ТЕМА 2. Основные теоремы и формулы теории вероятностей
Лекция 2. Основные теоремы теории вероятностей
Занятие 3.
Учебная цель: изучить основные теоремы теории вероятностей.
Основные вопросы:
1. Аксиомы теории вероятностей.
2. Теоремы сложения.
3. Условные вероятности.
4. Теорема умножения вероятностей.
5. Формула полной вероятности.
6. Формула Байеса.
1. Аксиомы теории вероятностей
Теория вероятностей, как и любая математическая наука, строится на основе аксиом, предложенных в 1933 году А. Н. Колмогоровым.
Аксиома 1 (свойство позитивности). Вероятность случайного события – неотрицательная величина 
.
Аксиома 2 (условие нормировки). Вероятность достоверного события равна единице 
.
Аксиома 3 (правило сложения вероятностей). Если случайные события 
- попарно несовместные, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей
при 
.
Некоторые следствия из аксиом сформулируем в виде теорем.
Теорема 1 - Если события образуют полную систему, то
.
Следствия
1. Так как два события 
и 
образуют полную систему, то 
;
2. Так как 
и 
(в силу аксиомы 1), то 
. Откуда находим, что 
.
3. Так как 
, а согласно аксиоме 2, то 
.
Теорема 2 - Если 
, то 
.
2. Теорема сложения
Теорема 1 – Для произвольных двух событий А и В
Доказательство – Для любых двух событий справедливо соотношение 
и 
, где события 
и 
, а также 
и несовместны. Тогда по аксиоме 3 имеем 
; 
. Из второго равенства 
. Подставляя 
в первое равенство, получим , что и требовалось доказать.
Если события А и В несовместны, то 
и тогда формула примет вид 
, т. е. вид аксиомы 3 для двух событий.
Эта теорема справедлива для любого числа слагаемых и является обобщением аксиомы 3 Колмогорова.
Пример – Склад боеприпасов состоит из трёх объектов (хранилищ). Самолёт, атакующий склад боеприпасов, выпускает по цели ракету, которая с вероятностью 
попадает в хранилище № 1, с вероятностью 
- в хранилище № 2, с вероятностью 
- в хранилище № 3. Склад уничтожается, если ракета попадает в какое-либо хранилище. Какова вероятность уничтожения боеприпасов?
Решение – Пусть А – поражение цели, 
- попадание ракеты в i – хранилище,
i = 1, 2, 3. Тогда 
и 
.
3. Условные вероятности
Пусть А и В – два случайных события. Предположим, что произведено испытание, в результате которого произошло событие В; неизвестно, однако, произошло ли событие А. В этом случае говорят о вероятности события А при условии, что событие В осуществилось. Эту вероятность называют условной и обозначают 
, а вероятность события 
называют безусловной вероятностью.
Пример – В ящике 7 деталей, среди которых 5 стандартных и 2 бракованные. Поочерёдно из ящика извлекают по одной детали (с возвратом и без возврата). Найти вероятность того, что второй раз извлечена стандартная деталь.
Решение – Пусть события А и В - извлечение стандартной детали соответственно в 1-й и 2-й раз. Очевидно, что 
. Если вынутая деталь в ящик не возвращается, то вероятность извлечения стандартной детали второй раз зависит от того какая деталь была извлечена первый раз – стандартная (событие А), или бракованная (событие ). В первом случае 
, так как из оставшихся 6 деталей стандартных будет соответственно 4 и 5.
Пусть производится опыт со случайным исходом, в результате которого могут произойти (или не произойти) какие-то события А и В.
Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется величина
(1)
4. Теорема умножения вероятностей
Из формулы (1) вытекает равенство
(2)
Если в равенстве (2) А и В поменять местами, то получим
(3)
Из равенств (2) и (3) следует теорема.
Теорема – Вероятность произведения двух случайных событий равна произведению безусловной вероятности одного из событий на условную вероятность второго события при условии, что первое событие осуществилось.
Для случая произвольных трёх случайных событий А, В и С
(4)
Задача – Группа из трёх самолётов атакует объект, который защищается тремя пусковыми ракетными установками. Чтобы затруднить оборону объекта, каждый самолёт запускает по одной ложной цели. Установки наугад нацеливаются на три какие-то цели, причём на одну и ту же цель нацеливается, самое большее, одна установка. Найти вероятность того, что все три установки будут нацелены на самолёт.
