ПРОГРАММА ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА
«ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ»
Алимова Ольга Михайловна, МБОУ «Ликино-Дулевская ООШ №2», учитель математики, Московская область
Предмет (направленность): математика.
Возраст детей: 5-6 класс.
Место проведения: класс.
Пояснительная записка.
Текстовые задачи являются традиционным средством обучения математике. Они дают большой простор в тренировке мышления учащихся и в выполнения ими арифметических действий, связанных с различными практическим или специально придуманных ситуациями. Многие годы больше внимания уделялось тем способам деятельности школьников, которые в большей степени применимы на практике и в дальнейшем обучении. Наибольшее распространение получил способ решения задач с помощью уравнения. Этим способом решают теперь многие из задач, которые в прошлом решали различными способами. Практика показала, что раннее введение этого перспективного (в смысле использования в дальнейшем обучении) способа решения без достаточной подготовки мышления учащихся малоэффективно.
Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать с неизвестным числом, называемым словами «куча», «часть» и т. п. Ребенок должен пройти тот же путь – сначала рассуждать о «частях», опираясь на воображаемые действия с конкретными предметами или величинами, и лишь потом подойти к применению уравнения. Школьники быстрее и лучше усваивают различные (в том числе и сложные) приемы рассуждений, опирающиеся на воображаемые действия с известными величинами, чем единый для задач с различной арифметической ситуацией способ решения, основанный на применении уравнения.
Суть данной программы можно выразить следующим образом:
- Отказаться от использования уравнений на ранней стадии обучения и вернуться к более широкому применению арифметических способов решения задач. Значительно шире использовать «исторические» задачи и «старинные» способы их решения в работе со всеми учащимися. Это позволит разнообразить приемы решения задач, расширить представления школьников о способах их решения. Будет способствовать развитию школьников, формированию у них интереса к решению задач и самой математике. Отказаться от хаотичного предложения учащимся задач на разные темы. Вместо этого предлагать цепочки задач от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных.
Практическая ценность обучения школьников решению текстовых задач разнообразными способами в современных условиях заключается совсем не в том, что это обучение раз и навсегда вооружит их приемами решения различных задач, возникающих на практике и в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности. Развивающиеся в процессе обучения мышления и речь, сообразительность и память помогут им не только восстанавливать утраченное, если потребуется, но и находить решение новых встающих перед ними задач.
Таким образом, в современных условиях цели обучения школьников решению текстовых задач должны включать обогащение опыта мыслительной деятельности школьников различными приемами рассуждений, воспитание у них умения ориентироваться в различных по своей природе взаимоотношениях величин.
Для того чтобы развитие мышления и речи, сообразительности и памяти учащихся было не побочным результатом процесса обучения решению текстовых задач, а явилось закономерным, планируемым результатом обучения, необходима специальная организация самого процесса обучения. Во-первых, учитель должен ставить перед собой конкретную цель (чему учить детей на ближайших уроках) и не стремиться к одновременному достижению еще и других, пусть и очень важных, целей. Во-вторых, необходимо отобрать задачи, отвечающие поставленной цели и образующие «цепочку», по которой учащиеся могут продвигаться от простого к сложному. При этом учащиеся с разной начальной подготовкой должны получить возможность продвигаться по ней с разной скоростью.
Из всех воспитательных целей, которые следовало бы ставить при обучении решению задач, особо можно выделить одну – формирование у учащихся представлений о богатстве культурно-исторического наследия человечества. Связанного с их решением. Расширение кругозора школьников и созданию «исторического фона» обучения послужат включение в программу старинных задач, а также задач, связанных с именами выдающихся личностей, с деталями быта и вычислительной практики прошлого. Включение старинных задач имеет целью познакомить учителей и учащихся с разнообразными приемами рассуждений, которые применялись раньше при их решении.
Содержание программы.
1. Натуральные числа. Тема «Натуральные числа» рассчитана для работы в первом полугодии. Она разбита на семь разделов. В начале учебного года нужно обеспечить качественное повторение материала, изученного в начальной школе.
