ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ
|
, где t принимает все вещественные значения, радиус-векторы прямой линии имеют вид
.
Уравнение (1) называется векторным уравнением прямой, вектор 
в нём - направляющим вектором прямой.
Две различные прямые, получающиеся из различных точек одними и теми же переносами, называются параллельными прямыми. Прямые с векторными уравнениями 
и 
, проходящие через точки 
и 
, параллельны.
Координатные уравнения прямой
|
.
Уравнения (2) называют параметрическим уравнениями прямой в координатах. Разрешая (2) относительно 
и приравнивая полученные выражения, мы получим уравнения
|
,
называемые каноническими уравнениями прямой.
Уравнения прямой по двум точкам
|
и , то за направляющий вектор прямой, проходящий через две точки, можно принять вектор 
. Поэтому векторное уравнение этой прямой может быть записано в виде
,
а канонические уравнения этой прямой можно записать в виде
|
.
Условимся называть прямую, проходящую через точки A и B, прямой AB.
Условия принадлежности трёх точек одной прямой
Если заданы три точки 
и , то необходимым и достаточным условием того, что точки 
и 
лежат на одной прямой, является коллинеарность векторов 
и 
. В самом деле, если точки и лежат на одной прямой, то в силу (4) 
, т. е. и коллинеарны. Обратно, если эти векторы коллинеарны, вектор 
удовлетворяет уравнению (4) прямой 
и точка лежит на этой прямой.
 |
Угол между прямыми
Будем называть углом между двумя прямыми тот из углов между направляющими векторами этих прямых, который 
. Поэтому, если направляющие векторы двух прямых – векторы a и b, то угол 
между этими прямыми – тот из углов 
и 
, определяющихся соотношениями
, 
,
который . Поэтому угол между прямыми с направляющими векторами a и b определяется соотношением
|
.
Расстояние от точки до прямой
Будем называть расстоянием от точки до прямой минимальное расстояние от данной точки до точек прямой. Расстояние 
от точки 
до произвольной точки прямой с уравнением (1) определяется соотношением
|
.
Поскольку
|
,
|
.
Т. к. (a,a)>0, 
при t, определённым (8), достигает своего наименьшего значения:
|
Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую
Требуя, чтобы отрезок 
, соединяющий точку с некоторой точкой 
прямой с уравнением (1), был перпендикулярен направляющему вектору этой прямой, т. е. чтобы вектор 
был перпендикулярен направляющему вектору , мы получаем условие 
откуда мы находим, что значение , удовлетворяющее этому условию, совпадает со значением (8). Это совпадение показывает, что основание перпендикуляра, опущенного из данной точки 
на прямую, совпадает с той точкой прямой, которая находится на минимальном расстоянии от данной точки.
Взаимное расположение двух прямых (условия при которых прямые пересекаются, параллельны, и скрещиваются)
|
и 
пересекаются, т. е. имеют общую точку, то при некоторых значениях t и u
откуда вытекает, что в этом случае три вектора 
, a и b линейно зависимы. Откуда
,
т. е. имеем нулевую линейную комбинацию векторов , a и b с ненулевыми коэффициентами.
Если две прямые (10) параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны, т. е. 
, и снова тройка , a и b линейно зависима, поскольку содержит линейно зависимую подсистему a, b.
Покажем, что справедливо обратное, т. е. если , a и b линейно зависимы, прямые (10) пересекаются или параллельны. Действительно, если , эти прямые параллельны. Если же a и b неколлинеарны, вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов a и b, то есть
что равносильно равенству
.
Поэтому точка, радиусом-вектором которой является этот вектор, есть точка пересечения данных прямых. Таким образом, необходимым и достаточным условием того, что две прямые (10) пересекаются или параллельны, является линейная зависимость векторов , a и b.
В случае, когда две прямые не пересекаются и не параллельны, они называются скрещивающимися.
Т. к. в случае скрещивающихся прямых векторы , a и b линейно независимы, определитель Грамма
|
Условие (12) является необходимым и достаточным условием того, что прямые (10) скрещиваются.
Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
Найдём кратчайшее расстояние между точками двух скрещивающихся прямых l и m с уравнениями (10).
 |
Расстояние от произвольной точки 
прямой l до произвольной точки 
прямой m определяется соотношением
|
Необходимое условие экстремума:
|
.
Т. к.
в силу неколлинеарности a и b, СЛАУ (14) имеет единственное решение, которое найдём по правилу Крамера:
|
.
Для того, чтобы t и u, определённые (15), доставляли минимум , нужно проверить, что главные миноры матрицы
положительны:
;
;
;
.
Вектор 
имеет вид
|
Вычислим теперь . В силу того, что 
и 
, имеем:
|
Общий перпендикуляр двух прямых
Требуя, чтобы отрезок, соединяющий произвольные точки двух данных прямых (10), был перпендикулярен направляющим векторам a и b обеих прямых, мы получим условие (14), откуда находим, что значения t и u, удовлетворяющие этому условию, совпадают со значениями (15). Это совпадение показывает, что основания общего перпендикуляра двух прямых совпадают с теми точками этих прямых, расстояние между которыми минимально.
Основные порталы (построено редакторами)