XXVIII РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2001 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 5 КЛАССА
Задача 1. Покажите, как разрезать изображённый на рис.1 клетчатый квадрат на четыре различных фигуры, чтобы все клеточки остались целыми? Фигуры считаются различными, если их нельзя наложить друг на друга так, чтобы они совместились.
Задача 2. Расшифруйте ребус: БРА + БАР = РАБ (здесь одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами, а разные - разными). Объясните, как был получен ответ.
Задача 3. Электрички из города А в город Б отправляются в начале каждого часа (в 6.00, 7.00 и т. д., до 23.00), из Б в А в середине каждого часа (в 6.30, 7.30 и т. д., до 23.30). Путь из А в Б, как и из Б в А, каждая электричка проходит за 4 часа. Сколько электричек, идущих из Б в А, встретит по пути в Б электричка, вышедшая из А в 12.00?
Задача 4. Один из трех богатырей всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий хитрец: иногда говорит правду, а иногда - врет. На вопрос: "Кто Алеша Попович?" они дали такие ответы. Илья Муромец: "Лжец!" Добрыня Никитич: "Совершенно правдивый человек!" Алёша Попович: "Я хитрец!" Кто из богатырей лжец, а кто - хитрец?
Задача 5. Имеется 8 камней, среди которых нет двух одинаковых по весу. Как за 9 взвешиваний на чашечных весах без гирь найти самый тяжелый и второй по весу камни. Постарайтесь не только описать порядок взвешиваний, но и объяснить, почему он дает нужный результат.
XXVIII РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2001 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 6 КЛАССА
Задача 1. Отец вдвое старше сына. Сын родился, когда отцу было 28 лет. Сколько лет отцу сейчас?
Задача 2. Покажите, как разрезать изображенный на рис. 3 клетчатый квадрат на 8 различных фигур, чтобы все клеточки остались целыми. Фигуры считаются различными, если их нельзя наложить друг на друга так, чтобы они совместились.
Задача 3. На столе стоят 8 стаканов с водой. Разрешается взять любые два стакана и перелить часть воды из одного стакана в другой так, чтобы воды в них стаю поровну. Как несколькими такими переливаниями добиться, чтобы воды во всех стаканах стало поровну?
Задача 4. На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Некоторые жители острова заявили, что на острове чётное число рыцарей, а все остальные его жители заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли на этом острове быть ровно 2001 житель?
Задача 5. В школьной математической олимпиаде приняли участие учащиеся из нескольких шестых классов. Из участвовавших в ней учеников 6яд" класса первую задачу решили 9 человек, вторую - 7, третью -5, четвертую - Зи пятую -1. При этом все ученики 6"д", кроме Пети, решили поровну задач, а Петя - на одну задачу больше. Мог ли Петя получить диплом призера олимпиады, если его давали тем, кто решил не меньше четырех задач?
XXVIII РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2001 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 7 КЛАССА
Задача 1. В киоске продается мороженое порциями по 50, 65 и 90 граммов. Если Федя съест слишком много мороженого, то у него начинает болеть горло. Так, оно начинает болеть после 4 порций второго типа, но еще не болит после 5 порций первого типа. После какого наименьшего количества порций по 90 г у Феди начинает болеть горло? Не забудьте объяснить, как Вы рассуждали.
Задача 2. Как поровну разделить 7 одинаковых булок на 12 человек, чтобы любой кусок был больше 1/12 булки?
Задача 3 такова лее, как задача 4 6 класса.
Задача 4. Молено ли клетчатый прямоугольник размером 4x5 клеток разрезать на 7 различных фигур так, чтобы все клеточки остались целыми? Фигуры считаются различными, если их нельзя наложить друг на друга так, чтобы они совместились.
Задача 5. Какая дробь больше:
- и почему?
XXVIII РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2001 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 8 КЛАССА
Задача 1. Расшифруйте ребус: АВВА + В + А = СDDА (здесь одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами, а разные - разными). Объясните, как был получен ответ.
Задача 2. Про числа а. b и с известно, что а2-аb-ас+bс =0, b2-аb-bс+ас=0 и c2-ас-bс+аb= 0. Докажите, что а =b=с.
Задача 3. Можно ли на гранях куба расставить числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 так, чтобы каждое число было делителем суммы четырех чисел, написанных на соседних гранях? Если да - то как, если нет — то почему?