1.1 Сложение и вычитание натуральных чисел. Задачи данного раздела нацелены на повторение связи отношений «на больше…», «на меньше…» со сложением и вычитанием. Задачи данного раздела предназначены для закрепления понимания взаимосвязи операций сложения и вычитания. В этом разделе можно продемонстрировать учащимся: способ решения задач «с конца», задачи, условие которых задано в так называемой «косвенной» форме, задачи, для решения которых используют «круги Эйлера»
1.2 Умножение и деление натуральных чисел. Задачи, рассматриваемые в данном разделе предназначены для повторения отношений «в… раз больше», «в… раз меньше…» с умножением и делением. Здесь можно предложить учащимся многошаговые задачи.
1.3 Задачи на «части». В данном разделе рассматриваются задачи на нахождение двух чисел по их отношению и сумме (разности). При их решении учащиеся должны принимать подходящую величину за 1 часть, определять сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность).
1.4 Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности. В этих задачах предполагается мысленный эксперимент с величинами. Например, уменьшим число тетрадей в первой пачке на 10, тогда в обеих пачках тетрадей станет поровну…
1.5 Задачи на движение по реке. Для успешного усвоения данного вида задач следует показать, что скорости по течению и против течения – это сумма и разность собственной скорости и скорости течения. Чтобы их найти, нужно применить освоенный ранее прием нахождение двух величин по их сумме и разности.
1.6 Задачи на движение. В этих задачах вводятся понятия «скорость удаления» и «скорость сближения».
1.7 Разные задачи. В данный раздел можно включить различные задачи: задачи, решаемые «с конца», задачи на «предположение» (решение этих задач связано с предполагаемыми действиями с предметами и величинами), задачи, содержащие лишние данные. В этом разделе можно рассмотреть разные старинные задачи: из «Азбуки» Л. Н. Толстого, из «Всеобщей арифметики Ньютона», задачи А. С. Рачинского, из рассказа А. П. Чехова (см. приложение). Использование таких задач имеет целью расширения представления учащихся о практике решения задач в старые времена и развитие у них интереса к предмету через знакомство с его историей.
2. Дроби. На первых уроках учащимся нужно напомнить задачи, которые они решали в начальной школе. При этом сначала необходимо доли называть словами половина, треть, четверть и т. п. Потом для упрощения записи с помощью дробей. Решение задач из разделов 2.3 и 2.4 основываются на ранее изученном материале и, в решении которых требуется выполнять сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. В 6 классе следует решать задачи на «бассейны» (раздел 2.5).
2.1 Вводные задачи. В этот раздел включаются задачи, в которых встречаются слова «половина», «треть» и т. д. Это большей частью знакомые учащимся задачи на нахождение доли числа и числа по его доли. Здесь для упрощения записей появляется обозначение долей в виде дроби.
2.2 Нахождение части числа и числа по его части. При решении таких задач нужно подвести учащихся к пониманию правила нахождение части числа.
2.3 Сложение и вычитание обыкновенных дробей. В этом разделе целесообразнее рассматривать задачи, при решении которых вся величина принимается за единицу. Причем сначала представлять ее лучше, как 2/2, 3/3 и т. п. величины. В этом разделе можно подбирать задачи как для сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями (5 класс), так и для сложения (вычитания) дробей с разными знаменателями (6 класс).
2.4 Умножение и деление обыкновенных дробей. Тот раздел программы изучается в 6 классе, после того как учащиеся научатся умножать (делить) дроби и освоят применение этого действия для решения простых задач.
2.5 Задачи на «бассейны» и другие. При решении таких задач предполагается оговаривать, что объем бассейна (расстояние, выполненная работа и т. п.) принимается за единицу.
2.6 Разные задачи. В этот раздел целесообразно включить задачи, в решении которых используются десятичные дроби. Это позволит учащимся закрепить второй способ нахождения части числа и число по его части и подготовит к решению задач на проценты.
3.Пропорции. Изучение пропорций и указанных зависимостей мало связано с потребностями обучения решению задач в 6 классе. В учебниках нет задач на прямую и обратную пропорциональность, которые нельзя было бы решить без пропорций. Однако, использование пропорций имеет большое значение для последующего изучения математики. С чего же начинать решать задачи на применение пропорций. Во-первых, надо научить школьника решать пропорции. Во-вторых, нужно научить школьника выделять в условиях задачи две величины, устанавливать вид зависимости между ними. В-третьих, нужно научить их по условию задачи составлять пропорцию.
