УДК 532.5: 551.465: 551: 511

Л. Х.Ингель

РАЗВИТИЕ ТУРБУЛЕНТНОЙ КОНВЕКЦИИ

ПО ОБЕ СТОРОНЫ ОТ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ВОДА-ВОЗДУХ

Предложена нелинейная аналитическая модель для расчета развития турбулентной конвекции, возникающей у границы раздела вода-воздух в ситуациях, когда воздух холоднее воды.

В настоящей заметке теоретически исследуется турбулентная конвекция, возникающая в двухслойной системе вода-воздух в ситуациях, когда верхняя среда (воздух) – существенно холоднее нижней. В природе такие ситуации достаточно распространены и представляют значительный интерес. Они возникают, например, после быстрого выпадения холодных осадков над водоемом. Ввиду относительно малой теплоемкости воздуха, он может при осадках охлаждаться значительно сильнее, чем вода. Обе среды в таких случаях оказываются неустойчиво стратифицированными: воздух нагревается снизу, вода охлаждается сверху. Поэтому в обеих средах может возникать интенсивная конвекция. Значения соответствующих критериев Релея могут быть достаточно большими, что соответствует турбулентному характеру конвекции. Теоретическое описание подобных процессов, вообще говоря, очень затруднено.

В случае турбулентной конвекции в одной среде, в свое время удалось продвинуться, используя полуэмпирическую теорию турбулентности в форме Колмогорова-Монина и соображения размерности и подобия [1]. В дальнейшем эти результаты были развиты и получили некоторое экспериментальное подтверждение [2 - 6]. В настоящей заметке эти результаты обобщены на простейший случай двух взаимодействующих сред.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Рассматриваем ситуацию, когда в начальный момент времени обе среды по отдельности стратифицированы нейтрально, причем воздух холоднее воды. Предполагается, что температура воды выше температуры ее максимальной плотности. В обеих средах, очевидно, должна возникнуть конвекция. По мере проникновения термических возмущений от границы раздела вглубь каждой из сред, растут значения эффективных чисел Рэлея в этих средах. Следовательно, через какое-то время конвекция должна стать турбулентной.

Вертикальный перенос тепла турбулентной конвекцией можно описывать, вводя эффективные коэффициенты турбулентного обмена в каждой из сред (индексы относятся к воздуху и воде соответственно). Выражения для этих коэффициентов, параметризующих конвективный теплообмен, можно получить, используя полуэмпирическую теорию турбулентности, либо соображения теории подобия [1]:

, при . (1)

Здесь координата направлена вертикально вверх, - средняя по горизонтали температура (в воздухе - потенциальная температура), - коэффициент термического расширения среды, - ускорение свободного падения, - масштаб турбулентности, зависящий, вообще говоря, от и времени .

В простейших моделях предполагается, что масштаб турбулентности в каждой из сред пропорционален толщине турбулизованного слоя [7], например,

. (2)

Здесь - глубина проникновения турбулентной конвекции в нижнюю среду, - безразмерная постоянная, которая не может быть найдена в рамках данной теоретической схемы. Вместо (2) могут быть рассмотрены и более общие гипотезы, учитывающие и зависимость от [1]. Эволюция осредненного по горизонтали поля температуры в каждой из сред описывается уравнением теплопроводности

. (3)

которое, с учетом (1), существенно нелинейно. Некоторые автомодельные задачи о развитии конвекции в одной полуограниченной среде решены в [1] (см. также [5, 6]). Настоящий случай сложнее, поскольку речь идет о двух взаимодействующих средах. Определяющих размерных параметров в этой задаче слишком много, чтобы можно было непосредственно воспользоваться соображениями размерности.

Вдали от границы раздела потенциальная температура стремится к постоянным значениям и (первое больше второго). На границе раздела должно выполняться условие равенства средних по горизонтали потоков тепла:

(4)

где и - плотность и удельная теплоемкость соответственно.

Будем искать автомодельное решение поставленной задачи. Нетрудно видеть, что в таком решении значение потенциальной температуры на границе раздела, которое обозначим , не должно зависеть от времени. Действительно, если бы зависела от времени, это означало бы, что в одной из сред полный вертикальный перепад температуры растет, в то время как в другой – убывает, что противоречит предположению о подобии процессов в каждой из сред. Этот же вывод можно получить и более формально. Если в каждой из сред искать решения со степенными зависимостями амплитуды от времени, то эти решения могут "сшиваться" при , только если показатели упомянутых степеней равны нулю, т. е. температура на границе раздела не зависит от времени.

