ЛЕКЦИЯ 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
9.1 Определение определенного интеграла
Пусть функция 
определена на отрезке 
. Разобьем отрезок 
на 
произвольных частей точками
(рис.36).
Рисунок 36
В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку 
и вычислим значение функции в ней, т. е. величину 
, i = 1,2,…,n. Составим сумму произведений значений функции на длину частичного отрезка
,
получим
. (9.1)
Сумма (9.1) называется интегральной суммой функции 
на отрезке . Обозначим через 
длину наибольшего частичного отрезка
.
Если существует конечный предел интегральных сумм 
при 
, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается 
.
Таким образом,
. (9.2)
Числа 
и 
называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.
Теорема. Если функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
9.2 Основные свойства определенного интеграла
1. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный, т. е.
.
2. Определенный интеграл с равными нижним и верхним пределами равен нулю, т. е.
.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е.
, 
.
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых
.
5. Для любых чисел , и 
имеет место равенство
.
6. Если 
, то
.
7. Если 
, то
.
8. Если 
, a < b, то
,
где 
– соответственно наименьшее и наибольшее значения функции 
на отрезке .
9. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такое значение 
, что
.
10. 
11. 
.
12. Производная определенного интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.
.
13. Связь между неопределенным и определенным интегралами
.
14. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования
.
9.3 Формула Ньютона – Лейбница
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке 
и 
– любая ее первообразная на отрезке , то имеет место формула
.
Эта формула называется формулой Ньютона–Лейбница и ее можно записать в виде
.
Примеры.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
9.4 Замена переменной в определенном интеграле
Теорема. Пусть непрерывная функция на отрезке .
Если:
1) функция 
и 
непрерывны при 
;
2) множеством значений функции при является отрезок ;
3) 
и 
,
то
.
Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Замечания.
1. Часто вместо подстановки применяют подстановку 
.
2. При замене переменной нужно поменять пределы интегрирования.
3. При вычислении определенного интеграла методом замены переменной не надо возвращаться к старой переменной.
Пример 9.1. Вычислить 
.
Решение.
.
9.5 Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Теорема. Если функции 
и 
имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула:
.
Доказательство.
Т. к.
,
то 
является первообразной для 
, тогда
или
,
отсюда
.
Пример 9.2. Вычислить 
.
Решение.
.
Пример 9.3. Вычислить 
.
Решение.
.
Основные порталы (построено редакторами)