ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Спецкурс программы аспирантуры, полугодовой: Теория Рисса и операторные уравнения второго рода.
2. Преподаватель: проф. Е. А. Бадерко.
3. Аннотация курса: компактные операторы, теория Рисса для операторных уравнений 2-го рода, интегральные уравнения, спектральная теория для компактных операторов, уравнения Вольтерры.
4. Тематическое содержание курса:
Тема 1 | Компактные операторы. Общие свойства. |
Тема 2 | Лемма Рисса. |
Тема 3 | Интегральные операторы. |
Тема 4 | Интегральные операторы на поверхностях класса С1. |
Тема 5 | Компактность поверхностных интегральных операторов. |
Тема 6 | Тождественный оператор в конечномерном пространстве. Первая теорема Рисса. |
Тема 7 | Вторая теорема Рисса. |
Тема 8 | Третья теорема Рисса. |
Тема 9 | Однозначная разрешимость операторного уравнения 2-го рода. |
Тема 10 | Операторные уравнения в случае, когда оператор I – A не инъективен. |
Тема 11 | Приложение теории Рисса для интегральных уравнений 2-го рода. |
Тема 12 | Приложение теории Рисса для граничных интегральных уравнений. |
Тема 13 | Спектральная теория для компактных операторов. |
Тема 14 | Интегральные уравнения Вольтерры 2-го рода. |
Тема 15 | Интегральные уравнения Вольтерры 1-го рода. |
5. Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Вопросы к экзамену.
1) Компактные операторы. Общие свойства.
2) Лемма Рисса.
3) Интегральные операторы с непрерывным ядром.
4) Интегральные операторы с ядром со слабой особенностью.
5) Интегральные операторы на поверхностях класса С1.
6) Компактность поверхностных интегральных операторов.
7) Тождественный оператор в конечномерном пространстве. Первая теорема Рисса.
8) Вторая теорема Рисса.
9) Третья теорема Рисса.
10) Однозначная разрешимость операторного уравнения 2-го рода.
11) Операторные уравнения в случае, когда оператор I – A не инъективен.
12) Приложение теории Рисса для интегральных уравнений 2-го рода.
13) Граничные интегральные уравнения с непрерывными ядрами.
14) Граничные интегральные уравнения с ядрами со слабой особенностью.
15) Спектральная теория для компактных операторов.
16) Интегральные уравнения Вольтерры 2-го рода.
17) Интегральные уравнения Вольтерры 1-го рода.
Текущий контроль успеваемости – задачи для самостоятельного решения на 9-й неделе.
Примеры предлагаемых задач:
1) Пусть X и Y – нормированные пространства, X содержится в Y. Говорят, что Х компактно вложено в Y, если тождественный оператор I: X → Y. Показать, что Х компактно вложено в Y, если любая ограниченная последовательность (xn X ) имеет подпоследовательность, сходящуюся в Y.
2) Дать новое доказательство компактности интегрального оператора с непрерывным ядром, используя конечномерные аппроксимации.
3) Теорема об однозначной разрешимости операторного уравнения 2-го рода остается верной, если Аn компактен для некоторого натурального n. Доказать.
4) Теорема для операторного уравнения в случае, когда оператор I – A не инъективен, остается верной, если Аn компактен для некоторого натурального n. Доказать.
5) Сформулировать теорему о разрешимости систем операторных уравнений 2-го рода, используя прямое произведение нормированных пространств.
6. Перечень основной и дополнительной учебной литературы:
1. Н., В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972.
2. А., И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1965.
3. М. Курс функционального анализа. - СПб.: Лань, 2005.
4. Я. Лекции по функциональному анализу. – М.: МЦНМО, 2004.
5. Б., А. Интегральные уравнения. – М.: Физматлит, 2004.
6. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. – М.: Физматлит, 1959.
7. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. – М.: Наука, 1965.
8. Интегральные уравнения. – М.: Издательство иностранной литературы, 1960.
9. Bitsadze A. V. Integral Equations of the First Kind. World Scientific Pub. Co., Singapore, 1995.
10. Dautray R, Lions J.- L. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Vol.4: Integral Equations and Numerical Methods. – Berlin: Springer, 2000.
11. Hackbusch W. Integral Equations. Theory and Numerical Treatment. Birkhӓuser, 2012.
12. Hsiao G., Wendland W. Boundary Integral Equations. Springer, 2008.
13. Kress R. Linear Integral Equations. Springer, 2014.
7. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»:
1. www.eqworld. ipmnet. ru /Интегральные уравнения.
2. www. / Н. Курс лекций по функциональному анализу. – М.: 2004.
Программа утверждена на заседании кафедры математического анализа
Протокол № 6 от 17 декабря 2014 г.
Основные порталы (построено редакторами)