Задания районного (городского) этапа
Всероссийской олимпиады школьников (2007-2008 учебный год)
Задание 9.1. Время встречи изменить нельзя
Незнайка и Знайка выехали на велосипедах от своих домов одновременно и поехали навстречу друг другу. Через 12 минут они встретились и продолжили движение. Знайка доехал до домика Незнайки и повернул обратно, а Незнайка доехал до домика Знайки и также поехал обратно. Через какой промежуток времени они вновь встретятся, если каждый из них весь путь проезжал с неизменной скоростью, но скорость Незнайки на 20% больше скорости Знайки?
Решение. I способ. Знайка и Незнайка до первой встречи вместе проедут расстояние L1 =u1t1 +u1t1. До второй встречи они проедут расстояние L2 =u1t2 +u1t2, где t2 – время от первой встречи до второй. Герои проедут до второй встречи расстояние L2 =2 L1. Тогда мы получим систему уравнений:
Решая эту систему уравнений относительно t2, получим t2=2t1=24 мин.
Ответ: следующая встреча произойдет через 24 с после первой.
II способ. Задача может решена путем рассуждений, без записи формул. Принципиальным являются два момента: 1) Расстояние, которое Знайка и Незнайка проехали до первой встречи, равно расстоянию между их домиками; 2) Чтобы встретиться второй раз, им нужно вместе проехать это расстояние дважды – сначала удаляясь друг от друга, а потом двигаясь навстречу друг другу. Отсюда следует, что время, прошедшее от первой встречи в два раза больше времени, прошедшего от начала движения до первой встречи.
Примерные критерии оценивания задания 9.1
Знает формулу для определения пути при равномерном движении | 1 балл |
Правильно записал формулу для определения расстояния при первой встрече | 1 балл |
Правильно записал формулу для определения расстояния при второй встрече | 1 балл |
Правильно записал, что L2 =2 L1. | 1 балл |
Правильно выполнил вычисления | 1 балл |
Итого | 5 балл |
Задание 9.2. На взлет
Определите время разгона до взлета самолета массой 10 т, если он взлетает после достижения скорости 216 км/ч. Сила тяги двигателя растет линейно со временем от нуля до максимального значения 40 000 Н в течение первых 10 с, а потом остается постоянной. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. I способ. С увеличением силы от 0 до 4×104 Н увеличивается и ускорение на первом участке в течение времени от 0 до 10 с. Среднее значение ускорения на первом участке можно определить следующим образом:
(1)
На втором участке ускорение будет определяться по второму закону Ньютона
(2).
Скорость в момент отрыва самолета будет определяться u=u1к+a2t2 или
u= aср1t1+a2t2 (3).
Начальная скорость самолета на первом участке равна нулю. Решая совместно уравнения 1, 2 и 3 относительно t2, с учетом, что Fн=0, получим:
t2=
.
Время разгона самолета будет определяться как t=t1+t2 или 
.
Выполним вычисления 
.
Ответ: время разгона самолета равно 20 с.
Примерные критерии оценивания задания 9.2
Знает формулу второго закона Ньютона | 1 балл |
Знает формулу определения скорости через ускорение | 1 балл |
Правильно записал формулу для среднего значения ускорения на участке разгона | 1 балл |
Правильно записал выражение для определения времени для второго участка | 1 балл |
Правильно записал конечное выражение для определения времени | 1 балл |
Правильно выполнил вычисления | 1 балл |
Итого | 6 балл |
II способ. Воспользуемся формулой SF×Dt = pк – pн.
Обозначим искомое время за t, которое будет равно Dt, тогда суммарный импульс силы найдем как
Fср×t1+Fmax×(t – t1) = mu или
Fmax×t1/2+Fmax×(t – t1) = mu.
Отсюда 
Задание 9.3. Подводная часть тела
Тело прямоугольной формы высотой 16 см плавает в жидкости. Какова высота погруженной части тела, если плотность жидкости в 4 раза больше плотности тела?
Решение. Ввиду того, что плотность жидкости в 4 раза больше плотности тела (имеется ввиду, что оно однородно) оно будет плавать в жидкости. Значит сила Архимеда (она зависит от объема погруженной части тела) будет равна сила тяжести Fт = mтg (она постоянна), т. е rжVпчтg = mтg. Учитывая, что Vпчт = Sh2, а mт =rV получим: 
. Отсюда получим численное значение погруженной части тела прямоугольной формы: 
Ответ: подводная часть тела прямоугольной формы имеет высоту 4 см.
