«Буковка с закорючечками»
(математическая сказка о том, как решается простейшее тригонометрическое уравнение вида: sinx=a, где │ a│≤1)
Когда это было давно иль недавно - мне это неведомо. Но то, что это было - это точно. Где это было?.. В тридевятом царстве или в тридесятом государстве врать не буду, но где-то это было. И вот там, где это было и жила девочка Лялечка. А училась она в 10 классе. Вот какая она была большая. Скоро сказка сказывается, не скоро дело делается. Как-то раз пришла девочка из школы и решила сделать сразу же домашнюю работу по математике. Она села за стол, включила музыку, чтоб веселее решалось, и сунула свой нос в учебник. «Так,- сказала она,- решить уравнение, ля-ля-ля. Как же его решать? Сейчас я подумаю и быстренько решу». Она переписала уравнение в тетрадь и только захотела прочитать, что дальше написано, но тут вдруг из динамика зазвучала её любимая мелодия. Лялечка закрыла глазки от удовольствия, музыка звучала, и ей она приносило неописуемую радость. Музыка зазвучала тише, потом ещё тише, ещё тише.… Оказывается, Лялечка заснула, и снился ей сон.
Она шла по дороге, и, вдруг, ей на плечо приземлилась стрекоза. Лялечка замерла, она боялась спугнуть её. Повернув голову, девочка смотрела на стрекозу, и ей показалось, что стрекоза - это не стрекоза, а маленький человечек. Да, это был человечек-эльф. « Как он странно одет,- подумала девочка,- как профессор, какого - то университета». Девочка, конечно же, не видела, как одеваются профессора университетов, но ей казалось, что именно так и должны они одеваться. Действительно, очень странно был одет эльф: на его голове был напудренный парик, на носу сидели очки, словно два колеса. А на нём была мантия. Кого-то он ей напоминал, но девочка никак не могла вспомнить. А напоминал он ей героя одной из книг - учёного, который был именно так и одет. По крайней мере, так он был изображён на рисунке в книге. «Здравствуй, девочка, как тебя зовут?» «Лялечка» - ответила девочка. «Так это твоё уравнение написано в той тетради?» Девочка посмотрела туда, куда показал эльф, и увидела действительно свою тетрадь. Она узнала свою тетрадь сразу же, потому что никто, кроме неё, в классе не писал с такими закорючечками букву «у». Ей нравилось так писать эту букву, она считала её самой красивой буквой во всём алфавите. А в тетради было написано: «Решить уравнение 2sin(3x+Π/4)=1» и буква «у» была именно такой, какой она обычно писала. Удивилась она только тому, что в самом уравнении все буквы и цифры двигались, разговаривали, спорили. И всё это происходило под её любимую мелодию. Лялечка прислушалась.
Скачет двойка около синуса и так его щипнёт и этак: всё норовит убрать его с дороги и умножить выражение (3x+Π/4). Но синус стоит на своём: «Не дам умножать! Это неправильно!» «Ах! - говорит двойка, - пусть неправильно, но мне так хочется помножить. Представляешь, синус, число Π/4 увеличится в два раза! А что это 3x? Вот если я умножу, то станет 6x ». «Нет! – говорит синус,- Всё это неправильно. Иди-ка ты, двойка, в другую часть уравнения, поищи там себе работу». И, слышит двойка, как кто-то зовёт её: «Двойка, раздели моё одиночество». Обрадовалась Двойка, что нашли ей работу: раз в левой части уравнения не дали умножить, то
разделю-ка я правую часть. И уравнение приняло вид:
sin(3x+Π/4)=1/2
Похвалил профессор синуса за то, что тот не поддался уговорам и не сделал неправильного решения. «За это, - говорит профессор,- я открою ключ к успешному решению уравнения». И дал профессор ключ-формулу для дальнейшего решения уравнения, а в благодарность синусу, он оставил в решении запись-напоминание о синусе.
(3x+Π/4)= (-1)narcsin(1/2)+ Πn, n€Z
arcsin(1/2) говорит, что его можно заменить значением Π/6.
«И правда,- подумала Лялечка,- ведь sin(Π/6)= 1/2».
