НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СКОРОСТИ ИОНИЗАЦИИ В ПРИКАТОДНОЙ ОБЛАСТИ ТЛЕЮЩЕГО РАЗРЯДА.
И.1, А.2
1Санкт-Петербургский государственный университет, Россия, Санкт-Петербург, Университетская набережная,7-9, 199034, *****@***ru
2Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н.Туполева – КАИ, Россия, Казань, .
В настоящее время тлеющий разряд нашел широкое применение во многих областях науки и техники. Однако до сих не решена проблема учета нелокальной зависимости скорости ионизации в прикатодной области при моделировании структуры тлеющего разряда, в связи с чем появляются все новые публикации [1, 2, 6, 8], посвященные данном вопросу. Весомый вклад в понимание физики процессов, происходящих в прикатодной области разряда, сделан в работах [1, 2, 3].
В классической литературе в большинстве случаев скорость ионизации 
определяется в зависимости от локального значения напряженности электрического поля E(x) [3 и др]. Такая зависимость, вообще говоря, следует из решения кинетического уравнения для функции распределения электронов при однородном распределении электрического поля [1]. Однако в прикатодной области поле резко неоднородно, причем степень неоднородности может быть такой, что изменение поля на длине свободного пробега заряженной частицы сравнимо с величиной поля. Двигаясь в таком поле, электрон набирает энергию, которая отлична от энергии, соответствующей локальному значению напряженности электрического поля E(x) и должна быть не меньше пройденной им разности потенциалов, то есть ионизационные процессы, должны превосходить равновесные значения, соответствующие локальному полю E(x).
Для того чтобы учесть влияние неоднородного электрического поля на скорость ионизации запишем стационарное одномерное кинетическое уравнение для функции распределения электронов в двучленном приближении в переменных – полная энергия 
, координата 
[1, 5]:
| (1) |
,Здесь 
– изотропная часть функции распределения, 
– скорость электрона, 
– коэффициент диффузии по энергии во внешнем электрическом поле, 
– потери энергии при упругих ударах, 
– частота неупругих столкновений, 
– коэффициент пространственной диффузии для электронов с кинетической энергией 
, 
– длина свободного пробега электрона. Все остальные функции от считаются зависящими от 
согласно 
. Анализ функции распределения электронов в неоднородных полях был проделан в работах [5 и др.]. Стоит отметить работы [6 и др.], посвященные выводу интегрального источника ионизации из кинетического уравнения.
Сделаем следующие упрощения:
1. Сечение упругого столкновения не зависит от кинетической энергии 
, а сечение неупругого столкновения определяется аппроксимацией, пригодной для использования в широком диапазоне энергий [1]:
| (2) |
,где 
− число валентных электронов, 
− энергия электрона, 
− энергия ионизации. Тогда частоты упругих и неупругих столкновений определяются, соответственно: 
, 
,
где 
– концентрация нейтральных частиц, 
– сечение упругого столкновения, 
– сечение неупругого столкновения.
2. Характерный масштаб пространственной неоднородности больше по сравнению с расстоянием 
, на котором электрон набирает среднюю энергию 
.
3. Потери электронами энергии при упругих столкновениях с нейтральными частицами газа малы по сравнению с потерями энергии при неупругих столкновениях. При этом будем предполагать, что величина передаваемой энергии 
сравнима по величине с конечной энергией электрона .
4. Распределение напряженности электрического поля в прикатодном слое тлеющего разряда имеет линейный вид.
Тогда уравнение (1) перепишется в виде:
| (3) |
.Граничные условия для уравнения (3) состоят в требовании ограниченности решения при 
и 
, где 
определяется из условия 
. Решение (3), представим с помощью функции Грина 
в виде:
| (4) |
.