2.7 Задачи на прямую и обратную пропорциональность. В данном разделе встречаются различный типы задач: задачи, предполагающие получение ответа с опорой на опытные представления учащихся, «провокационные» задачи, в которых зависимость имеет другой характер.
2.8 Задачи на прямую и обратную пропорциональность для трех и более величин.
Эти задачи можно использовать по желанию, если решение их вызовет у учащихся интерес. Здесь можно рассмотреть и более сложные задачи с четырьмя и даже шестью величинами.
4. Проценты. Задачи на проценты являются частными случаем задач на дроби. При построении системы задач и организации процесса обучения с учетом этого положения можно добиться существительного улучшения методики изложения материала и тем самым повысит эффективность обучения. При изучении процентов в 5 классе нужно ограничиться решением задач с помощью рассуждений об 1 %. Первые задачи на нахождение процентов числа, как и соответствующие задачи на дроби, надо решать в 2 действия до тех пор, пока все учащиеся не поймут назначение первого шага в решении.
4.1 Нахождение процентов числа. Первые задачи на нахождение процентов числа, как и соответствующие задачи на дроби, надо решать в 2 действия до тех пор, пока все учащиеся не поймут назначение первого шага в решении. В этом разделе рассматриваются: задачи, которые нацелены на обучение переходу от задач на проценты к соответствующим задачам на дроби и задачи, которые нацелены на уяснение школьниками важного факта: целое содержит 100% самого себя.
4.2 Нахождение числа по его процентам. Нужно показать учащимся, что задачи на проценты – это те же задачи на дроби. Поэтому они решаются умножением (Делением) на соответствующую процентам десятичную дробь.
4.3 Нахождение процентного отношения. Решая задачи из этого раздела, учащиеся должны освоить одну простую идею: чтобы найти процентное отношение двух чисел, т. е. сколько процентов одно число составляет от другого, можно выразить отношение первого числа ко второму в процентах.
4.4 Сложные задачи на проценты. Это задачи на так называемые сложные проценты – проценты начисляемые на процентные деньги. Полученный опыт при решении такого рода задач поможет решать олимпиадные задачи.
5. Уравнения. Можно выделить основные этапы, которые должны пройти формирование умения решать текстовые задачи с помощью уравнений: 1) Учащиеся должны решать задачи, которые готовят их к использованию букв в составлении уравнений. 2) Они должны научиться решать некоторые из уже известных им типов задач с помощью уравнений. При этом лучше начать задачи «на части», решение которых мало изменяется от замены «частей» на «иксы». 3) Необходимо рассмотреть такие задачи, решение которых арифметическим способом затруднительно или приводит к громоздким рассуждениям. 4) Учащиеся должны познакомиться и такими задачами, решение которых если и возможно, то чаще всего после того, как решение будет найдено с помощью уравнения.
5.1 Вводные задачи. В этом разделе целесообразно рассмотреть задачи, которые готовят школьников к составлению уравнений. Учащиеся должны научиться обозначать необходимую величину за х и выражать через х другие величины в соответствии с условием задачи.
5.2 Решение задач с помощью уравнения. При решении задач надо приучать школьников анализировать условие задачи и выбирать более простой способ составления уравнения.
5.3 Более сложные задачи, решаемые уравнением.
6. Задачи на повторение. Используя повторения в конце шестого класса, учитель имеет возможность не только повторить с учащимися решения основных типов задач, но и, там где это удастся, дать учащимся некоторые общие советы и приемы, применимые не только к рассматриваемым типом задач.
Комментарии и подборка задач к разделам программы.
Тема «Натуральные числа». Необходимо убедиться, что все учащиеся правильно связывают с соответствующими арифметическими операциями отношения «на…больше», «на…меньше», «в…больше», «в…меньше», слова «всего», «вместе», «осталось» «поровну» и т. п. При решении задач по теме «Задачи на части» необходимо подвести учащихся к правильному применению рассуждений о частях в ситуации, когда известно отношение двух неизвестных величин и их сумма (разность). Следует уделить внимание устному обоснованию решения и записи пояснений к каждому действию. В результате работы с задачами данной темы учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть. Определять сколько таких частей приходится на другую величину, их сумму (разность), затем получать ответ на вопрос задачи. Тема «нахождение двух чисел по их сумме и разности» начинается с подготовительных задач, решение которых должно подвести учащихся к пониманию способа нахождения двух величин по их сумме и разности.
