Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 4
г. о. Орехово-Зуево Московской области
Факультативное занятие
по математике
в 11 классе по теме
"Решение задач ЕГЭ
группы С2
методом координат"
Учитель математики
МОУ СОШ № 4
И.
2015
План занятия:
Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Домашнее задание.Цели:
1. Научить учащихся вычислять координаты вершин многогранников и точек, расположенных на их рёбрах и гранях.
2. Научить составлять уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
3. Применить "Метод координат" ко всем типам задач С2.
4. Развивать пространственное воображение.
5. Повысить уровень подготовки к ЕГЭ.
Технологии: развивающего обучения, работа в группах, ИКТ.
Ход занятия.
Угол между прямыми.Теоретический материал.
Если вектор а{х1;у1;z1} принадлежит прямой а, вектор в{х2;у2;z2} принадлежит прямой в, то
cos(а в)=
.
№1. В единичном кубе A...D1 найдите угол между прямыми ВА1 и В1Д1.
Дано: A...D1 – куб.
АВ=1
Найти: cos(ВА1 В1Д1).
Решение.
Введём прямоугольную систему координат так, что А(0;0;0). Тогда В(1;0;0), А1(0;0;1), В1(1;0;1), Д1 (0;1;1). Вектора ВА1 и В1Д1 имеют следующие координаты: ВА1{-1;0;1}, В1Д1{-1;1;0}.
cos(ВА1 В1Д1)=
.
Значит, (ВА1 В1Д1)=60º.
Ответ: 60º.
№ 2. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и СА1.
Дано: АВСА1В1С1–правильная призма
АВ=1
Найти: cos(АВ СА1).
у
С
А В х
Решение.
Введём прямоугольную систему координат так, что А(0;0;0). Тогда В(1;0;0), А1(0;0;1), С(
;
;0). Вектора АВ и СА1 имеют следующие координаты: АВ{1;0;0}, СА1{-;-;1}.
cos(АВ СА1)=
.
Ответ: 
.
Теоретический материал.
Вектор а{х1;у1;z1} принадлежит прямой а, ах + ву + сz +d= 0 – уравнение плоскости, для которой вектор n{а;в;с} – вектор нормали. Тогда угол между прямой и плоскостью можно вычислить по следующей формуле
sin(а в)=
.
№ 3.
В прямоугольном параллелепипеде А…Д1, у которого АВ=4, ВС=6, СС1=4, найти тангенс угла между плоскостью АВС и прямой ЕF, проходящей через середины рёбер АА1 и С1Д1.
Д1 F
С1
А1
В1
Е
Д1 С
А В
Решение.
Введём прямоугольную систему координат так, что А(0;0;0). Тогда В(4;0;0), А1(0;0;4), Е(0;0;2), F(2;6;4). Вектор ЕF имеет следующие координаты: ЕF {2;6;2}.
Так как АА1┴ (АВС), то вектор АА1 и будет вектором нормали для плоскости (АВС), найдём его координаты. АА1{0;0;4}.
 |
sin(ЕF (АВС))=
1+ctg2t =
1+ctg2t = 11; ctg2t =10; ctgt =
; tgt=
; т. е.
 |
tg(ЕF (АВС))= .
Ответ: .
№ 4.
В правильной шестиугольной призме А…F1, все рёбра которой равны 1, точка G – середина ребра А1В1. Найти sin угла между прямой АG и плоскостью ВСС1.
 |
Решение.
Введём прямоугольную систему координат так, что А(0;0;0). Тогда В(1;0;0), А1(0;0;1), В1 (1;0;1), С(
;;0), С1(;;1), G(;0;1). Вектор АG имеет следующие координаты: АG {;0;1}.
Чтобы найти вектор-нормали для плоскости ВСС1, напишем уравнение этой плоскости.
ах + ву + сz +d= 0
 |
В(1;0;0): а+d=0; а = - d
С(;;0): а + в + d=0; в=
С1(;;1): а + в + с + d=0; с=0.
-dx +у + d =0. (:-d); х - 
-1 = 0; 
.
Итак, вектор-нормали для плоскости ВСС1 n{
}.
sin(АG (ВСС1))= 
.
Ответ: 
.
Теоретический материал.
Плоскость α задана уравнением а1х+в1у+с1z+d=0, и её вектор нормали n1{ а1;в1;с1}; плоскость β задана уравнением а2х+в2у+с2z+d=0, её вектор нормали n2{ а2;в2;с2}. Для угла φ между плоскостями α и β справедлива формула
cos φ=
(cos φ≥0, так как угол φ – острый).
№ 5.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и СА1В1.
 |
Решение.
Введём прямоугольную систему координат так, что А(0;0;0). Тогда В(1;0;0), А1(0;0;1), В1 (1;0;1), С(;;0). Так как АА1┴ (АВС), то вектор АА1 и будет вектором нормали для плоскости (АВС), найдём его координаты. АА1{0;0;1}.
Для плоскости СА1В1 напишем уравнение плоскости. ах + ву + сz +d= 0
С(;
;0): а + в + d=0; в=-
А1(0;0;1): с +d =0; с=- d
В1 (1;0;1): а + с + d=0; а=0
у – dz + d=0; 2у - 
z + 1=0. n{0;2; }.
cos φ=
. 1+tg2t =
1+ tg2t=
tg2t=
tgt=
.
Ответ: 
.
№ 6 (самостоятельно).
В кубе A..,Dl найдите тангенс угла между плоскостями ABC и СВ1Д1.
 |
Ответ: 
.
Теоретический материал.
Расстояние h от точки М(х0;у0;z0) до плоскости α, заданной уравнением ах+ву+сz+d=0, определяется по формуле
h=
.
№ 7.
В правильной шестиугольной призме А...F1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости ДЕА1.
Решение.
Введём прямоугольную систему координат так, что А(0;0;0). Тогда А1(0;0;1), В1 (1;0;1), Е(0;;0).
Напишем уравнение плоскости ДЕА1. Для этого удобнее взять точки А1, Е, В1.
ах + ву + сz +d= 0
 |
А1(0;0;1): с + d=0; с= - d
В1 (1;0;1): а + с + d=0; а =0
Е(0;;0): в + d=0; в=-.
-у - dz+ d=0; у+z-=0. n{0;1; }, d= -.
h=
.
Ответ:.
№ 8.
1. В единичном кубе A...Dl найдите расстояние между прямыми
ВА1 и ДВ1.
К
Так как А1В ││В1К, а прямая ДВ1 лежит в плоскости ДВ1К, то можно находить расстояние от любой точки прямой А1В до (ДВ1К), например, от точки В(1;0;0).
ах + ву + сz +d= 0
В1(1;0;1): а + с + d=0; c =-
Д(0;1;0): в + d=0; в= - d
К(2;0;0): 2а + d=0. a = -.
-х - dу-z + d =0; х+2у+z-2=0; n{1;2;1}, d=-2.
h=
.
Ответ:
.
6. Домашнее задание:
1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.
2. В кубе A...D1 найдите синус угла между прямой AlDl и плоскостью АСВ1.
3. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой АВ и плоскостью SBC.
4. В кубе A...D1 найдите косинус угла между плоскостями ABlDl и СВ1Д1.
5. В единичном кубе A...D1 найдите расстояние от точки В до плоскости DA1C1.
Основные порталы (построено редакторами)