определяется произведением 
функций 
и 
, которые являются решением однородного уравнения, соответствующего (3) при граничных условиях 
и , соответственно, и на которые накладываются условие непрерывности по переменной в точке 
и условие на скачок производной:
| (5) |
и 
.Определим вид функции 
. Пусть – средняя энергия электрона на длине свободного пробега
; 
– среднее значение напряженности электрического поля на 
. Учитывая, что 
, выражение для средней энергии электрона можно записать следующим образом 
. Тогда уравнение (3) примет вид:
| (6) |
.Решение (6) может быть представлено спецфункциями класса Гойна (Heun):
| (7) |
,где 
, 
, 
.
При этом при 
| (8) |
,где 
легко определяется из (5).
Из условия, что величина передаваемой энергии сравнима по величине с конечной энергией электрона , при которой происходит ионизации нейтральных частиц, следует, что правая часть (3) является функцией, которая локализована вблизи точки 
, а вне этого интервала, пренебрежимо мала по сравнению с остальными слагаемыми в (3), следовательно, основной вклад в интеграл (4) дает концевая точка 
, тогда асимптотическое поведение функции 
при 
можно определить выражением
| (9) |
.При этом в области, где справедливо такое представление 
имеет квазиклассический вид (приближение Венцеля-Крамерса-Бриллюэна) [4]:
| (10) |
,где 
. Таким образом, с учетом (8) и (10), и вводя обозначение
|
,выражение (9) примет вид 
. Принимая во внимание условие 4, среднее значение напряженности электрического поля 
на интервале 
, соответствующем длине пробега электрона 
(индекс 
– ионизационный пробег, 
– свободный пробег), определим следующим образом [7,8]:
| (11) |
, 
.Учитывая 
, в выражении для функции распределения электронов перейдем от интегрирования по координате к интегрированию по энергии:
| (12) |
.Величина скорости ионизации, как известно [1,4 и др.], определяется путем усреднения: 
. Тогда, вводя обозначение 
, получим:
| (13) |
.Из последнего выражения видно, что структура скорости ионизации в случае неоднородного распределения напряженности электрического поля схожа c (1) с тем различием, что в показателе экспоненты, величина локального поля заменяется его средним значением на длине ионизационного пробега электрона, а в предэкспоненциальном множителе – средним значением на длине свободного пробега электрона от точки предыдущего ионизационного столкновения. Для удобства применения в практических расчетах по распределению параметров плазмы тлеющего разряда на основе fluid - приближения, скорость ионизации 
определим как функцию от среднего значения напряженности электрического поля 
на длине пробега электрона [7,8]:
| (15) |
,где 
, 
− коэффициент Таунсенда и дрейфовая скорость электронов, зависящие от среднего значения напряженности электрического поля на длине пробега электрона.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. и др. Физика тлеющего разряда: учебное пособие / А., А. С.Смирнов, Л. Д.Цендин – Спб. Лань, 2010. – 512 с.
2. А., В., Д. Роль нелокальной ионизации в формировании коротких тлеющих разрядов // ЖТФ. – 2008. – Т. 78. – C.71-82.
3. П. Физика газового разряда. – М.: Наука, 1992. – 538 c.
4. Boeuf J. P., Davies A. G., Evans J. G., Marode, Segur P. A. Selfconsistent macroscopic model of the glow discharge. // J. Int. Conf Gas Discharges and Appl. London. – 1982. – pp. 367-370.
5. Д. Функция распределения электронов в слабоионизированной плазмы в неоднородных электрических полях: большие поля; баланс энергии определяется неупругими соударениями // Физика плазмы. – 1982. – Т. 8. – № 2. – С. 400-409.
6. Gorin V. V. Non-local model of hollow cathode and glow discharge – theory calculations and experiment comparison Eur Phys J D (Vol 59) pp 241-247.
7. Saifutdinov A. I. Drift model of a glow discharge with account for the nonlocal value of the electric field strength in the ionization source / Saifutdinov A. I., Timerkaev B. A. // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. – 2012. – V. 85. – № 5. – pp. 1202-1207.)
8. Sayfutdinov A. I. An analytical derivation of non-local dependece of ionazation
rate in the glow discharge // Journal of Physics: Conference Series 479 (2013) 012016.
Основные порталы (построено редакторами)