Примерные критерии оценивания задания 9.3
Знает формулу архимедовой силы | 1 балл |
Знает формулу силы тяжести | 1 балл |
Правильно записал условие плавания тела | 1 балл |
Правильно получил конечное выражение | 1 балл |
Правильно выполнил вычисления | 1 балл |
Итого | 5 балл |
Задание 9.4. Электрическая цепочка
Каждый резистор цепи имеет сопротивление 1 Ом. Через резистор, расположенный справа, протекает ток 1 А. Каково напряжение между точками А и В?
Решение. Обозначим резисторы, как показано на верхнем рисунке. Через резисторы R7 и R8 протекает ток силой 1 А, потому что резисторы включены последовательно. Сопротивление R78 =2R=2 Ом, а напряжение U78=2 В. Сила тока через резистор R6 будет равна I6= U78/R6=2 A.
Через резистор R5 будет равен I5 =I6+I78=3 A, а напряжение на нем 3 В.
Напряжение на резисторе R4 будет определяться U4=U5+U678=5 В. Через это резистор будет протекать ток I4=5 А.
Через резистор R3 будет протекать ток I3, который можно определить: I3=I4+I5=8 А. Напряжение на нём будет равно U3= 8 В.
Напряжение на резисторе R2 U2=U3+U4. U2=13 В.
Через резистор R2 будет протекать ток I2= U2/R2, I2= 13 A.
Через резистор R1 ,будет протекать ток I1=I2+I3 или
I1=13 А + 8 А=21 А, а напряжение на нем будет равно U1=21 В.
Напряжение между точками А и В будет равно UAB=U1+U2=21 B +13 B=34 B.
Ответ: UAB=34 B.
Примерные критерии оценивания задания 9.4
Знает формулу закона Ома для участка цепи | 1 балл |
Знает формулу для определения силы тока в неразветвленной части цепи | 1 балл |
Знает закономерности последовательного соединения резисторов | 1 балл |
Знает закономерности параллельного соединения резисторов | 1 балл |
Правильно нарисовал эквивалентные цепи | 4 балл |
Правильно определил напряжение между точками А и В | 1 |
Итого | 9 балл |
Задание 9.5. Догадайся сам…
Имеется две одинаковых кастрюли с водой: в одной из них кипяченая вода, в другой - сырая. Как определить, в какой кастрюле находится сырая вода? В вашем распоряжении имеются кастрюли меньшей емкости и нагреватель.
Решение. Если в одинаковые кастрюли налить одинаковое количество воды сырой и кипяченной и затем их немного нагреть, то большее количество воздушных пузырьков на поверхности кастрюле будет наблюдаться там, где сырая вода.
Примерные критерии оценивания задания 9.5
Правильно ответил на вопрос | 1 балл |
Дал правильное объяснение | 2 балл |
Итого | 3 балл |
Задания районного (городского) этапа
Всероссийской олимпиады школьников (2007-2008 учебный год)
Задание 10.1. Вмороженный камешек
Ледяной кубик с вмороженным в него небольшим камешком опустили в цилиндрический сосуд с водой. При этом кубик стал плавать, полностью погрузившись в воду. Во сколько раз объем камешка меньше объема льда?
Решение. Если кубик, полностью погрузившись в воду, плавает, то на основании условия плавания тела сила тяжести равна архимедовой силе: Mg=FA. Масса кубика складывается из массы льда mл и массы камешка mк, т. е. M= mл+ mк или M= Vлrл+ Vкrк. В свою очередь объем погруженной части тела будет складываться из объема льда и объема камешка, т. е. V= Vл+ Vк. На основании этих рассуждений можно записать: (Vлrл+ Vкrк)g = (Vл+ Vк)rвg. Решая это уравнение относительно 
, получим 
. Откуда 
.
Ответ: Объем камешка в 12 раз меньше объема льда.
Примерные критерии оценивания задания 10.1
Знает формулы: архимедовой силы FА=rжVпчтg, массы тела m=Vr | 1 балл |
Знает условие плавания тел Mg=FA | 1 балл |
Правильно получил конечное выражение | 1 балл |
Правильно выполнил вычисления | 1 балл |
Итого | 4 балл |
Задание 10.2. Равновесное состояние
Балка массой М подвешена горизонтально с использованием двух блоков одинакового радиуса R и четырех нитей (1, 2, 3 и 4), одна из которых (1) перекинута через блоки, как показано на рисунке. Определите силы натяжения каждой нити, если длина балки равна 8R. Нити и блоки считать невесомыми. Трением пренебречь.
