Задачи | Авторская платформа Pandia.ru

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

A=anan-1¼aiai-1¼a1a0 (3.1)

где ak={0,1}, k=.

Преобразование 10®2 начинается с того, что с помощью табл. 3.1 для заданного A находим такое n, когда выполняются условия: 2n+1£A£2n. Так мы находим номер n старшего разряда в двоичной записи (3.1), а значит, и старшую цифру этой записи an=1n.

Вычтем из A число 2n, которое отвечает полученной единице 1n. Эту разность снова обозначим как A. Для этого нового A проверяем, содержится ли в нем число 2n-1. Если число 2n-1 входит в A, то an-1=1n-1, в противном случае an-1=0n-1. Так получим цифру в разряде номер n-1 искомой записи.

Если an-1=1n-1, то вычитаем из A число 2n-1, разность снова обозначим как А и переходим к разряду номер n-2. Если же an-1=0n-1, то к разряду номер n-2 переходим без вычитания 2n-1 из A. Повторяем описанные действия до тех пор, пока не найдем цифру a0.

Найдем, для примера, двоичное изображение для десятичного числа A=58.

Пользуясь табл. 3.1, действуем в соответствии с описанием процедуры преобразования 10®2. Решение показано в табл. 3.2.

Отметим попутно, что после того, как записана цифра a4, остальные четыре цифры a3a2a1a0 искомой записи получим из колонки m(2) табл. 3.1 как двоичное изображение последней разности A£15. В нашем случае это комбинация 13021100 – четырехразрядное двоичное изображение остатка 10£15.

Преобразование 2®10 выполняют так. Нумеруют, начиная с нуля, разряды двоичной записи справа налево, записывают полином степеней двойки, сумма которого и будет десятичным эквивалентом заданного двоичного числа. Например,

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

1010101=16051403120110=

=16´26+05´25+14´24+03´23+12´22+01´21+10´20=85.

Двоичные записи даже не очень больших чисел слишком длинные. В документации по компьютерам вместо длинных двоичных записей применяют шестнадцатеричные, которые оказываются вчетверо короче. В колонке m(16) табл. 3.1 приведены цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Процедура преобразования 2®16 никаких вычислений не требует и выполняется так. Убирают, если это нужно, нумерацию разрядов двоичной записи. Потом, двигаясь справа налево, разбивают двоичную запись на группы по четыре разряда в группе. Самую левую группу при необходимости дополняют нулями до четырех разрядов. Далее каждую четверку двоичных цифр заменяют одной шестнадцатеричной (см. две левые колонки табл. 3.1). Например,

181716051403120110=|0001|1101|0101|=1D5.

Преобразование 16®2 выполняют в обратном порядке: каждую шестнадцатеричную цифру заменяют четверкой двоичных:

F72=1111 0111 0010.

Для того чтобы узнать, что скрывается за шестнадцатеричной записью, выполняют преобразование 16®10. Для этого сначала нумеруют разряды шестнадцатеричной записи, начиная с нулевого правого. А потом записывают и вычисляют соответствующую сумму степеней шестнадцати, в которой коэффициентами у степеней шестнадцати будут десятичные эквиваленты шестнадцатеричных цифр:

1D5=12D150=12´162+13´161+5´160=469.

Позиционные системы счисления обладают тем существенным достоинством, что в них весьма просто выполнять арифметические операции. Сложение, вычитание и умножение выполняются столбиком, путем поразрядных действий над цифрами в записях чисел. Деление выполняется углом, но каждую цифру частного получают опять-таки путем поразрядных операций над остатками. То или иное применение находят и непозиционные системы счисления. Классическим примером непозиционной системы считается римская нумерация. В ней значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Так, число 333 в римской системе счисления задается записью CCCXXXIII. Здесь цифра C весит 100, где бы она ни стояла, и правила выполнения поразрядных операций здесь не действуют. Поэтому древние римляне с большим трудом вычисляли произведение таких, например, чисел DLXXIII и CCXXVII (это наши 573 и 227).

