Лекция № 3 по учебной дисциплине «Физика»

ЛЕКЦИЯ № 3

по учебной дисциплине «ФИЗИКА»

Занятие № 2/3. Импульс

Краснодар 2011

Раздел 1. Физические основы механики.

Тема 2. Основы динамики

Лекция № 3. Импульс

ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ

1.Импульс тела. Импульс силы.

2. Закон сохранения импульса. Центр масс. Уравнение движения центра масс.

3. Реактивное движение. Уравнение движения тела переменной массы.

ЦЕЛЬ : изучить закон сохранения импульса и его применение.

ОБЕСПЕЧЕНИЕ

• методическая разработка занятия;

• видеоматериал;

• цветной мел, доска.

Литература: [1], с.19 – 22

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

В основной части, раскрывая изучаемые вопросы, достигается поставленная цель. В заключительной части, кроме установки на самоподготовку и определения темы следующего занятия, целесообразно вызвать аудиторию на краткое обсуждение рассмотренных вопросов, обеспечив закрепление пройденного материала.

Рябчун

Введение

Важнейшая роль законов сохранения как инструмента исследования обусловлена рядом причин:

1. Законы сохранения не зависят ни от траекторий тел или частиц, ни от характера действующих сил. Поэтому они позволяют получить ряд весьма общих и существенных заключений о свойствах различных механических процессов, не вникая в их детальное рассмотрение с помощью уравнений движения. Если, например, выясняется, что такой-то процесс противоречит законам сохранения, то сразу можно утверждать: этот процесс невозможен, и бессмысленно пытаться его осуществить.

2. Тот факт, что законы сохранения не зависят от характера действующих сил, позволяет использовать их даже тогда, когда силы вообще неизвестны. В этих случаях законы сохранения являются единственным и незаменимым инструментом исследования. Так, например, обстоит дело в физике элементарных частиц.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3. Даже в тех случаях, когда силы в точности известны, законы сохранения могут оказать существенную помощь при решении многих задач о движении. Хотя все эти задачи могут быть решены с помощью уравнении движения (в этом отношении из законов сохранения мы не получим никакой дополнительной информации), привлечение законов сохранения очень часто позволяет получить решение наиболее простым и изящным путем, избавляя нас от громоздких н утомительных расчетов. Поэтому при решении новых задач целесообразно придерживаться следующего порядка: прежде всего один за другим применяют соответствующие законы сохранения и, только убедившись, что этого недостаточно, переходят затем к решению с помощью уравнения движения.

Изучение законов сохранения начнем с закона сохранения импульса

Вопро1.Импульс тела. Импульс силы.

.Импульс материальной точки.

p=mv,

где т и v — ее масса и скорость. Воспользовавшись понятием импульса, запишем основное уравнение динамики в иной форме:

dp/dt=F,

т. е. производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе. В частности, если F=0. то p-const.

Заметим, что в неинерцпальной системе отсчета сила F включает в себя не только силы взаимодействия данной частицы с другими телами, но и силы инерции.

Другое название этой величины — количество движения.

Полученное выражение позволяет найти приращение импульса за любой промежуток времени, если известна зависимость силы F от времени. Действительно, него следует, что элементарное приращение импульса частицы за промежуток времени dt есть dp=Fdt. Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение импульса частицы за конечный промежуток времени t:

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют импульсом силы. Таким образом, приращение импульса частицы за любой промежуток времени зависит не только от значения силы, но и от продолжительности ее действия, или, другими словами, равно импульсу силы за это время. В частности, если F= const, то вектор F можно

вынести из-под интеграла и тогда

Пример.

На частицу, которая в момент t = 0 имела импульс p0, действует в течение промежутка времени сила, зависящая от времени t как

где а —постоянный вектор.

Найдем импульс р частицы после окончания действия этой силы.

Далее рассмотрим произвольную систему частиц. В общем случае частицы этой системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в данную систему. В соответствии с этим силы взаимодействия между частицами системы называют внутренними, а силы, обусловленные действием других тел, не входящих в данную систему,— внешними.

Ясно, что такое разделение сил на внутренние и внешние условно —оно целиком зависит от выбора интересующей нас системы частиц. Заметим также, что в неинерциальных системах отсчета к внешним силам относятся и силы инерции.

Введем понятие импульса системы как векторную сумму импульсов ее отдельных частиц:

где рi — импульс i-й частицы. Заметим, что импульс системы— величина аддитивная, т. с. импульс системы равен сумме импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет. Найдем физическую величину, которая определяет изменение импульса системы. Для этого продифференцируем по времени последнее выражение:

или учитывая что, dp/dt=F получим:

где Fik — силы, действующие на i-ю частицу со стороны других частиц системы (внутренние силы); Fi - — сила действующая на эту же частицу со стороны других тел. не входящих в рассматриваемую систему (внешние силы). Подставив последнее выражение в предыдущее, получим

Двойная сумма справа — это сумма всех внутренних сил. В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между частицами системы попарно одинаковы по модулю и противоположны по направлению. Поэтому результирующая сила в каждой паре взаимодействия равна нулю, а значит, равна нулю и векторная сумма всех внутренних сил. В результате последнее уравнение принимает следующий вид:

где Fвнешн —результирующая всех внешних сил,

Это уравнение означает: производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на частицы системы.

