XXXV РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2008 год
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 5 КЛАССА
Задача 1. Слонёнок весит как три телёнка и ещё полслонёнка. Во сколько раз слонёнок тяжелее телёнка? Ответ объясните.
Задача 2. Напишите 7 последовательных натуральных чисел так, чтобы всего при этом было выписано 25 цифр.
Задача 3. Пять мальчиков стоят в ряд. Петя и Вася не стоят рядом, Петя и Миша не стоят рядом, Миша и Рома не стоят рядом, Саша и Миша не стоят рядом, Саша и Вася не стоят рядом. Петя стоит правее Миши. В каком порядке (слева направо) могут стоять мальчики? Перечислите все возможности и объясните, почему других возможностей нет.
Задача 4. Нарисуйте четыре отрезка длиной 3 см (б клеточек на клетчатой бумаге) и четыре отрезка длиной 2 см (4 клеточки на клетчатой бумаге) так, чтобы никакие два отрезка не пересекались (но при этом конец одного отрезка может лежать на другом отрезке) и образовалось пять не налегающих друг на друга прямоугольников (не забывайте, что квадрат — тоже прямоугольник) .
Задача 5. У Коли было б треугольников, у каждого из которых стороны занумерованы цифрами 1, 2, 3. Он сложил из них шестиугольник так, как показано на рис. 2. При этом оказалось, что треугольники примыкают друг к другу сторонами с одинаковыми номерами. Может ли сумма номеров шести наружных сторон треугольников равняться 11? Если может — нарисуйте пример, если не может - объясните, почему.
XXXV РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2008 год
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 6 КЛАССА
Задача 1. Слонёнок весит как три телёнка и ещё полслонёнка. Телёнок весит как три поросёнка и ещё полтелёнка. Во сколько раз слонёнок тяжелее поросёнка? Ответ объясните.
Задача 2. Напишите 7 последовательных натуральных чисел так, чтобы среди их цифр было ровно 15 двоек.
Задача 3. Найдите два натуральных числа, которые сами не делятся на 315, а их сумма и произведение делятся на 315.
Задача 4. Грани игрального кубика занумерованы числами от 1 до 6. Петя сложил из восьми игральных кубиков куб вдвое большего размера так, что числа на прилегающих друг к другу гранях кубиков одинаковы. Может ли сумма всех 24 чисел, написанных на поверхности сложенного Петей куба, равняться 99?
Задача 5. В каждой клетке клетчатой доски размером 6x6 записано по числу. Известно, что каждое число в 3 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по стороне, и в 2 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по диагонали. Докажите, что каждую клетку доски можно покрасить в красный или синий цвет так, что сумма всех чисел, записанных в красных клетках, равна сумме всех чисел, записанных в синих клетках.
XXXV РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2008 год
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 7 КЛАССА
Задача 1. Слонёнок втрое тяжелее буйволёнка и впятеро тяжелее тигрёнка. Сколько нужно тигрят, чтобы уравновесить 15 буйволят?
Задача 2. Найдите 10 идущих подряд натуральных чисел, сумма всех цифр которых равняется 145.
Задача 3. Такова же, как задача 4 6 класса.
Задача 4. Аборигены острова рыцарей всегда говорят правду, а аборигены острова лжецов всегда лгут. Первый, глядя на двух других, сказал: «Вы живёте на разных островах». Второй промолчал, а третий сказал: «Лжецов среди нас троих больше, чем рыцарей». Кто на каком острове живёт?
Задача 5. В каждой клетке клетчатой доски размером 7x7 записано по числу. Известно, что каждое число в 3 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по стороне, и в 2 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по диагонали. Докажите, что каждую клетку доски можно покрасить в красный или синий цвет так, что сумма всех чисел, записанных в красных клетках, равна сумме всех чисел, записанных в синих клетках.
XXXV РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2008 год
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 8 КЛАССА
Задача 1. Нарисуйте на плоскости пять различных прямых так, чтобы они пересекались ровно в семи различных точках.
Задача 2. Мальчик пошел с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек. В дальнейшем отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку, а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелил 55 раз, после чего пульки у него кончились. Сколько раз он попал?
Задача 3. Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60 градусов. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60 градусам.