Что же теперь получилось? А вот что:
3x+Π/4= (-1)nΠ/6+ Πn, n€Z
Выражение 3x говорит Π/4: «Иди в правую часть и сделай всё, что в твоих силах. Но не забудь поменять знак, чтобы там тебя приняли за «своего». Возьми волшебный посох». Как ни старался встать в запись правой части
(- Π/4), нигде ему нет места. Отчаялся, стукнул посохом и видит: бежит к нему знак «плюс». «Плюс» говорит: «Помогу я тебе. Живёт в правой части уравнения мой брат-близнец такой же, как и я, он нам поможет. Но запомни, что ты сам должен выбрать место, где будешь стоять». Было предложено три варианта: в начале правой части; в середине; в конце. Все эти места вполне законны. Но пожелал он стоять в начале. «Сему быть!»– сказал «плюс». Лялечка смотрела во все глаза и понимала, сейчас произойдёт то, к чему она должна была придти сама. И получилось вот что.
3x= -Π/4+ (-1)nΠ/6+ Πn, n€Z
И говорит x тройке: «Теперь твой черёд. Не торопись. Если ты меня умножала, то правую часть ты должна поделить. Дели каждое слагаемое правой части». И ушла тройка, и поделила правую часть. И решилось уравнение. Найдено много решений, их столько, сколько всех целых чисел. Это очень много. А записано решение в виде
x= -Π/12+ (-1)nΠ/18+ (Π/3)n, n€Z
«Я всё поняла! – воскликнула девочка,- Вот они корни уравнения». Но вдруг налетел сильный ветер, стало темно, ничего не стало видно, и раздался голос: «Я не позволю брать все корни. Ты не читала условие задачи. Там поставлено условие: корни должны принадлежать промежутку [0;Π]». «Я сделаю всё, что нужно»- сказала девочка. «А мы ей поможем».- сказал профессор. Все согласились. Буря стихла. Все взялись дружно за работу.
n подпрыгнуло, перевернулось и превратилось в 0. Тогда (-1)n превратилось в (-1)0=1. И в тетради записалось:
n=0, x= -Π/12+ (-1)0Π/18 = -3Π/36 + 2Π/36= -Π/36- не принадлежит промежутку [0;Π], не взяла девочка это значение в корзинку для ответов.
n принимало другие значения. Выражение (-1)n принимало значение, то
-1, то +1, в зависимости от того какое n нечётное или чётное соответственно. Всё происходило так быстро, что девочка только успевала проверять, принадлежит корень условию задачи или нет, и складывала нужные ответы в корзину.
n=1, x=-Π/12+ (-1)1Π/18+ (Π/3)1= -3Π/36+ (-1)2Π/36+ 12Π/36=7Π/36 - принадлежит промежутку [0;Π]
n=2 , x=-Π/12+ (-1)2Π/18+ (Π/3)2= -3Π/36+ 2Π/36+ 24Π/36=23Π/36 - принадлежит промежутку [0;Π]
n=3 , x=-Π/12+ (-1)3Π/18+ (Π/3)3= -3Π/36+ (-1)2Π/36+ 36Π/36=31Π/36 - принадлежит промежутку [0;Π]
n=4 , x=-Π/12+ (-1)4Π/18+ (Π/3)4= -3Π/36+ 2Π/36+ 48Π/36=47Π/36 – не принадлежит промежутку [0;Π]
Наконец, в корзину для ответов были помещены все корни, которые удовлетворяли условию задания. А в тетради было записано:
Ответ: 7Π/36; 31Π/36; 23Π/36
Читает Лялечка ответ в тетради, а сама думает: «Как странно, писать не пишу, а запись в тетради появилась?» Проснулась Лялечка, и окончательно поняла, что это всего лишь сон. Мелодия звучала уже другая, но на душе было удивительно хорошо. Она знала, что уравнение решит, и что она будет внимательной при решении. Лялечка взяла в руки тетрадь и написала красиво решение не только этого уравнения, но и всё домашнее задание, не забывая при этом писать буква «у» именно такой, какой она обычно писала: с закорючечками.
Основные порталы (построено редакторами)