Из «Арифметики» Л. Н. Толстого.
1.У двух мужиков 50 овец, а у одного 15. На сколько у него меньше против другого?
2.За первый день старшеклассники собрали 312 ящиков огурцов, а за второй – на 120 ящиков больше. За третий день они собрали на 218 ящиков меньше, чем за первые два дня вместе. Сколько ящиков огурцов собрали старшеклассники за три дня?
Задачи, решаемые «с конца».
1.Задумали число, уменьшили его на 45 и получили 66. Найдите задуманное число.
2.В автобусе было несколько пассажиров. На первой остановке вышло 7 и вошло 4, а на второй вышло 6 и вошло 13 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе до первой остановки, если после второй остановки автобуса их стало 38?
Задачи в так называемой «косвенной форме».
А. Рачинского. Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй – 2, в третий – 3 и т. д. Сколько комаров налетело за сутки?
Использование «кругов Эйлера» для анализа условия и выбора плана решения.
1.Миша и Коля за лето прочитали 15 книг. Из них Миша прочитал 10 книг, а Коля – 12. Поставьте различные вопросы и ответьте на них.
2.В нашем классе коллекционируют только марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты – 5 человек, а всего 11 человек. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? Сколько – только монеты?
3.На каждую телегу грузили по 8 мешков картофеля. На сколько телег погрузили 72 мешка картофеля?
4. А.Рачинского. Родник в 24 мин дает бочку воды. Сколько бочек воды дает родник в сутки?
Многошаговые задачи сложны тем, что при их решении учащиеся не всегда могут определить, что требуется знать для ответа на вопрос задачи и как можно найти требуемое. На примере таких задач можно обучать их поиску решения.
1.Первая машинистка печатает 10 страниц в час, а вторая за 5 часов печатает столько же страниц, сколько первая за 4 часа. Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 часа совместной работы?
Анализ условия и составление плана решения можно провести так:
1 и 2 машинистки за 3 часа? | - Сформулируйте главный вопрос задачи. -Сколько страниц отпечатают обе машинистки. За 3 часа работы? |
1 и 2 машинистки за 1 час? | - Что нужно знать, чтобы ответить на этот вопрос? -Сколько страниц печатают две машинистки за 1 час? -Все ли мы знаем для этого? Что еще нужно узнать? |
2 машинистка за 1 час? | - Нет, не все. Нужно узнать, сколько страниц печатала вторая машинистка за 1 час? - Что известно о работе второй машинистки? -Она за 5 ч печатает столько же страниц, сколько первая за 4 ч. |
1 машинистка за 4 часа? | - А мы знаем, сколько страниц печатает первая машинистка за 4 часа? - Нет, но можем узнать, умножив 10 на 4. |
Эти записи по ходу обсуждения лучше делать на доске. Для повышения эффективности обучения решению задач, нужно приучать школьников и обучать их решения. Запись краткого условия может быть произвольной делать краткую запись условия задачи и намечать по ней план (удобной для них форме).
2.В магазине было 420 мужских и женских часов. Когда продали 150 мужских и 140 женских часов, то тех и других осталось поровну. Сколько мужских часов было в магазине?
3.На четырех полках было 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй на третью переставили 15, а на четвертую поставили 12 книг, то на всех полках книг оказалось поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?
Задачи «на части». При решении этих задач можно использовать схематический рисунок, который дополняется по ходу решения.
1.Купили 60 тетрадей, причем тетрадей в клетку было в 2 раза больше, чем тетрадей в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку; на тетради в клетку; на все тетради? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько в клетку?
В клетку в линейку
Пусть тетради в линейку составляют 1 часть, тогда тетради в клетку составляют 2 части.
1+2=3 (части) – приходится на все тетради;
60:3=20 (части) – приходится на 1 часть;
20 . 2 = 40 (тетр.) – приходится на 2 части (тетрадей в клетку)
Эту задачу можно решить и с вопросами.
Сколько частей приходится на все тетради?
1+2 = 3 (части).