Решение – Обозначим через А, В и С нацеливание на самолёт первой, второй и третьей установки. Так как 
, 
, 
, то
.
На случай произвольного числа событий
(5)
Говорят, что событие А не зависит от события В, если условная и безусловная вероятность события А равны, т. е.
(6)
Таким образом, независимость А от В означает, что вероятность события А остаётся одной и той же, независимо от того, располагает ли информацией о том, что событие В произошло или такой информации нет.
Имеет место следующее утверждение: если событие А не зависит от В, то, наоборот и В не зависит от А.
Если А и В – независимые случайные события, то формулы (2) и (3) примут вид:
(7)
Теорема – Вероятность произведения двух независимых случайных событий равна произведению безусловных вероятностей этих событий.
Задача – По объекту производят пуск двух ракет, вероятности попадания которых равны соответственно 0,8 и 0,9. Предполагая попадания ракет независимыми событиями, найти вероятность уничтожения объекта, если известно, что для этого требуются два попадания.
Решение – Пусть события А и В – попадания первой и второй ракеты в объект. Согласно условию, это – независимые случайные события, причём 
и 
Так как объект будет уничтожен лишь в том случае, когда в объект попадут обе ракеты – и первая, и вторая, то уничтожение объекта есть событие АВ и 
.
Задача – В условиях предыдущей задачи, найти вероятность уничтожения объекта хотя бы одной ракетой.
Решение – Так как для уничтожения объекта требуется попадание хотя бы одной ракеты, то надо найти вероятность суммы А + В совместных событий А и В. В этом случае
, (8)
то есть 
, так как 
, 
;
, 
.
Говорят, что события 
являются независимыми (в совокупности), если каждое из этих событий не зависит от любого из оставшихся, а также от каждого из произведений какого угодно числа каких угодно из остальных событий. Если независимые случайные события, то
(9)
5. Формула полной вероятности.
Формула Байеса
Теорема Пусть А – некоторое случайное событие, вероятность которого надо найти. Допустим, что известны безусловные вероятности 
системы гипотез 
(событий, образующих полную систему, а также условные вероятности 
) события А при условии, что события произошли.
Тогда вероятность события А равна
, (10)
называемой формулой полной вероятности.
Доказательство
Так как 
, а события 
попарно несовместны, то на основании аксиомы 3 и теоремы умножения вероятностей получим формулу (10). Что и требовалось доказать.
Теорема гипотез (формулы Байеса)
Пусть - система гипотез, безусловные вероятности которых предполагаются известными.
Допустим, что произведено испытание, в результате которого произошло некоторое случайное событие А, и пусть известны условные вероятности 
гипотез 
вычисляются по формулам
, (11)
называемым формулами Байеса.
Доказательство – Используя определение условной вероятности и теорему умножения вероятностей, получим
,
что и требовалось доказать.
Замечание – Безусловную вероятность 
называют доопытной, или априорной вероятностью события 
, условную вероятность 
- послеопытной, или апостеорной вероятностью того же события.
Таким образом, формулы Байеса позволяют находить послеопытные вероятности гипотез при условии, что в результате испытания событие А осуществилось, если известны их доопытные вероятности, а также условные вероятности 
.
Задача – Батарея состоит из 6 орудий трёх типов. При одном выстреле по объекту вероятность попадания для первого орудия (I типа) равна 0,9, для каждого из двух других (II типа) равна 0,75, для каждого из трёх (III типа) – 0,5. Наугад выбирают одно из орудий батареи, и это орудие делает выстрел по объекту. Найти вероятность попадания в объект.
Решение – Обозначим через А попадание в объект событие, вероятность которого требуется найти. Это событие зависит от того, какое орудие выбрано. Пусть - выбрано орудие I типа; - выбрано орудие II типа и - выбрано орудие III типа. Тогда 
, а
.
; 
; 
.
; 
; 
.
,
то есть приблизительно в 65% от общего числа всех испытаний попадание в объект.
Используя условие предыдущей задачи, найти вероятность того, что стреляло орудие того или иного типа.
.
Таким образом, после наступления события А вероятность гипотезы увеличилась с 0,17 до 0,23, а уменьшилась с 0,5 до 0,38.
Основные порталы (построено редакторами)