Решение. На основании условия покоя балки:
Т2 + Т3 + Т4 = Mg (1).
Условие горизонтальности балки (сумма
моментов сил относительно точки О равна нулю):
Т2×4R + Т3×R – Т4×4R = 0 или
4Т2 + Т3 – 4Т4 = 0 (2).
Для равновесия первого блока
-Т3×2R + Т2×R = 0 или
Т2=2 Т3. (3).
Решая систему трех уравнений
получим значение сил натяжения нитей: 
.
Примерные критерии оценивания задания 10.2
Знает условия равновесия тела: 1) | 1 балл |
Правильно выполнен чертеж к задаче | 1 балл |
Правильно записано условие покоя балки: Т2 + Т3 + Т4 = Mg | 1 балл |
Правильно записано условие горизонтальности балки 4Т2 + Т3 – 4Т4 = 0 | 1 балл |
Правильно записано условие равновесия первого блока | 1 балл |
Правильно составлена система уравнений | 1 балл |
Правильно определил силу натяжение нитей | 1 балл |
Итого | 7 балл |
2) 
Задание 10.3. Столкновение тел
Первое тело, брошенное с Земли, вертикально вверх сталкивается с точно таким же вторым телом, падающим с высоты 20 м с нулевой скоростью. Определите начальную скорость первого тела и высоту, на которой произошло столкновение, если время падения второго тела оказалось в 2 раза больше времени его падения при отсутствии столкновения с другим телом. Движение тел начинается одновременно, столкновение центральное и абсолютно упругое.
Решение. Запишем зависимость координаты тел от времени для каждого тела:
и Y2=
. В момент встречи координаты тел равны, т. е. = 
. Откуда время столкновения будет определяться 
. Тогда высота, на которой произойдет столкновение, будет определяться 
. Время падения второго тела без столкновения можно определить из уравнения: 
. Значит 
, t21=2 c.
При абсолютно упругом столкновении тел, выполняются законы сохранения импульса и энергии. При ударе шарики обменяются скоростями, и дальше будут продолжать движение по траектории другого тела, по которой то двигалось бы в отсутствии соударения. Таким образом, время падения второго тела в результате столкновения будет равно полному времени движения первого тела (от начала движения до возвращения на Землю) в отсутствии столкновения со вторым телом. Таким образом 
. По условию задачи t22=2t21. Значит 
=4 или u0=20 м/с.
Высота, на которой произошло столкновение, будет равна: 
Ответ: 20 м/с – начальная скорость первого тела; 15 м – высота, на которой произошло столкновение.
Примерные критерии оценивания задания 10.3
Правильно записал уравнение координат, движущихся тел | 1 балл |
Правильно получил выражение для определения времени встречи | 1 балл |
Правильно записал выражение для определения высоты, на которой произошло столкновение | 1 балл |
Правильно определил время падения второго тела без столкновения с первым телом | 1 балл |
Правильно определил характер движения тел после столкновения | 2 балл |
Правильно определил время движения второго тела с учетом столкновения с первым телом | 1 балл |
Правильно выполнил вычисления | 1 балл |
Итого | 8 балл |
Задание 10.4. Электрическая цепочка
Пятнадцать одинаковых отрезков проволоки спаяли в виде пятиконечной звезды (см. рис.). Сопротивление каждого отрезка равно 2 Ом. Определите сопротивление цепи между точками А и В.
Решение. Если внимательно посмотреть на эту фигуру, то её элементарной ячейкой является треугольник сопротивлений.
Сопротивление этого треугольника равно r = 4/3 Ом. Начертим эквивалентную электрическую схему «звездочки»
Сопротивление цепи между точками А и В будет равно RAB=16/15 Ом.
Примерные критерии оценивания задания 10.4
Правильно определил элементарную «ячейку» электрической цепи | 1 балл |
Правильно нарисовал эквивалентную цепь | 1 балл |
Знает формулу нахождения сопротивления при последовательного соединения проводников | 1 балл |
Знает формулу нахождения сопротивления параллельного соединения проводников | 1 балл |
Правильно общее сопротивление электрической цепи | 1 балл |
Итого | 5 балл |
Задание 10.5
Решение. На основании закона сохранения и превращения энергии 80% кинетической энергии льда идет на его нагревание от -100 до 0 0С, плавления при температуре 0 0С, нагревания воды от 0 до 100 0С, а потом её парообразование при 100 0С.