2) Сколько тетрадей приходится на 1 часть (в линейку)?
60:3= 20 (тетр).
3) Сколько тетрадей в клетку?
20-2=40 (тетр).
2.Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Всего они сорвали 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и девочки в отдельности? Задача взята из повести Н. Носова «Витя Малеев в школе и дома». Витя смог решить задачу лишь тогда, когда нарисовал девочку в переднике с одним карманом, а мальчика в курточке с двумя карманами.
Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.
1.В двух пачках было 40 тетрадей. Когда из первой пачки взяли 10 тетрадей, то тетрадей в пачках стало поровну. Сколько тетрадей было во второй пачке первоначально?
2.Мама дала сыну и дочери 16 р. Дочери она дала на 4 рубля больше, чем сыну. Сколько денег она дала каждому?
Из «Арифметики» Л. Н. Толстого.У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько овец у каждого?
Старинные задачи по теме «Задачи на движение».
1.Идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст (1 верста = 1 км 67 м), а другой человек идет навстречу ему из другого города и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?
2.Из Москвы и Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери.
3.Собака усмотрела в 150 саженях (1 сажень = 2 м 13 см 4 мм) зайца, который пробегает в 2 мин по 500 сажен, а собака в 5 мин – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца.
4.Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидела зайца. За сколько прыжков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно сорока прыжкам собаки и пять прыжков собаки равны шести прыжкам зайца? (Считайте, что собака и заяц делают прыжки одновременно).
Задача Алькуина. Собака гонится за кроликом, находящимся в 150 футах (1 фут = 30 см 48 мм) от нее. Она делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кролик прыгает на 7 футов. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?
Задачи из раздела «Разные задачи».
Многие задачи данного раздела можно решить с помощью уравнений, но целесообразней их решить арифметически. «Проигрывание» задачной ситуации способствует развитию воображения и интуиции учащихся.
А. Рачинского. В школе равное число девочек и мальчиков. Я принес 234 ореха, и каждому мальчику досталось по 5 орехов, каждой девочке по 4 ореха. Но девочки обиделись, и в другой раз я принес столько орехов, что всем досталось по 6 орехов. Сколько орехов я принес?
Из « Н. Толстого. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?
Старинная задача. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; в свою очередь, и третий дает каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается, по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?
Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздает лишь по 2, и у него еще остается три. Сколько бедных.
Из рассказа А. П. Чехова «Репетитор».Купец купил 138 аршин (71 см 12 мм) черного и синего сукна за 540 руб.
Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб., за аршин, а черное 3 руб.?
Старинная задача. За 1000 руб. я купил 44 коровы – по 18 руб. и по 26 руб. Сколько тех и других?
Из Акимского папируса (VΙ в.) Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что оставалось, другой взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?
Задача Метродора. Корона весит 60 мин (греческая мера) и состоит из сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь составляют 2/3, золото и олово ¾ золото и железо 3/5 общего веса. Определить вес каждого металла в отдельности.
Задачи на дроби являются древнейшими из дошедших до нас по письменным источникам; их решение было весьма сложной проблемой до тех пор, пока не изобрели обозначения для обыкновенных дробей, не разработали правила действий с ними. Аликвотные дроби (дроби с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек. Начинать работу с задачами на дроби нужно с повторения задач, которые учащиеся решали в начальной школе. При этом на первых порах доли лучше называть словами: половина, треть, четверть. Потом – с помощью дробей. При решении основных задач на дроби использование десятичных дробей не вносит ничего нового, так как десятичные дроби являются иной записью обыкновенных дробей.
1.Из «Арифметики» Л. Н. Толстого. Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял 7/10 всех денег, а жена 690 рублей. Сколько было всех денег?
2.Старинная задача. Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
3.Старинная задача. Отец дает денег своим детям. Старшему – половину всего 1 рубль, среднему – половину остатка и ещё 1 рубль, младшему – половину остатка и еще 3 рубля. И таким образом всю сумму раздал. Сколько было денег?
4.У Васи в коллекции 200 марок. За последний год число марок в коллекции увеличилось на ¼. Сколько марок было в коллекции год назад?
5.Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто оставил в наследство жене, дочери и трем сыновьям 48000 рублей и завещал жене 1/8 всей суммы, а каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников?
