Задание 1.4. Даны числовые последовательности: a(n) = 3n − 5 и b(n) = n2. Составить экспоненциальные производящие функции этих последовательностей. В произведении ae(x)×be(x) найти коэффициент при x4.
Решение.
Так как a(n) = 3n − 5, то, воспользовавшись таблицей, найдём: ae(x) = e3x − 5ex.
так как b(n) = n×n, то, по свойству «изменение масштаба», имеем:
be(x) = x
[ЭПФ(n)] = x [x ex] = x ex (1+x).
Коэффициент при x4 равен
d4 / 4! = (1/4!)
C4i аi b4-i = (1/4!) [C40а0 b4 + C41а1 b3 + C42а2 b2 + C43а3 b1 + C44а4 b0] = (1/4!) [1×(−4)×16 + 4×(−2)×9 + 6×4×4 + 4×22×1 + 0] = 48 / 24 = 2.
Задание 1.5. Найти формальный степенной ряд, обратный к данному ряду:
аn xn = 2 + x3.
Решение.
Cоставим вспомогательный ряд:
g(x) = 1 − (1/а0) аn xn = 1 − (1/2) (2 + x3) = − x3 / 2.
Обратный ряд найти по формуле: ( аn xn)−1 = (1/ а0) (1 + g(x) + g2(x) +…) =
= (1/2) (1 − x3 / 2 + x6 / 4 − x9 / 8 ±…) = 
.
Задание 1.6. Выполнить дифференцирование формального степенного ряда:
Can xn.
Решение. Воспользовавшись формулой: аn xn = (n+1) аn+1 xn, найдём:
Can xn = (n+1) Can+1 xn = (n+1) xn =
xn = Can (a − n) xn .
Задание 1.7. Найти числовую последовательность, производящей функцией которой является функция вида:
a(x) = 
.
Решение.
Разложим данную правильную дробь в сумму простейших дробей:
a(x) = 10 / (3-2x) + 5 / (3-2x)2 − 1 / (4+5x).
Приведём каждую из простейших дробей к табличному виду:
10 / (3-2x) = 
; 5 / (3-2x)2 = 
; 1 / (4+5x) = 
.
Воспользовавшись таблицей производящих функций, восстановим числовую последовательность:
a(n) = 
+ 
C n n+ 2−1 + 
= [+ (n+ 1)] + .
Задачи для самостоятельного решения
Задание 1.8. Даны числовые последовательности: an = n2 + 7 и bn = 6n−3.
а) Составить их производящие функции a(x), b(x) и вычислить коэффициент при x3 в произведении a(x) × b(x);
б) Составить их экспоненциальные производящие функции ae(x), be(x) и вычислить коэффициент при x2 в произведении ae(x) × be(x).
Задание 1.9. Найти числовую последовательность, производящей функцией которой является функция вида: a(x) = (2x2 − 23x) / (5 − x)3.
Рекуррентные уравнения
Задание 2.1. Доказать, что арифметическая прогрессия an = a0 + dn, n = 0, 1, 2, …, является возвратной последовательностью.
Доказательство.
Так как 2an+1 = 2(a0 + d(n+1)) = (a0 + dn) + (a0 + dn + 2d) = an + an+2 , то последовательность an − решение линейного однородного рекуррентного уравнения с постоянными коэффициентами: an+2 = 2an+1 − an, а значит, она является возвратной.
Задание 2.2. Найти общее решение уравнения: f(n+3) + 3 f(n+2) + 3 f(n+1) + f(n) = 0.
Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его:
x3 + 3 x2 + 3 x + 1 = 0 ; (x + 1) 3 = 0; это уравнение имеет корень −1 кратности 3.
Тогда, в соответствии с основной теоремой об однородных уравнениях, общее решение данного уравнения имеет вид:
Ответ: a(n) = (C1 + C2 n + C3 n2) × (−1)n.
Задание 2.3. Найти решение уравнения:
f(n+4) = 12 f(n+3) − 22 f(n+2) − 84 f(n+1) − 49 f(n)
при заданных начальных условиях: f(0) = 8, f(1) = −14; f(2) = 4; f(3) = 342.
Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его:
x4 − 12x3 + 22 x2 + 84 x + 49 = 0 .
Разложив левую часть на множители, получим: (x + 1) 2 (x − 7) 2 = 0; это уравнение имеет два различных корня: корень −1 кратности 2 и корень 7 кратности 2.
Тогда, в соответствии с основной теоремой об однородных уравнениях, общее решение данного уравнения имеет вид: a(n) = (C1 + C2 n) × (−1)n + (C3 + C4 n) × 7n.
Для нахождения постоянных C1, C2, C3, C4 воспользуемся начальными условиями:
8 = f(0) = C1 + C3;
−14 = f(1) = (C1 + C2) × (−1) + (C3 + C4) × 7;
4= f(2) = (C1 + 2C2) × (−1)2 + (C3 + 2C4) × 72;
342= f(3) = (C1 + 3C2) × (−1)3 + (C3 + 3C4) × 73.
В результате получена система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными:
Решая её, найдём: C1 = 10, C2 = −3, C3 = −2, C4 = 1.
Подставляя найденные значения в общее решение, окончательно получим…
Ответ: a(n) = (10 − 3n) × (−1)n + (n −2) × 7n.
Задание 2.4. Найти частное решение уравнения:
f(n+2) = 2 f(n+1) + 8 f(n) + (96n − 32) × 4n.
Решение.
1. Составим соответствующее однородное уравнение:
f(n+2) = 2 f(n+1) + 8 f(n).
Выпишем для него характеристическое уравнение и найдём его корни:
x2 − 2 x − 8 = 0; x1 = 4 кратности 1, x2 = −2 кратности 1.
2. В нашем случае u(n) = R1 (n) ln = (96n − 32) × 4n, т. е. l = 4; это значение совпало с одним из корней характеристического уравнения, имеющим кратность r = 1.
Частное решение ищем в виде: aч(n) = (An + B) × 4n × nr = (An2 + Bn) × 4n.
Постоянные A и B определяем путём подстановки частного решения в исходное уравнение:
[A(n+2)2 + B(n+2)] × 4n+2 = 2[A(n+1)2 + B(n+1)] × 4n+1 + 8[An2 + Bn] × 4n + (96n − 32) × 4n.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
Основные порталы (построено редакторами)