Задача 4. Угол между двумя высотами остроугольного треугольника AВС равен 60°, а точка пересечения его высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник AВС - равносторонний.
Задача 5. На бесконечной клетчатой бумаге некоторые клетки отмечены таким образом, что любой прямоугольник, состоящий из 12 клеток содержит по крайней мере одну отмеченную клетку. Докажите, что найдется прямоугольник, состоящий из 8 клеток и содержащий по крайней мере две отмеченные клетки.
XXVIII РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2001 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 9 КЛАССА
Задача 1. Как разрезать произвольный треугольник на три части, из которых можно сложить два равных параллелограмма?
Задача 2. Катер плыл по течению реки 2 часа, после чего сломался мотор, который команда катера ремонтировала 1 час (во время ремонта катер плыл по течению реки). После этого катер вернулся обратно за 3 часа. Сколько времени потребовалось бы катеру на возвращение, если бы ремонт мотора продолжался 2 часа? Скорости катера и течения постоянны.
Задача 3. такова же, как задача 3 8 класса.
Задача 4. такова же, как задача 5 8 класса.
Задача 5. На каждой стороне треугольника выбрали по точке и для каждой найти расстояния от нее до двух других сторон. Оказалось, что все шесть найденных расстояний равны. Докажите, что треугольник - равносторонний.
Задача 6. В графстве Лимонии из каждого города выходит по четыре дороги, каждая дорога соединяет ровно два города и из любого города можно доехать по дорогам до любого другого. В один прекрасный день граф Лимон ввел на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что у каждого города оказалось по две входящих и исходящих дороги. Докажите, что и после этого можно, не нарушая правил, доехать от любого города до любого другого.
XXVIII РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2001 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 10 КЛАССА
Задача 1. За какое время конец минутной стрелки часов описывает дугу, длина которой равна длине стрелки?
Задача 2. Найдите делящееся па 7 целое число, сумма цифр которого равна 2001. Решение. Заметим, что 2001 = 3x667. Поэтому подойдет, например, число 2121...21 (667 раз). Есть и много других подходящих чисел.
Задача 3. Сумма двух натуральных чисел равна 201. Может ли их произведение делиться на 201?
Задача 4. Найдите значение выражения 1!х3 – 2!x4 + 3!x5 - 4!х6 + ... – 2000!x2002 + 2001!, где п! - это произведение всех целых чисел от 1 до п (например, 3! - 1x2x3 = 6).
Задача 5. Точка J - центр окружности, вписанной в треугольник АВС, точка О - центр описанной окружности того же треугольника. Известно, что точка, симметричная точке J относительно прямой АВ, лежит на описанной окружности. Докажите, что точка, симметричная точке О относительно прямой АВ, тоже лежит на описанной окружности.
Задача 6. Из 1000 одинаковых красных и синих кубиков сложен куб с ребром 10. Известно, что в любом параллелепипеде, составленном из 18 кубиков, есть хотя бы один красный кубик. Докажите, что найдется параллелепипед, составленный из 12 кубиков, в котором есть по крайней мере два красных кубика.
XXVIII РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2001 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 11 КЛАССА
Задачи 1. В детском саду провели опрос. На вопрос: "Что Вы предпочитаете: кашу или компот?" большая часть ответила: "Кашу", меньшая ответила. "Компот", а один ребенок затруднился ответить. Среди любителей компота 30% предпочитают абрикосовый, а 70% - грушевый. Среди любителей каши 55% предпочитают манную кашу, 40% - рисовую, а один затруднился ответить, какую именно кашу он любит. Сколько детей было опрошено?
Задачи 2. Докажите, что если cos x ≠ 0 , то 
.
Задача 3. Найдите делящееся на 11 целое число, сумма цифр которого равна 2001.
Задача 4. На стороне ВС треугольника AВС отметили ее середину Р, а на сторонах АС и АВ - такие точки Q и R соответственно, что СQ = 2QА и АR = 2RВ. Затем чертеж стерли, оставив только отмеченные точки Р, Q и R. Как с помощью циркуля и линейки восстановить треугольник АВС? Не забудьте обосновать построение.
Задача 5. Даны два куба. Докажите, что если любое ребро первого куба параллельно некоторой грани
второго, то и любое ребро второго куба параллельно некоторой грани первого. .
Задача 6. У правильного 5000-угольника отмечена 2001 вершина. Докажите, что найдутся три отмеченных вершины, образующие равнобедренный треугольник.
Основные порталы (построено редакторами)