Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
§ 5. Операции над вероятностями.
Так же, как и над случайными событиями, над их вероятностями можно выполнять операции сложения и умножения. Выясним, что это за операции и как их выполняют. Мы будем рассматривать операции над вероятностями в рамках классического определения.
n. 1. Вероятность суммы двух событий
Пусть события А и В несовместны, т — число равновозможных элементарных событий, благоприятных событию А, к - число таких событий, благоприятных событию В, п — общее число равновозможных элементарных событий, образующих полную группу попарно несовместных событий. В силу классического определения вероятности Р(А) =
, Р(В) =
. Согласно определению суммы событий, событие
А + В имеет место, когда происходит событие А или событие В. Поскольку А и В несовместны, число элементарных событий, благоприятных А + В, равно т + к, поэтому
P(A+B)= 
Последнее равенство легко обобщить на любое конечное число попарно несовместных событий. Данный факт обычно формулируется в виде следующей теоремы.
Т.1. Теорема (о сумме вероятностей попарно несовместных событии):
Вероятность суммы попарно несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий.
P(A+B)=P(A)+P(B) (1)
Покажем, как используется факт, сформулированный в приведенной выше теореме, при решении конкретных задач.
Пример: В лотерее выпущено 10 000 билетов и установлено 10 выигрышей по 200 рублей, 100 выигрышей по 100 рублей, 500 выигрышей по 25 рублей и 1000 выигрышей по 5 рублей. Какова вероятность того, что человек, купивший билет, выиграет не менее 25 рублей?
Решение:
Пусть событие А — «человек выиграл не менее 25 рублей», событие А1 — «выигрыш составил 200 рублей», событие А2 — «выигрыш составил 100 рублей», событие А3 — «выигрыш равен 25 рублям». Поскольку куплен один билет, то А = А1+ А2 + А3, причем Аи А2 и А3 — события попарно несовместные (любые два события не могут произойти одновременно). Следовательно, P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
Рассмотрим, будет ли верна эта теорема для произволъных (не обязательно несовместных) событий?
Попробуем решить другую задачу.
Бросаем две монеты. Чему равна вероятность выпадения хотя бы одного орла?
Пусть событие А - «выпадение орла при подбрасывании первой монеты», событие В - «выпадение орла при подбрасывании второй монеты». Требуется найти вероятность события С = А + В.
Но в этом случае P(С)=Р(А) + Р(В), так как А и В не являются несовместными: они могут произойти одновременно. Легко видеть, что Р(А) =
, Р(В) = , но Р(С)
1 (событие С не является достоверным). Значит, формула (1) не может быть применена. Вычислим Р(С). При бросании двух монет могут произойти следующие 4 события, образующие полную группу попарно несовместных событий:
-выпадание двух орлов,
-выпадание двух решек,
-выпадание орла на первой монете и решки на второй,
-выпадание решки на первой монете и орла на второй.
Благоприятными для С являются 3 события (они выделены курсивом), следовательно, Р(С)= 3/4.
Результат решения последней задачи показывает, что формула (1) не применима, если события А и В могут происходить одновременно.
В этом случае необходимо воспользоваться теоремой о вероятности суммы любых двух совместных событий.
Т.2. Теорема (о сумме вероятностей двух совместных событий).
Вероятность суммы любых двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В) (2)
Покажем применение формулы при решении следующей задачи.
Бросаем две игральные кости. Вычислим вероятность выпадания хотя бы одной шестерки.
Решение: Пусть событие А - «выпадание шестерки на первой кости»,
событие В - «выпадание шестерки на второй кости». Мы хотим вычислить вероятность события А + В. Очевидно, что Р(А) = ,
Р(В) = , а вероятность их совместного проявления Р(АВ) = . Согласно формуле (2) Р(А + В) = Р(А) + P(В)-P(АВ) = + - = .
Аналогично находятся суммы вероятностей любых трех и более событий.
Основные порталы (построено редакторами)