На основании этого запишем 
=mcл(t2-t1)+ml+mcв(t3-t2)+mL. После сокращения правой и левой части уравнения на массу тела и решения данного уравнения относительно скорости u и подстановки числовых значений, взятых из справочника получим: u»2,9×103 м/с.
Примерные критерии оценивания задания 10.5
Знает формулу кинетической энергии тела | 1 балл |
Правильно представил цепь превращения твердого льда в пар | 1 балл |
Знает формулы нагревания, плавления и парообразования | 1 балл |
Правильно получил конечное выражение | 1 балл |
Правильно выполнил вычисления | 1 балл |
Итого | 5 балл |
Задания районного (городского) этапа
Всероссийской олимпиады школьников (2007-2008 учебный год)
Задание 11.1. Вверх, вниз
Небольшое тело пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол 150 с горизонтом. Найдите коэффициент трения тела о плоскость, если время его подъема в два раза меньше времени спуска.
Решение. Первый способ.
При движении тела вверх по наклонной плоскости на него действуют три силы (см. рис).
На основании второго закона Ньютона можно записать 
.
В проекции на ось х и ось y можно записать второй закон Ньютона следующим образом
(1) 
(2).
Cила трения Fтр=mN==mFр=mmgcosa (3).
Решая совместно уравнения 1-3, получим
ax1= - g(sina+mcosa) (4).
При движении тела вниз, рассуждая аналогично, получим ax2=g(sina-mcosa) (5).
Перемещение тела при движении вверх определяется
. Решая совместно уравнением 4, получим:
(6).
При движении тела вниз, перемещение будет определяться 
. Решая совместно с пятым уравнением, получим: 
(7).
Так как перемещения тел равны, то, решая совместно уравнения 6 и 7 относительно коэффициента трения, получим: m=
, численное значение m=0,16.
Ответ: коэффициент трения тела о плоскость равен 0,16.
Примерные критерии оценивания задания 11.1
Знает формулу второго закона Ньютона | 1 балл |
Правильно выполнил чертеж для движения тела | 1 балл |
Правильно нашел проекции сил на ось движения | 1 балл |
Правильно записал второй закон Ньютона в скалярной форме | 1 балл |
Знает формулу перемещения тела | 1 балл |
Правильно получил конечное выражение | 1 балл |
Правильно выполнил вычисления | 1 балл |
Итого | 7 балл |
Задание 11.2. Камешек и лед
Ледяной кубик с вмороженным в него небольшим камешком опустили в цилиндрический сосуд с водой. При этом уровень воды в сосуде повысился на 4 см, а кубик стал плавать полностью погрузившись в воду. На сколько изменится уровень воды в сосуде, когда лёд полностью растает?
Решение. Объем камешка в 12 раз меньше льда (см. решение задачи 10.1)
, т. е.
Vл=12Vк.
С другой стороны Vк+Vл=S×H, где S-площадь цилиндрического стакана, H – высота поднятия жидкости в сосуде, после опускания в него ледяного кубика. Или
13Vк=S×H (1).
После того как вес лед растает и превратится в воду будет выполняться условие: масса воды будет равна массе льда mл=mв или rлVл=rвVв. Выразим отсюда объем воды
(2).
Объем камешка Vк и объем, образовавшейся воды изо льда, Vв будут связаны соотношением (см. 3 ситуацию на рис.)
Vк + Vв = S×h2 (3).
Решая уравнения 1 – 3 относительно h2 получим:
.
Откуда h2=3,63 см, h1=0,37 см.
Ответ: уровень воды в сосуде увеличится по сравнению с первоначальным уровнем воды в сосуде на 3,63 см и понизится по сравнению уровнем воды с плавающим в нём кубиком на 0,37 см.
Примерные критерии оценивания задания 11.2
Знает формулы: архимедовой силы FА=rжVпчтg, массы тела m=Vr | 1 балл |
Знает условие плавания тел Mg=FA | 1 балл |
Правильно воспользовался условием равенства масс льда и воды | 1 балл |
Правильно получил конечное выражение | 1 балл |
Правильно выполнил вычисления | 1 балл |
Итого | 5 балл |
Задание 11.3. Остановись мгновенье
Два стальных шарика диаметром 2 см сталкиваются друг с другом и разлетаются в разные стороны. Оцените время их взаимодействия, если соударение центральное и абсолютно упругое.
Решение.