6.Задача Бхаскары (Индия ХΙΙ в.) Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве – третью долю этого множества, Вишну – пятую и Солнцу – шестую; четвертую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков.
Задачи «на бассейны».
Через первую трубу можно налить бак за 10 мин., через вторую – за 15 мин. За сколько минут можно заполнить бак через обе трубы.
Старинная задача (Китай ΙΙ в.) Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Старинная задача. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца съедят такой же воз сена? Задачи на пропорцию.
1. Велосипедист за несколько часов проехал 36 км.
а) Какое расстояние пройдет за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?
б) Какое расстояние проедет за то же время мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?
2. В 4000г. раствора содержится 80 г. соли. Сколько соли содержится в 200г. раствора?
3. Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят пять петухов?
4. Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?
5. Старинная задача. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч. Выпьют такой же бочонок кваса?
6. Из «Арифметики» А. П. Киселева. 8 аршин сукна стоят 30руб., сколько стоят 15 аршин этого сукна?
7. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?
Задачи для трех и более величин.
1. 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг. Зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?
2. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится песцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?
3. Из «Арифметики» А. П. Киселева. На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч. ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких керосинок будут гореть по 8ч. В день?
Задачи на проценты традиционны для программы 5 класса. Обучение их решению всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни. Задачи на проценты актуальны и наше время, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде – в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т. п. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты. Формирование соответствующих умений в настоящее время оставляет желать лучшего..
1.Папа вложил 500 руб. в акции своего предприятия и получил 20% дохода. Сколько рублей дохода получил папа?
2.Папа потратил премии 200 руб. на подарки жене и детям. 40% этой суммы он потратил на подарок жене, 30% - сыну и 30% - дочери. Все ли деньги потратил папа?
3.У Алеши 80 марок, у Бори – на 20 % больше, чем у Алеши. У Вовы – на 25 % меньше, чем у Алеши. Сколько марок у Бори и Вовы в отдельности?
4.Что больше:
30% от 40 или 40 % от 30? 80% от 60 или 60% от 70?
5.Завод запланировал выпустить 10 000 машин. План перевыполнили на 2 %. Сколько машин завод выпустил сверх плана? Сколько машин выпустил завод?
Задачу можно решить двумя способами. Сначала по вопросам, поставленным в задаче:
10 000.0, 02 = 200 (маш.);
10 000 200 = 10 200 (маш.);
Потом задав дополнительные вопросы:
- На сколько процентов завод выполнил план?
- На 100 + 2 = 102 (%)
- Сколько машин приходится на 102%?
-10 000. 1, 02 = 10200 (маш.).
Учащиеся не всегда быстро выучиваются хорошо различать «выполнил на 2%» и «перевыполнил на 2%». Их можно потренировать вопросами типа:
1) Бригада перевыполнила задание на 10%.На сколько процентов она выполнила задание?
2) Магазин выполнил план на 105%. На сколько процентов магазин перевыполнил план товарооборота?
Нахождение процентного отношения.
1.Маша прочитала 120 страниц, и ей осталось прочитать 130 страниц книги. Сколько процентов всех страниц она прочитала? Сколько процентов всех страниц ей осталось прочитать?
2. Зарплата повысилась с 5000 руб. на 6000 руб. На сколько процентов повысилась зарплата?
3. Зарплата мамы увеличилась на 70%, а зарплата папы только на 60%. Означает ли это, что мама получила прибавку зарплаты, чем папа?
Сложные задачи на проценты.
1.Число увеличилось на 10 %, потом еще на 10%. На сколько процентов увеличилось число за два раза? (задача из олимпиады Малого мехмата МГУ для семиклассников)
2.Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?
3.Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась его площадь?
4.Арбуз массой 20 кг. Содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?
Тема «Уравнения». Использование уравнений является важным шагом в развитии умения школьников решать задачи.
1.Купили 7 тетрадей по 50 копеек и 2 ручки по 3 рубля. Сколько сдачи получили с 5 рублей?
2.Турист 2 ч ехал на поезде со скоростью 60 км/ч и 3 ч шел пешком со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние он преодолел за все время?
3.Купили 10 тетрадей по х рублей и 3 ручки по 2 рубля. Сколько заплатили за всю покупку?
