Олимпиадные задачи по арифметике
Решения
1. Сравнить числа: 
и 
.
Решение.
Извлечем корень четвертой степени и увидим, что
Ответ: 
.
2. Сравнить числа: 
и 
.
Решение.
Воспользуемся тем, что числа 
и 
находятся близко к степеням двойки.
Ответ: 
.
3. Сравнить числа: 
и 
.
Решение.
Найдем отношение второго числа к первому:
Все зависит от того, больше или меньше единицы это отношение.
Учитывая, что 
получим, что 
, откуда следует, что 
.
Так как 
, то 
. Поэтому 
. Значит, 
.
Ответ: .
4. Сравнить числа: 
и 
.
Решение.
Обозначим число в числителе через 
. Запишем дробь 
:
Тогда:
Отсюда видно, что чем больше , тем меньше . Значит, первая дробь больше.
Ответ: первая дробь больше.
5. Сравните с единицей число 
.
Решение.
Обозначим 
. Тогда 
и
Так как 
, то 
, значит 
. 
, значит
Ответ: выражение меньше единицы.
6. Найти последнюю цифру числа 
.
Решение.
Предварительно найдем последние цифры уменьшаемого и вычитаемого.
Заметим, что все числа вида 
, заканчиваются цифрой 9 и все числа вида 
, заканчиваются цифрой 1. Поэтому последняя цифра числа 
– 9-ка.
Заметим, что все числа вида 
, заканчиваются цифрой 8; вида 
, заканчиваются цифрой 4; вида 
, заканчиваются цифрой 2; вида 
, заканчиваются цифрой 6.
Иначе говоря, число вида 
заканчивается той же цифрой, что число 
.
Поэтому последняя цифра числа 
– 2-ка.
Значит, разность имеет вид: 
Ответ: 7.
7. Число 
разложили в бесконечную десятичную дробь. Затем вычеркнули 2008-ю цифру после запятой, а все цифры, стоящие справа от вычеркнутой цифры, сдвинули на одну позицию влево. Какое число больше: новое или первоначальное?
Решение.
Число 
представляется в виде периодической десятичной дроби. Период начинается со второй цифры после запятой и состоит из шести цифр 
. Так как 2007 (берем на одну цифру меньше, так как период начинается со второй цифры) при делении на 6 даёт остаток 3, то 2008-я цифра записанного числа такая же, что и третья из указанного периода, то есть 8, а следующая – нуль. Значит. Первоначальное число было больше.
Ответ: первоначальное.
8. Найти значение выражения 
, если 
(всего 2010 5-к), 
(2009 3-к).
Решение.
Пусть 
(2010 1-ц). Тогда 
. Значит,
(2009 4-к).
Ответ: 
(2009 4-к).
9. Даны цепные дроби:
Докажите, что 
.
Решение.
Пусть
.
Имеем:
10. Каких чисел больше среди чисел от 100 до 999 – тех, у которых средняя цифра больше обеих крайних, или тех, у которых средняя цифра меньше обеих крайних?
Решение.
Назовем для удобства «горками» числа, у которых средняя цифра больше обеих крайних, и «ямками» – числа у которых средняя цифра меньше обеих крайних.
Каждому трехзначному числу поставим в соответствие «дополнительное число» 
. Очевидно, каждая цифра числа 
дополняет до девяти соответствующую цифру числа , поэтому если – «горка», то – «ямка» и наоборот. Все числа от 100 до 899 разбиваются на пары взаимно дополнительных чисел, а значит, среди них имеется одинаковое число «горок» и «ямок». Среди чисел от 900 до 999 нет ни одной «горки», но есть «ямки» (например, число 924). Поэтому среди чисел от 100 до 999 «ямок» больше, чем «горок». Таким образом, больше будет чисел, у которых средняя цифра меньше обеих крайних.
Ответ: больше будет чисел, у которых средняя цифра меньше обеих крайних.
11. Какое из чисел больше: 
или 
.
Решение.
Введем обозначение: 
. Теперь нужно сравнить числа: 
и 
. Заметим, что:
Перемножим эти неравенства:
Ответ: 
.
12. Что меньше: 
или 
?
Решение.
Найдем суммы чисел 
и 
, 
и 
, 
и 
:
…………..
Так как 
, то
Ответ: 
.
13. Доказать, что 
.
Решение.
Очевидно, что
Каждую дробь вида 
можно представить в виде разности дробей 
и 
:
Тогда
14. Докажите, что 
.
Решение.
Положим 
. Ясно, что 
. Следовательно, 
.
Рассмотрим произвольное слагаемое ряда:
Получим
Значит,
15. Известно, что значение бесконечной суммы 
(числа, обратные квадратам чисел натурального ряда) равно 
. С учетом этого результата найдите значение суммы 
(числа, обратные квадратам нечетных чисел натурального ряда).
Решение.
Обозначим 
. Тогда
Отсюда получаем:
Ответ: 
16. Докажите, что число 
а) меньше 
; б) меньше 
; в) больше 
.
Решение.
Пусть 
, 
.
a) Ясно, что 
. 
.
, поэтому 
.
б) Аналогично докажем, что 
.
Значит, 
.
в) Ясно, что 
, 
, 
.
17. Подряд выписаны числа 
и 
. Сколько всего выписано цифр?
Решение.
Пусть число содержит 
цифр, число содержит 
цифр. Тогда справедливы неравенства:
(неравенства строгие, поскольку степень двойки или пятерки не равна степени десятки)
Перемножим неравенства и получим:
Показатель 
заключен между выражениями
Отсюда: 
, это и есть количество цифр чисел и .
Ответ: 1990.
18. Сравнить числа
Решение.
Докажем, что данные числа равны. Покажем сначала, что 
Показали, что оба числа неотрицательны.
Возведем оба числа в квадрат, затем оба умножим на 9. Получим числа
Можем представить 9-ку следующим образом:
Левая часть:
Правая часть:
Приведем второе слагаемое правой части к такому виду, чтобы у него был общий множитель с левой частью:
Перенесем второе слагаемое правой части в левую часть и вынесем общий множитель:
Прибавим и вычтем во второй скобке 
и воспользуемся формулой разности кубов:
В правой части оставалось:
Разделим обе части на 
:
Левая часть:
Правая часть:
Левая и правая части равны.
Ответ: числа равны.
19. Каковы первые четыре цифры числа 
?
Решение.
Обозначим 
.
Докажем, что прибавление числа не изменит первые четыре цифры числа 
.
Проведем оценку:
___________________________________________________________
Как посчитать сумму 
?
Обозначим:
Тогда
Отнимем от второго выражения первое:
_____________________________________________________________
Мы получили
Разделим число на каждую часть неравенства и получим:
Значит, 
. И прибавление не изменит первые четыре цифры числа .
_____________________________________________________________
Как получить 
Здесь мы воспользовались неравенством Бернулли:
Если 
, то для любого 
_____________________________________________________________
Ответ: 1000.
Основные порталы (построено редакторами)