Пример | Авторская платформа Pandia.ru

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Пример 1. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение .

Решение.

(1 способ) Решим уравнение графически. Построим в одной системе координат графики функций и . Графиком функции является «галочка» с вершиной в точке (-2; -1). Графиком функции является пучок прямых проходящих через начало координат.

Для функции изменяя значение параметра от - µ до + µ определим соответствующее количество точек пересечении графиков функции и .

Видно три критические значения параметра а=-1, а=1 и а=0,5. При а=-1 или а=1 прямая параллельна одной из ветвей графика функции . При а=0,5 прямая проходит через вершину графика .

При графики функций пересекаются в одной точке. При графики функций не пересекаются. При графики функций пересекаются в двух точках. При графики функций пересекаются в одной точке.

Значит при уравнение не имеет решений, при уравнение имеет два решения, при уравнение имеет одно решение.

Ответ: при - нет решений;

при - два решения;

при - одно решение.

(2 способ) Так как число х=0 не является корнем уравнения , то оно равносильно уравнению . Последнее уравнение имеет столько же корней, сколько и уравнение

. Решим полученное уравнение графически, построив в одной системе координат графики функций и .

Выполняя параллельный перенос прямой получим количество точек пересечения при разных значениях параметра а.

Ответ: при - нет решений;

при - два решения;

при - одно решение.

Функцию

можно записать по другому раскрыв модуль

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пример 2. Найдите все значении параметра а, при которых уравнение имеет четыре решения.

Решение.

Решим уравнение графически. Раскроем модуль и рассмотрим два случая:

Если , то уравнение можно записать в виде .

В одной системе координат построим графики функций: график функции только ту часть, которая расположена ниже прямой и график функции только ту часть, которая расположена выше прямой .

По рисунку видно что прямая параллельная оси Ох пересекает график уравнения в четырех точках при .

Следовательно исходное уравнение имеет четыре решения при .

Ответ:

Пример 3. Найдите все значении параметра а, при которых уравнение имеет ровно два корня.

Решение. (1 способ) Уравнение равносильно уравнению

или . Выражение неотрицательно при всех значениях х. А т. к. то . Сумма двух неотрицательных выражений равно нулю тогда и только тогда, когда оба выражения одновременно равны нулю, т. е.

Графики функций и пересекаются в двух точках при .

Выясним, при каких значениях параметра второе равенство системы верно.

. Так как , то и , т. е. .

Из полученных значений параметра удовлетворяют условию только . Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня при . Ответ: .

Решим первое уравнение

системы графически и выясним, при каких значениях параметра а уравнение имеет ровно два корня. Построим графики функций

в одной системе координат.

(2 способ) Уравнение равносильно уравнению

Решим первое уравнение . Данное уравнение будет иметь два решения, если уравнение имеет один положительный корень или два корня один из которых положительный, а другой отрицательный.

1) Уравнение имеет один корень, т. е. , , , удовлетворяет условию. Значит, при уравнение имеет один положительный корень, следовательно уравнение имеет ровно два корня.

2) Уравнение имеет два корня один из которых положительный, а другой отрицательный. Данное условие выполняется, если т. е. .

Получили, что уравнение имеет ровно два корня при .

Выясним, при каких значениях параметра второе равенство системы верно.

. Так как , то и , т. е. .

Из полученных значений параметра удовлетворяют условию только . Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня при .

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение , где а параметр.

Решение.

Решим данное уравнение графически: ; .

Графиком функции является «галочка» с вершиной в точке (-1; 0). Графиком функции является семейство парабол с вершиной в точке (4; 0). Критическими точками для параметра а являются точка (-1; 0) и точки касания параболы прямых и . Парабола проходит через точку (-1; 0) при . Найдем точку касания параболы с прямой :

, , ,

, .

Найдем точку касания параболы с прямой :

, , , , , .

Если , то парабола пересекает только прямую , и при этих значениях параметра а

корнями исходного уравнении будут корни уравнения , откуда .

Если , то парабола пересекает прямые и , и меньший из корней получается при пересечении параболы с прямой , т. е. это меньший корень уравнения , , а второй больший корень получается при пересечении параболы с прямой , т. е. это больший корень уравнения , .

Если , то исходное уравнение принимает вид , корнями которого являются числа и .

Если , то парабола пересекает прямые и , и каждую из них в двух точках. Значит корнями исходного уравнения являются корни уравнений и , откуда получаем и .

Если , то парабола пересекает только прямую . Значит корнями исходного уравнения являются корни уравнения , откуда получаем .

Если , то парабола графики функций не пересекаются, соответственно исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: если , то ; если , то , ;

если , то и ; если , и ;

если , то ; если , то нет решений.

Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение имеет решения? Определить число решений уравнения.

Решение.

(1 способ) Построим в одной системе координат графики функций и .

; если , то , и - точки пересечения с осями координат; если , то , и - точки пересечения с осями координат.

; и - точки пересечения с осями координат.

1)Если , т. е. , то исходное уравнение не имеет решений.

2)Если , и ,

т. е. , то исходное уравнение имеет два решения.

Если прямая проходит через точки или , то исходное уравнение имеет три решения. Подставляя координаты данных точек в уравнение прямой получим, что - значения параметра при которых исходное уравнение имеет три решения.