Но если температуру на границе раздела можно при считать постоянной, то для каждой из сред получаем вариант известной задачи о сильных тепловых волнах (см., например, [7]). Например, в верхней среде ищем решение в виде

(5)

где - безразмерная постоянная. Универсальная функция должна удовлетворять граничным условиям

. (6)

Из (1) – (3) и (5) для нее получаем нелинейное уравнение в обыкновенных производных

где введена переменная

Последнее уравнение имеет, прежде всего, тождественно нулевое решение. Если искать ненулевые решения, то, сократив на , получаем уравнение с разделяющимися переменными. Интегрирование дает

, (7)

где - постоянная интегрирования. Проинтегрируем (7) с учетом граничного условия (6). Нетрудно проверить, что решение удовлетворяет всем необходимым условиям при выборе . Оно имеет вид

при . (8)

При это решение "сшивается" с тождественно нулевым. Отсюда следует

Решение для нижней среды выглядит аналогично. Осталось найти значение температуры на границе. Это легко сделать, воспользовавшись (4), откуда следует

. (9)

Если , то отношение (9) составляет около 0.06. Безразмерный профиль потенциальной температуры в воздухе изображен на рисунке. Профиль температуры в воде подобен. Но изобразить последний в том же масштабе не представляется возможным: полный вертикальный перепад температуры в воде, как следует из приведенной оценки, более чем на порядок меньше, чем в воздухе, а толщины конвективных слоев различаются более, чем на два порядка:

Несмотря на убывание со временем вертикальных градиентов температуры, поток тепла через границу раздела, как нетрудно видеть, линейно растет со временем. Поэтому решение в каждой из сред оказалось, с точностью до безразмерных постоянных, совпадающим с одним из решений работы [1], а именно – с решением задачи, где на горизонтальной границе считался заданным поток тепла, линейно растущий со временем.

Рассмотренная теоретическая схема не учитывает явной зависимости масштаба турбулентности от , а также молекулярной вязкости и теплопроводности, радиационных эффектов и фазовых переходов на границе раздела. Поэтому она не может претендовать на описание тонких особенностей температурных профилей в близкой окрестности границы раздела.

Итак, турбулентная конвекция в рассматриваемой модели распространяется в обе стороны от границы раздела подобно нелинейным "сильным тепловым волнам" с четко выраженным передним фронтом и скоростью, зависящей от амплитуды.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Н., Х. Нелинейные тепловые волны от горизонтальных источников в нейтрально стратифицированной среде // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1982. Т.18, №3. С.233-239.

2. И., Ю. Закономерности проникающей турбулентной конвекции в стратифицированной жидкости // Океанология. 1983. Т.23, №5. С.743‑752.

3. Ю., Х. Об автомодельных режимах нестационарной турбулентной конвекции // Океанология. 1983. Т.23, №6. С.944‑949.

4. И., Г. Лабораторное моделирование проникающей конвекции при импульсном охлаждении // Океанология. 1983. Т.23, №6, С.950‑953.

5. Н. Автомодельность и распространение верхней границы конвективных термиков в нейтрально стратифицированной атмосфере, вызванное точечными, линейными и плоскими источниками тепла // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1998. Т.34, №4. С.557-563.

6. Н. О распространении верхней границы конвективной области в однородной среде при воздействии точечных, линейных и плоских источников тепла и импульса // Изв. РАН. МЖГ. 2001. №3. С.90-101.

7. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982.

Подпись к рисунку

к статье Л. Х.Ингеля

"Развитие турбулентной конвекции по обе стороны от границы раздела вода-воздух"

Рис.1. Безразмерный профиль потенциальной температуры в воздухе.

L. Kh. Ingel

A DEVELOPMENT OF TURBULENT CONVECTION

ON BOTH SIDES AT WATER-AIR INTERFACE

There is supposed a nonlinear analytical model for calculation a development of turbulent convection occurring at water-air interface in the situations when the air is colder than water.

Краткие сведения об авторе

, 1946 г. рождения.

Доктор физ.-мат. наук, заведующий сектором ГУ "Научно-производственное объединение "Тайфун", 249038, г. Обнинск, Калужской обл., пр. Ленина, 82

Области научных интересов: геофизическая гидродинамика, теория конвекции, гидродинамическая неустойчивость, взаимодействие атмосферы и океана, опасные гидрометеорологические явления

Служебный адрес

249038, г. Обнинск Калужской обл., просп. Ленина, 82,

ГУ "Научно-производственное объединение "Тайфун"

Тел. (48439) 7-13-21

Домашний адрес:

249038, г. Обнинск Калужской обл., ул. Мира, .

Тел./

E-mail: *****@***com

Обозначения

- безразмерная постоянная; индекс относится к воздуху; - постоянная интегрирования, безразмерная; - удельная теплоемкость среды, Дж/кгК; - универсальная функция, безразмерная; - ускорение свободного падения, м/с2; - глубина проникновения турбулентной конвекции в среду, м; - эффективный коэффициент турбулентного обмена, м2/c; - масштаб турбулентности, м; - безразмерная постоянная, - время, с; индекс относится к воде; (безразмерная переменная); координата (м) направлена вертикально вверх; - коэффициент термического расширения среды, К-1; - средняя по горизонтали температура (в воздухе - потенциальная температура), К; - температура на границе раздела, К; - температура вдали от границы раздела, К; - плотность среды, кг/м3; - безразмерная вертикальная координата.