4.В соревнованиях по лыжам участвовали 53 человека. Девочек было на 17 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в соревнованиях?
5.За конфеты заплатили в 3 раза больше или на 6 рублей больше, чем за печенье. Сколько заплатили за печенье?
6. На солнышке грелись несколько кошек. У них лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?
7.У пятнадцати треугольников и четырехугольников 53 угла. Сколько треугольников? Сколько четырехугольников?
8. Старинная задача. Сколько гривенников и двугривенных, если разменять 27 рублей на гривенники и двугривенные так, чтобы всех монет было 170?
9.Стрелки часов показывают полдень. Через сколько часов они встретятся в следующий раз?
10. А.Рачинского. Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5. Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?
11.Работники получили за некоторую работу по 120 рублей. Если бы их было на 2 меньше, то каждый из них получил бы по 150 рублей. Сколько было работников?
12.Старинная задача (Греция).
- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ,- половина изучает математику,
четверть музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины.
Более сложные задачи, решаемые уравнением
1. Сейчас отцу 38 лет, сыну 15 лет, дочери 5 лет. Через сколько лет сыну и дочери вместе будет столько же лет, сколько и отцу?
2. У мальчика в коллекции было 210 российских марок и 65 иностранных. Когда ему подарили еще 25 марок, то российских марок стало в три раза больше, чем иностранных. Сколько российских марок подарили мальчику?
3. В двух бидонах 70 литров молока. После того, как из каждого бидона продали по 20 литров молока, в одном осталось в 2 раза больше молока, чем в другом. Сколько молока было в каждом бидоне первоначально?
Из «Арифметики» Л. Ф.Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 рублей и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был?
Говоря с учащимися о выборе подходящего способа решения, не следует все же формировать у них представление о неком абсолютном преимуществе уравнений перед арифметическими способами решения задач. Скорее, следует говорит о том, что каждый способ хорош в подходящей ситуации.
Как искать решение?
( Пойа)
1.Понять предложенную задачу.
2.Найти путь от неизвестного к данным, если нужно, рассмотрев промежуточные задачи («анализ»).
3. Реализовать найденную идею решения («синтез»).
4.Решение проверить и оценить критически.
____________________________________________________________________
2. Сформулировать отношение (или отношения) между неизвестными и данными.
Преобразовать неизвестные элементы. Попытаться ввести новые неизвестные, более близкие к данным задачи.
Преобразовать данные элементы. Попытаться получить, таким образом, новые элементы, более близкие к искомым неизвестным.
Решить только часть задачи.
Удовлетворить только части условий: насколько неопределенным окажется тогда неизвестное?
Обобщить. Рассмотреть частные случаи. Применить аналогию.
1. Что гласит задача? Что дано? Что нужно найти? Определено ли неизвестное данными задачи? Или они недостаточны, или чрезмерны? Нельзя ли сформулировать задачу иначе? Нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением? Или задачей, решающейся проще? Решающейся сразу? Эти вопросы нужно повторять каждый раз, когда в ходе решения наступает заминка, при решении промежуточной задачи. Кроме того: все ли данные задачи были использованы? |
 |
 |
4. Правдоподобен ли результат? Почему?
Нельзя ли сделать проверку?
Нет ли другого пути, ведущего к получению результата? Более прямого пути? Какие еще результаты можно получить на том же пути?
Список литературы.
1) С. Сборник задач и упражнений по арифметике для 5 и 6 классов. Семилетней и средней школы. Изд. 16-е, М. – 1949.
2) Хрестоматия по истории математики. Выпуск 1. Перевод с немецкого П. С. Юшкевича. М. – Л., 1959.
3) М. Функции задач в обучении математике и развитие мышления школьников. Советская педагогика, 1974.- № 6.
4) Н., В. Старинные занимательные задачи. – М: Наука, 1988.
5) Как решать задачу. Пособие для учителей, 2-е изд. – М.: Учпедгиз, 1961 г.
6) К. Содержание задач в учебниках математики. Проблемы школьного учебника. Выпуск 12. – М., 1983.
7) И. Занимательные задачи по математике. С решениями и методическими указаниями. М., 1967.
8) Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. Изд. 2-е, М., 1976.
Основные порталы (построено редакторами)