3.2. Классы чисел

Как мы знаем, все числа разделены на четыре класса:

v натуральные числа – множество N,

v целые числа – множество Z,

v рациональны числа – множество Q,

v вещественные числа – множество R.

При этом имеет место такая цепочка включений одного множества в другое:

NÌZÌQÌR.

Вещественные числа. Это самый широкий класс чисел. Вещественные (действительные) числа образуют сплошной массив точек на числовой прямой. Расстояние между числами (точками на прямой) бесконечно мало. Поэтому каждое вещественное число представляется записью с бесконечно длинной дробной частью. Например, с глубокой древности известно число p, которое выражает отношение длины окружности к ее диаметру. Еще одно широко известное в математике вещественное число e – основание натуральных логарифмов.

Любая арифметическая операция над вещественными операндами имеет результатом вещественное же число. Говорят, что класс вещественных чисел замкнут относительно всех арифметических операций.

Укажем на такой математический феномен. Бесконечная цепь девяток в записи числа, начинающаяся с разряда номер k, равна единице в соседнем старшем разряде номер k+1:

0.0000009999¼=0.000001000¼ (k=-7, k+1=-6),

09999999.999¼=10000000.000¼ (k=6, k+1=7).

Действительно, записи из бесконечной цепочки девяток отвечает сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 10-1:

9k9k-19k-2¼=9k´10k+9k-1´10k-1+9k-2´10k-2+¼==10k+1=1k+1´10k+1.

Рациональные числа. На практике работать с вещественными числами невозможно хотя бы потому, что для записи чисел отводится ограниченное место. Числа, записи которых имеют конечную длину, образуют класс рациональных чисел. И этот класс чисел замкнут относительно всех арифметических операций.

В общем случае рациональное число A изображается такой записью:

A=anan-1¼a0.a-1a-2¼a-ka-k-1a-k-2¼a-m

. Здесь anan-1¼a0 – целая часть числа, a-1a-2¼a-ka-k-1a-k-2¼a-m – его дробная часть. Как видим, все разряды записи числа (и дробной части тоже) пронумерованы по степеням десятки (разряд номер (-1) имеет вес 10-1, разряд номер (-2) – вес 10-2 и т. д.). Обычно целая часть числа отделяется от его дробной части запятой. В компьютерной математике разделителем является десятичная точка. Этим разделителем мы и пользуемся.

На числовой прямой рациональные числа представлены точками, которые разделены расстоянием в 10-m, где m – номер младшего разряда в записи чисел. Другими словами, расстояние между двумя соседними рациональными числами на числовой оси равно 1´10-m, а именно, единице младшего разряда в из записях.

Бесконечные записи вещественных чисел, да и просто длинные записи рациональных чисел приходится укорачивать. Делается это по правилу округления десятичных дробей. Сформулируем это правило.

Пусть m-разрядную десятичную дробь

A=0.a-1a-2¼a-k a-k-1a-k-2¼a-m (3.2)

требуется округлить до k разрядов после точки.

Самое простое – это отбросить содержимое лишних младших разрядов (в записи (3.2) они залиты серым цветом):

A@Aусеч=0.a-1a-2¼a-k.

Однако просто не всегда хорошо. В худшем случае во всех отброшенных разрядах могут оказаться девятки:

DAmax=a-k-1a-k-2¼a-m=9-k-19-k-2¼9-m´10-k=1-k´10-k.

Значит, этот способ округления характеризуется такой максимальной абсолютной погрешностью

DAmax=1-k´10-k=0.0-10-2¼1-k

(говорят, что DAmax равна единице младшего из оставшихся разрядов числа Aусеч).

Для уменьшения погрешности округления действуют так: отбрасывают содержимое лишних младших разрядов и анализируют значение первой из отброшенных цифр a-k-1a-k-2¼a-m.

Если a-k-1<5 (первая из отброшенных цифр меньше пяти), то

A@Aокр=Aусеч=0.a-1a-2¼a-k.

Если же a-k-1³5 (первая из отброшенных цифр больше четырех), то