Творческие задания по математике на лето 2015 года.
Математика 4-5 класс.
1. Докажите, что для любого натурального п число п3-1 не является степенью числа 2.
2. Докажите, что для любого натурального п число 
является целым.
3.Найдите 
.
4. Найдите все такие пары неравных двузначных (то есть, не меньше 10) натуральных чисел, если сумма остальных (всех, кроме этих двух) двузначных чисел в 50 раз больше от одного из чисел этой пары.
5. Десятичная запись произведения некоторых 25 натуральных чисел заканчивается на 25. Докажите, что среди этих чисел можно выбрать три числа так, что десятичная запись их произведения также заканчивается на 25.
6. Целые числа х, у, z такие, ху + у z + Zх = 1. Докажите, что число(1+х2)(1+у2)(1+ z2) является квадратом целого числа.
7. Найдите все такие тройки отрицательных чисел х, у, z, что
8. В школе учится 450 учеников. Они сидят по двое за 225 партами так, что ровно половина всех девочек сидят с мальчиками. Докажите, что их нельзя пересадить (за те же 225 парт) так, чтобы ровно половина всех мальчиков школы сидела с девочками.
9. Числа х, у, z удовлетворяют равенство
х+у+ z+4ху z =2(ху+у z+ zх)+
.
Докажите, что одно из этих чисел равно .
10. Найдите последнюю цифру десятичной записи числа 
11. Решите уравнения введением новой переменной.
1). (х-4)(х-5)(х-6)(х-7)=1680.
2).(х2+2х)-11(х+1)2 +35=0.
3). 
4).(2х2 +3х-1)2 -10х2 -15х+9=0
5). х2 -4х-6=
6). х2 -2
=3х+4.
12. Решите уравнение 1) Х3+
=0.
14. Решите уравнение с параметром.
1). х2-2(а-1)х+(2а+1)=0
2). (а-3)х2 -2(3а-4)х+7а-6=0
3). х4-(4в2+1)х2+4в2=0
4). х+ 
5). 
=а+1.
15. Постройте график функции а) у=
б) у=
16. Геометрические задачи.
1) В выпуклом четырехугольнике ABCD точки P и G - середины сторон AB и CD соответственно. Докажите, что PG <(AC + BD).
2) Пусть Е-середина стороны АВ равностороннего треугольника АВС. В плоскости этого треугольника отметили точку К так, что треугольник СКЭ является равносторонним, а точки В и К лежат по одну сторону от прямой СЕ. Докажите, что прямые АС и ВК параллельны.
3) В середине заданного прямого угла движется заданный прямоугольный равнобедренный треугольник АВС (
С = 90) так, что точка А скользит вдоль одной стороны треугольника, точка В - вдоль другой. Найдите все возможные положения точки С.
4) Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике АВСД СВD = САВ и АС D = ВDА, то АВС = АDС.
5) Пусть АF - медиана треугольника АВС, D-середина автофокуса, Е-точка пересечения прямой СВ со стороной АВ, ВД = BF = CF. Доказать, что АЕ = DЕ.
6) Пусть АD диаметр описанной окружности четырехугольника АВСД. Точка Е симметричная точке А относительно середины отрезка ВС. Докажите, что прямые DЕ и ВС перпендикулярны.
Логические задачи. 1) Клетки квадрата размером 100100 окрашены в черный и белый цвета так, что в любом прямоугольнике размером 1 
2 является хотя бы одна черная клетка, а в любом прямоугольнике размером 16 является две черные клетки, которые имеют общую сторону. Какое наименьшее число черных клеток может быть в этом квадрате?
2) Существует выпуклый 12-угольник, который можно разрезать на конечное число квадратов и равносторонних треугольников?
Такой же вопрос относительно выпуклого 11-угольника.
3) В ряд выписали 40 попарно различных положительных чисел, каждое из которых меньше 1. Сумма чисел, стоящих на местах с четными номерами, на 1 больше суммы чисел, стоящих на местах с нечетными номерами. Докажите, что среди записанных чисел найдется такое, которое меньше обоих своих соседей.
4) Среди 18-ти деталей, расположенных в ряд, некоторые три, стоящих подряд, весят 99 грамм, а все остальные-по 100 грамм. Двумя взвешиваниями на весах, показывающие результат взвешивания в граммах, найдите все 99-ти граммовые детали.
5) 40 внешне одинаковых монет, среди которых 2 фальшивые, причем они легче настоящих и весят одинаково. Как с помощью двух взвешиваний на лабораторных весах без гирь отобрать 20 настоящих монет?
6) Можно ли в таблицу размером 33 так я записать числа 3, 4, 5, .... 9, 10, 11, чтобы произведение чисел первой строки был равным произведения чисел первого столбика, произведение чисел второй строки был равным произведения чисел второго столбца и, наконец, произведение чисел третьей строки был равным произведения чисел третьего столбика?
7) Дано одну кучу с 2001-го спички. Двое играют в следующую игру. Они по очереди делают такие ходы: выбирается произвольная куча, содержащий больше одной спички и делится на две меньше. Игра продолжается до тех пор, пока каждая куча НЕ БУДЕТ состоять из одной спички. После каждого деления кучи на две записывается произведение количеств спичек в полученных двух новых кучах. Цель игрока, ходит первым, сыграть так, чтобы сумма всех записанных чисел делилась нацело на 1000. Может второй игрок ему помешать?
8) Задумали два натуральных числа. Математику А сообщили их сумму, а математику В - сумму их квадратов. Если А и В обменяются своей информацией, то они, наверное, определят эти числа. Но они определили их в процессе такого разговора:
В: «Я не знаю, какие это числа».
А: «Их сумма больше десяти»
В: «Тогда я знаю, какие это числа».
Найдите и вы эти числа.
Решение задач оформить в отдельной тетради на первое сентября
Основные порталы (построено редакторами)