
Так как по таблице основных преобразований Фурье 
, тогда
По формуле обращения 
получаем:
Интегрируя, найдем корни уравнения.
Ответ: 
Слайд 11
Спасибо за внимание!
Основные порталы (построено редакторами)