Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

2011 – 2012 учебный год

1. (7 баллов) Сколько различных корней на отрезке имеет уравнение

2. (7 баллов) Докажите, что: .

3. (7 баллов) Лиса Алиса и кот Базилио украли у Буратино чемодан. Замок на чемодане должен открыться, если три колёсика на нём (каждое из которых может занимать одну из восьми допустимых позиций) установлены в определённой комбинации. Однако, в силу ветхости механизма, чемодан откроется, если любые два колёсика из трёх поставлены в правильное положение. Базилио утверждает, что сможет открыть чемодан не более чем за 32 попытки. Прав ли он? (Попыткой называется установка какой-либо комбинации колёсиков)

4. (7 баллов) Внутри треугольника АВС, в котором ∠С = 70°, ∠В = 80° взята точка М так, что ∆ СМВ – равносторонний. Найдите ∠МАВ и ∠МАС.

5. (7 баллов) Решить в целых числах уравнение: .

6. (7 баллов) Решите уравнение: .

________________________________________________________________________________________________________________________

Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

2011 – 2012 учебный год

1. (7 баллов) Сколько различных корней на отрезке имеет уравнение

2. (7 баллов) Докажите, что: .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

5. (7 баллов) Решить в целых числах уравнение: .

6. (7 баллов) Решите уравнение: .

______________________________________________________________________________________________________________________

Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

2011 – 2012 учебный год

1. (7 баллов) Сколько различных корней на отрезке имеет уравнение

2. (7 баллов) Докажите, что: .

5. (7 баллов) Решить в целых числах уравнение: .

6. (7 баллов) Решите уравнение: .

Решения

1. Ответ: два различных корня.

Решение. Преобразуем уравнение ,

, . Первый множитель на отрезке равен нулю дважды, а второй – один раз. При этом если и , то . Тогда при этом значении х в нуль обращаются оба множителя полученного уравнения, и оно имеет два корня.

2. Решение. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

3. Решение. Не прав, 64 попытки.

4. Ответ: 20° и 10°.

Решение. Рассмотрим окружность с центром в точке М и радиусом R = MB = MC. точка А лежит на окружности с центром в точке М, т. е. окружность является описанной около ∆ АВС, значит , тогда , .

5. Решение. Разложением на множители получим , заметим, что в данном случае мы ничего не прибавляли к обеим частям уравнения. Так как число 13 – это 13⋅1, 1⋅13, −13⋅(−1), −1⋅(−13) , то мы получаем совокупность четырех систем:

Решая системы выражением одной переменной через другую, получаем, что системы (2) и (4) решений в целых числах не имеют, а ответами систем (1) и (3) являются соответственно x = 2, y = 1 и x = −2 , y = −1 .

6. Ответ: 15.

Решение. В уравнении делая замену переменной , получим , откуда .