Как н в случае одной частицы, из уравнения следует, что приращение импульса системы за конечный промежуток времени t есть

т. е. приращение импульса системы равно импульсу результирующей всех внешних сил за соответствующий промежуток времени. И здесь, конечно, Fвнешн— результирующая всех внешних сил. Уравнения справедливы как в инерциальной, так и в неинерцнальной системах отсчета. Следует только иметь в виду, что в неннерцнальной системе отсчета необходимо учитывать и действие сил инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под Fвнешн в этих уравнениях надо понимать сумму Fвз+ Fир, где Fвз— результирующая всех внешних сил взаимодействия, a Fин — результирующая всех сил инерции.

Вопрос 2. Закон сохранения импульса. Центр масс. Уравнение движения центра масс.

Прежде всего введем понятие замкнутой (или изо лированнон) системы. Так называют систему материальных точек на которую не действуют никакие посторонние тела (или их воздействие пренебрежимо мало). Другими словами система замкнута, если внешние силы отсутствуют. Очевидно, что понятие замкнутой системы имеет смысл только по отношению к инерциальным системам отсчета, поскольку в неинерциальных системах отсчета всегда действуют силы инерции, играющие роль внешних сил. Понятие замкнутой системы является естественным обобщением понятия изолированной материальной точки и играет весьма важную роль в физике. Согласно полученному выше уравнению импульс системы может изменяться под действием только внешних сил. Внутренние силы не могут изменить импульс системы. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы частиц остается постоянным, т. е. не меняется со временем:

При этом импульсы отдельных частиw или частей замкнутой системы могут меняться со временем, что и подчеркнуто в последнем выражении. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение импульса одной части системы равно убыли импульса оставшейся части снетемы. Другими словами, отдельные части замкнутой системы могут только обмениваться импульсами. Обнаружив в некоторой системе приращение импульса, мы можем утверждать, что это приращение произошло за счет убыли импульса в окружающих телах. Сказанное справедлио, разумеется, только по отношению к инерциальным системам отсчета. Импульс может сохраняться и у

незамкнутой системы при условии, что результирующая всех внешних сил равна нулю. В практическом отношении сохранение импульса в этих случаях представляет особый интерес, ибо дает возможность получать достаточно простым путем ряд сведений о поведении системы, не вникая в детальное рассмотрение процесса.

И еще. У незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс р, а его проекция рх на некоторое направление х. Это бывает тогда, когда проекция результирующей внешней силы Fвнешн на направление х равна нулю.

. Например, при движении системы в однородном поле сил тяжести сохраняется проекция ее импульса на любое горизонтальное направление, что бы в системе ни происходило.

Рассмотрим примеры на закон сохранения импульса.

Вопрос3. . Реактивное движение. Уравнение движения тела переменной массы.

Термин «переменная масса» в данном случае употребляется в совершенно ином смысле, чем в теории относительности. В теории относительности масса движущегося тела изменяется за счет изменения его скорости, причем никакого вещества во время движения тело не получает и не теряет. Напротив, в настоящем параграфе говорится о медленном движении тел, масса которых меняется за счет потери или приобретения вещества. Например, масса автомобиля для поливки улиц уменьшается за счет вытекающих водяных струй; дождевая капля растет при падении в воздухе, пересыщенном водяными парами; масса ракеты или реактивного самолета уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива. В таких случаях говорят о движении тел с переменной массой. Уравнения движения тел с переменной массой не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, а являются их следствиями. Тем не менее они представляют большой интерес, главным образом в связи с авиационной техникой. Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой

системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет. Целесообразно, однако, обобщить задачу, предположив, что на ракету действуют внешние силы. Такими силами могут быть сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета. Пусть m (t) — масса ракеты в произвольный момент времени t, а v (t) —ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет mv. Спустя время dt масса и скорость ракеты получат приращения dm и dv (величина dm отрицательна!). Количество движения ракеты станет равным (m +dm)(v + dv). Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время dt. Оно равно dmгаз vгаз, где dmгаз — масса газов, образовавшихся за время dt, a vгаз— их скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент t + dt количество движения системы в момент t, найдем приращение этой величины за время dt. Согласно известной теореме это приращение равно Fdt где F — геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом, (m + dm) (v + dv) + dmгазivгаз — mv = F dt. Время dt, а с ним и приращения dm и dv мы должны устремить к нулю — нас интересуют предельные отношения, или производные и.Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведениеdmdv, как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, dm + dmгаз= 0. Пользуясь этим, можно исключить массу газов dmгаз. Наконец, разность vотн = vгаз - v есть скорость истечения газов относительно ракеты. Мы будем называть ее скоростью газовой струи. С учетом этих замечаний предыдущее соотношение легко преобразуется к виду

m dv = vотн dm + Fdt.

Отсюда делением на dt получаем

По форме полученное уравнение совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела т здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе F добавляется дополнительный член , который может быть истолкован как реактивная сила, т. е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Данное уравнение впервые было получено русским механиком И. В.

.Мещерским (1859—1935). Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.

Вариант2 изложения вопроса 3

Изменение импульса системы за dt