Задача 4. Когда Винни - Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки мёда, 4 тарелки сгущёнки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки мёда, 3 тарелки сгущёнки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки мёда, 2 тарелки сгущёнки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущёнки?
Задача 5. В каждой клетке клетчатой доски размером 50 x50 записано по числу. Известно, что каждое число в 3 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по стороне, ив 2 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по диагонали. Докажите, что каждую клетку доски можно покрасить в красный или синий цвет так, что сумма всех чисел, записанных в красных клетках, равна сумме всех чисел, записанных в синих клетках.
XXXV РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2008 год
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 9 КЛАССА
Задача 1. Найдите такое трёхзначное число, что произведение двузначного числа, образованного первой и второй его цифрами, и двузначного числа, образованного второй и третьей его цифрами, равно 494.
Задача 2. Известно, что а2+b2 = 1 - аb. Докажите, что а3+b = b3+а.
Задача 3. Числа а, b и с таковы, что все три произведения а(b+с), b(с+а), с(а+Ь) положительны. Докажите, что числа а, Ь и с либо все положительны, либо все отрицательны.
Задача 4. Параллелограмм со сторонами 1 и 3 повернули на 90 градусов вокруг точки пересечения диагоналей. Докажите, что площадь общей части исходного и повёрнутого параллелограммов не больше трети площади исходного параллелограмма.
Задача 5. Имеется палочка длиной х (х > 1). Играют двое, ходят по очереди. За один ход разрешается поломать пополам любую из имеющихся палочек. Побеждает тот, после хода которого впервые появляется палочка длиной не больше 1. При каких значениях х при правильной игре побеждает первый, а при каких — второй? Требуется не только дать ответ, но и описать, как должен играть победитель, а также объяснить, почему, играя так, он победит независимо от игры соперника.
XXXV РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2008 год
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 10 КЛАССА
Задача I. Найдите все трёхзначные числа, у которых сумма цифр равна 5, а произведение цифр равно 4.
Задача 2. Каждый из трёх квадратных трёхчленов x2+р1x+q1, х2+р2х+q2, х2+р3х+q3 имеет два различных корня, у любых двух из этих трёхчленов есть общий корень, но у всех трёх общего корня нет. Докажите, что q1q2q3 > 0.
Задача 3. В городе N живут рыцари, всегда говорящие правду, лжецы, которые всегда врут, и хитрецы, которые иногда говорят правду, а иногда врут. Путешественник спросил у четверых местных жителей, сколько времени. Трое ответили: «Час дня», а один: «Половина второго». Через некоторое время на такой же вопрос двое ответили: «Три часа дня», а двое: «Половина третьего». Известно, что среди четверых опрошенных был рыцарь. Докажите, что среди них был и хитрец.
Задача 4. Параллелограмм со сторонами 1 и 10 повернули на 45 градусов вокруг точки пересечения диагоналей. Докажите, что площадь общей части исходного и повёрнутого параллелограммов меньше 1/7 площади исходного параллелограмма.
Задача 5. На доске 9*9 некоторые клетки покрасили в один из двух цветов. Оказалось, что если король идет с любой незакрашенной клетки до любой другой незакрашенной клетки, то он обязательно пройдет через клетки двух цветов. (За один ход короля можно поставить на клетку, имеющую с данной хотя бы одну общую вершину). Какое наибольшее количество незакрашенных клеток могло быть на доске?
XXXV РОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2008 год
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 11 КЛАССА
Задача 1. Такова же, как задача 2 для 9 класса.
Задача 2. Такова же, как задача 3 для 10 класса.
Задача 3. Решите уравнение sin(sinx) = /2 .
Задача 4. В треугольной пирамиде проведены три биссектрисы плоских углов при вершине пирамиды, а также три биссектрисы основания пирамиды. Известно, что основания двух пар проведенных биссектрис совпадают. Докажите, что основания третьей пары биссектрис тоже совпадают.
Задача 5. На доске 6x6 некоторые клетки покрасили в один из двух цветов. Оказалось, что если хромая ладья идет с любой незакрашенной клетки до любой другой незакрашенной клетки, то она обязательно пройдет через клетки двух цветов. (Хромая ладья за один ход может перейти из клетки в соседнюю, имеющую с ней общую сторону). Какое наибольшее количество незакрашенных клеток могло быть на доске?
Основные порталы (построено редакторами)