Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Задание 1
1. Определить действительную и мнимую части комплексного числа:
.
Решение
является действительной частью, 
- мнимой комплексного числа 
.
Приведем число 
к общему виду, для этого числитель и знаменатель числа умножим на комплексное число 
:
Т. к. 
, то 
Т. о. получили 
- действительная часть заданного числа, 
- его мнимая часть.
2. Решить уравнение:
.
Решение
Решим уравнение относительно комплексного числа .
Извлечем корни из комплексных чисел:
1) 
, где 
;
.
Поскольку 
, то 
находим по формуле:
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа 
:
.
Извлекаем корни по формуле:
, где 
.
При 
:
.
При 
:
.
При 
:
.
2) 
, где 
;
.
Поскольку 
, то 
находим по формуле:
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа :
.
Извлекаем корни по формуле:
, где .
При :
.
При :
.
При :
Итак, получили 6 решений исходного уравнения:
3. По условиям Даламбера-Эйлера доказать аналитичность функции и найти ее производную:
.
Решение
Запишем условие Даламбера-Эйлера: 
, где 
- вещественная и мнимая части функции 
: 
.
Проверяем выполнение этих условий:
Следовательно, 
.
Т. о. функция является аналитической.
Производная 
может быть записана по одной из следующих формул:
4. найти аналитическую функцию 
, действительная часть которой равна 
Решение
Дана действительная часть 
аналитической функции 
.
1) Проверим, что функция 
является гармонической, для которой выполняется равенство: 
.
- функция является гармонической.
2) Найдем мнимую часть 
:
3) Запишем функцию:
.
Преобразуем найденное выражение к функции от .
.
Отсюда,
где 
- действительная постоянная, или 
, где 
- комплексная постоянная.
5. Вычислить, используя основную теорему о вычетах:
,
где 
- окружность, 
.
Решение
Теорема о вычетах: 
, где является аналитической по границе 
в области 
и всюду внутри области, за исключением конечного числа особых точек 
.
- вычет 
в точках 
.
1) 
, особая точка 
; область ограничена окружностью (окружность с центром в начале координат и радиусом равным 2).
.
2) Найдем вычет в точке 
. Для этого выясним тип точки :
. Следовательно, - полюс.
можно записать в виде 
где 
, 
. Таким образом, - полюс третьего порядка.
3) Если 
- полюс порядка 
функции , то вычет 
можно найти по формуле: 
.
Тогда при и 
:
4) 
Следовательно, 
6. Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
,
где - окружность, 
.
Решение
Теорема о вычетах: 
, где является аналитической по границе в области и всюду внутри области, за исключением конечного числа особых точек .
- вычет в точках .
1) 
.
Особые точки :
Окружность : - окружность с центром в точке 
и радиусом 
.
Точки 
, попадают в область, ограниченную окружностью . А точки 
в эту область не попадают.
Следовательно,
2) Выясним тип особых точек:
- полюс.
- полюс первого порядка.
- полюс.
- полюс первого порядка.
- полюс.
- полюс первого порядка.
3) Найдем вычеты по формуле:
- полюс первого порядка.
4) Имеем: 
Следовательно, 
.
7. Исследовать сходимость ряда:
.
Решение
Ряд 
, где 
, сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда: 
и 
.
Исследуем сходимости рядов и :
1) 
.
Исследуем сходимость с помощью интегрального признака.
а) При 
, т. к. 
и 
.
б) При 
непрерывна.
в) 
.
при достаточно больших 
.
Следовательно, 
- функция убывает.
Все условия интегрального признака выполнены. Ряд 
одновременно сходится, либо расходится с интегралом 
. Исследуем сходимость этого интеграла:
Получили, 
, т. е существует конечный предел, равный 1 - интеграл сходится. Значит, ряд также сходится.
2) 
- ряд знакочередующийся.
Т. к. 
и 
, то общий член ряда монотонно убывает по модулю. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем абсолютную сходимость, для этого рассмотрим ряд 
Ряд из модулей - гармонический расходящийся ряд.
Значит, ряд 
сходится условно.
3) Получили, что ряд сходится и ряд сходится условно. Значит, исходный ряд сходится условно.
8. Найти и построить круг сходимости:
.
Решение
Найдем радиус сходимости степенного ряда:
- радиус сходимости ряда, следовательно, 
- круг сходимости ряда.
Т. к. 
, то - круг с центром в точке 
радиуса .
Сделаем чертеж:
Основные порталы (построено редакторами)