При столкновении шариков в них возникает упругая деформация, которая начинается передаваться из более напряженной области в менее напряженную, т. е. начинает распространяться возмущения со скоростью, равной скорости звука в данной среде. Колебания распространяются до противоположной стороны шарика, отражаются на границе раздела сталь-воздух и начинают двигаться в противоположном направлении. Далее, когда возмущения доходят до места соударения, «слои» начинают «смещаться» (3). Шарики незначительно увеличиваются в своих размерах и отталкиваются.
Время взаимодействия можно оценить по времени прохождения возмущений от одной части шарика и обратно. Это расстояние соизмеримо с двойным диаметром шарика, т. е. время взаимодействие шариков можно оценить следующим образом Dt ~2D/uст, Dt ~2×2×10-2 /5,2×103 » 7,8×10-6 (с).
Примерные критерии оценивания задания 11.3
Привел правильные рассуждения | 2 балл |
Правильно записал формулу для оценивания время взаимодействия шариков | 1 балл |
Правильно выполнил вычисления | 1 балл |
Итого | 4 балл |
Задание 11.4.
Прибор питается от батареи, состоящей из N аккумуляторов, соединенных параллельно. При каком N мощность батареи будет максимальной, если потребляемая прибором мощность при N=5 в 16 раз больше, чем при N=1?
Мощность, выделяемая на внешней цепи, определяется P=I2R. Используя закон Ома для замкнутой цепи можно записать 
, где e - ЭДС источника rб – внутреннее сопротивление батареи, R - сопротивление прибора. Так как аккумуляторы подключаются параллельно, то внутреннее сопротивление батареи будет определяться rб =r/N, а ЭДС будет оставаться неизменной.
При наличии одного аккумулятора мощность Р1 будет определяться 
, а при пяти параллельно соединенных аккумуляторов мощность Р5 - 
.
Отношение мощностей при подключении к нагрузке 5 и 1 аккумулятора Р5 : Р1 равно 16, т. е.
.
Выражение 
решим относительно R.
После преобразований получим: R=r/15 (1).
Максимальная мощность выделяемая в приборе, сопротивление которого R, будет наибольшей в том случае, когда сопротивление прибора будет равно внутреннему сопротивлению батареи аккумуляторов, т. е. 
(2) . Решая совместно уравнения 1 и 2, можно утверждать, что наибольшая мощность, выделяемая на приборе будет, если включены параллельно 15 аккумуляторов.
Ответ: количество аккумуляторов равно15.
Примерные критерии оценивания задания 11.4
Знает формулу для вычисления мощности постоянного тока | 1 балл |
Знает формулу закона Ома для замкнутой цепи | 1 балл |
Знает формулу для нахождения общего сопротивления при параллельном соединении одинаковых проводников | 1 балл |
Знает условие при котором в цепи выделяется максимальная мощность | 1 балл |
Правильно получил конечное выражение | 1 балл |
Правильно выполнил вычисления | 1 балл |
Итого | 6 балл |
Задание 11.5. Циклический процесс
Порция гелия в циклическом процессе вначале адиабатически расширяется, при этом температура газа уменьшается от Т1 до Т2, затем сжимается изобарно до первоначального объема и, наконец, нагревается изохорно до первоначального давления. Найдите наименьшее значение температуры в этом цикле.
Примечание: уравнение адиабаты pVg = const. Показатель адиабаты g для одноатомного газа равен 5/3, для двухатомного 7/5, для газа, молекулы которого состоят из трех и более атомов, g=4/3 .
Решение. Начертим этот процесс в координатах (P, V). Через точки 1, 2 и 3 проведем изотермы. Очевидно, что изотерма, проходящая через точку 3 имеет наименьшую температуру Тmin=Т3.
Для определения этой температуры составим необходимые уравнения.
Для участка 1®2 р1Vg1 = р2Vg2 или 
(1).
Для участка 2®3 
или 
(2)
Для участка 3®1 
(3).
Из уравнения 3 и 1 получим 
.
Если в последнее выражение подставить уравнение 2, то оно примет вид 
. Решая последнее уравнение относительно Т3, окончательно получим: 
,
где показатель адиабаты гелия равен g=5/3, потому что он является одноатомным газом.
Примерные критерии оценивания задания 11.5
Правильно начертил график замкнутого цикла | 1 балл |
Правильно определил точку на графике, в которой температура наименьшая | 1 балл |
Правильно записал уравнение адиабаты процесса 1 - 2 | 1 балл |
Правильно записал уравнение изобарного процесса для участка 2-3 | 1 балл |
Правильно записал уравнение изохорного процесса для участка 3-1 | 1 балл |
Правильно записал конечное выражение | 1 балл |
Итого | 6 балл |
Основные порталы (построено редакторами)