Движение электронов в 3-мерном магнитном поле плоского ондулятора
А.
Студент (бакалавр)
Московский физико-технический институт (Государственный университет), факультет нано-, био-, информационных и когнитивных технологий, Москва, Россия
galchenkova. *****@***com
При анализе динамики пучка электронов в накопительных кольцах необходимо учитывать фокусирующие свойства магнитных полей ондуляторов. Их расчет был проведен в статьях [1 - 4], [6]. При этом проводились усреднения по быстрым осцилляциям электрона и ряд слагаемых оказались потеряны. В данной работе решения уравнений движения получены без процедуры усреднения осцилляций электрона.
Рис. 1. Принципиальная схема генерации излучения в ондуляторе на постоянных магнитах.
Трехмерное магнитное поле идеального плоского ондулятора (рис. 1), которое удовлетворяет уравнениям Максвелла, описывается следующим выражением:
, (1)
, (2)
, (3)
где 
, 
- длина периода ондулятора. Параметр 
задает развал поля вдоль оси 
и по порядку величины равен ширине полюсов ондулятора.
Из релятивистских уравнений движения электрона во внешнем магнитном поле (сила Лоренца) можно получить следующие точные уравнения для траекторий электрона [5]:
, (4)
, (5)
где 
, 
и 
- приведенные скорость и энергия частицы.
Величины 
, 
, 
и 
малы по абсолютной величине. Систему нелинейных дифференциальных уравнений (4) и (5) можно разложить по этим малым величинам, а затем решить методом теории возмущений. Для поля вида (1) - (3) получим:
, (6)
, (7)
где 
, 
- параметр ондуляторности, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Интегрируя формулы (6) и (7) по переменной 
, можно получить аналитические выражения для поперечных координат электрона 
и 
.
Выражения (6) и (7) полностью определяют трехмерную траекторию электрона в магнитном поле ондулятора, определяемом формулами (1) - (3). Формулы (6) и (7) содержат все слагаемые, линейные и кубические по малым параметрам 
, 
, 
, 
и 
, что и обуславливает их громоздкость. Первые четыре слагаемых в формуле (6), а также первые три слагаемых в формуле (7) соответствуют решениям, полученным с использованием метода усреднения по осцилляциям в траектории электрона. Легко видеть, что метод усреднения приводит к потере большого числа слагаемых, которые также имеют третий порядок малости перечисленных выше малых величин. Детальный анализ выражений (6) и (7) показывает, что некоторые слагаемые, которые имеют кубическую степень малости и имеют осциллирующий характер, при реальных значениях параметров пучка электронов вносят вклад в траекторию и скорость электрона не меньший, нежели слагаемые, ответственные за фокусирующие свойства магнитного поля ондулятора. При этом многие слагаемые в выражениях (6) и (7) являются квадратичными по начальным условиям электрона , , и , что естественно, поскольку уравнения движения (4) и (5) существенно нелинейны. В частности легко видеть, что выражение (6) содержит слагаемое (шестое по счету), которое зависит только от вертикальных начальных условий траектории и , и при этом не зависит от горизонтальных начальных условий траектории и . Это означает, что есть перекрестное влияние вертикальных и горизонтальных компонент траектории электрона друг на друга, а именно: смещение электрона в вертикальном направлении приводит к изменению горизонтальной компоненты траектории электрона. Такой эффект не описывается решениями, полученными методом усреднения траектории электрона по его быстрым осцилляциям.
Сравнение этих аналитических выражений с результатами численных расчетов траекторий электрона в магнитном поле (1) - (3) показывает их хорошую точность.
Автор выражает благодарность Н. В. Смолякову за постановку задачи и плодотворные обсуждения.
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки, соглашение № 14.587.21.0001, уникальный идентификатор научных исследований RFMEFI58714X0001.
Литература
1. Barkov L. M. et al., Nucl. Instr. and Methods, Vol.152, p. 23 (1978).
2. Scharlemann E. T., J. Appl. Phys., Vol. 58 (6), p. 2154 (1985).
3. Smolyakov N. V., Nucl. Instr. and Methods, Vol. A 308, p. 83 (1991).
4. Smolyakov N. V., Sov. Phys. Tech. Phys., Vol. 37, p. 309 (1992).
5. Steffen K., Proc. CAS CERN Accelerator School 90-03, p. 1 (1989)
6. Walker R. P., Nucl. Instr. and Methods, Vol. 214, p. 497 (1983).
Основные порталы (построено редакторами)