Системно - деятельностный подход при обучении математике
В основе Стандарта лежит системно - деятельностный подход, который обеспечивает:
· формирование готовности к саморазвитию и непрерывному образованию;
· проектирование и конструирование развивающей образовательной среды для обучающихся;
· активную учено-познавательную деятельность обучающихся;
· построение образовательного процесса с учетом индивидуальных возрастных, психологических и физиологических особенностей обучающихся;
· воспитание личности уважающий мнение других людей, умеющий вести конструктивный диалог; достигать взаимопонимание и успешно взаимодействовать. С. Выгодскому, развитие детей и подростков в обучении основано на языке действий, «встроенных » в ту или иную культуру, следовательно, в учебном процессе основным « рабочим полем» является поле деятельности ученика – различные взаимодействующие виды самостоятельной учебной деятельности.
Необходимым условием совершенствования методической системы обучения является деятельностный подход во всех её компонентах.
Учителем проектируется траектория деятельности ученика в учебном процессе, с помощью перевода заданных извне целей образования, содержания обучения, методов овладения учащимися самостоятельной учебной деятельностью и процессами саморазвития на язык действий учащихся.
Деятельность учителя в учебном процессе – управление учебной деятельностью учащихся – требует совмещения поля деятельности учителя с полем учебной деятельности учащихся так, чтобы каждый её элемент был поставлен в условия саморазвития, адекватного саморазвитию ученика в учебной деятельности. Эта замкнутость двух пространств деятельности – суть проектирования технологии обучения на основе деятельностного подхода.
Один из эффективных путей обучения учащихся деятельности в учебном процессе – формирование приемов учебной деятельности.
Деятельность как понятие оказывается центральным для педагогики. Под деятельностью понимают индивидуальную функцию того или иного человека.
Путь вовлечение человека в деятельность:
· не через тщательное суммирование знаний о тех или иных предметах;
· не через старательное коллекционирование навыков оперирования с теми или иными объектами;
· а через качественное изменение им своей социальной функции, своей социальной роли.
Психологический механизм, обеспечивающий эффективное движение по этому пути, формируется ещё в дошкольном детстве. Действительно, всё то, что происходит в семье, кардинальным образом влияет на формирование и психики, и личности ребёнка. Это – семейная деятельность. Играя, ребенок развивается. Игра – тоже деятельность. И учеба является деятельностью, причём такой, которая формирует личность человека и определяет всю его дальнейшую жизнь.
Целью образования является подготовка человека к будущей деятельности в обществе, а содержанием образования – освоение общих методов и форм человеческой деятельности. Выделение в качестве образования подготовки к деятельности, а значит, в качестве обучения – освоение общих форм и способы деятельности требует от учителя уметь увидеть общие формы и способы деятельности в том учебном материале, на котором он проводит обучение. Деятельностные принципы обязывают нас при формировании программы образования, разработке методики преподавания, организации учебной деятельности акцентировать внимание в первую очередь не на предметном, а надпредметном содержании – на тех обобщенных деятельностных функциях, которые должно развивать. Например, как только мы говорим, что алгебру мы изучаем не для того, чтобы запомнить формулу для корней квадратного трёхчлена, для того, чтобы научиться пользоваться символьными объектами, как только мы говорим, что геометрия изучается не для того, чтобы, чтобы запомнить доказательство теоремы Пифагора, а для того, чтобы развивать геометрическое воображение – мы переходим от предметного содержания к содержанию надпредметному, к содержанию деятельностному, к тому ради чего мы учим детей. Возникает вопрос: как увидеть в конкретном предметном содержании надпредметное?
Например: Тема «Многочлены» - 7 класс. Изложение этой темы примерно одинаково во всех школьных учебниках, отличается лишь мелкими деталями. Вначале вводятся алгебраические операции с одночленами, потом – с многочленами, затем разбираются правила эквивалентных преобразований и приведение многочлена к стандартному виду, и, наконец, в самом конце темы, предлагаются упражнения на вычисление значений многочленов при различных значениях переменной.
Внешне всё вроде бы последовательно и логично, да и с точки зрения содержания всё разумно – данная тема является пропедевтической к последующему изучению квадратного трёхчлена, и в соответствии с принципом научности, вводит сразу общее понятие, не утомляя учеников рассмотрением частных случаев.
Проанализируем характер осуществляемых действий с надпредметной точки зрения.
Алгебраические операции над одночленами и многочленами с точки зрения надпредметной никаких трудностей детям не доставляют:
1. арифметические действия со значками они освоили ещё в начальной школе, а то что это значки - не 2, или не 5, или 25, а какие-то x или y, принципиально значений не имеет.
2. приведение многочлена к стандартному виду с надпредметной точки зрения есть просто операция группировки по признаку (признаком является показатель степени). С этим признаком дети знакомы с 1-го класса, здесь тоже нет ничего нового. А подстановка вместо x какого-то определенного числового значения и вычисление соответсвующего числового значения многочлена – на первый взгляд, самоочевидное, второстепенное и даже не слишком необходимое действие (кстати, некоторые авторы учебников вообще уделяют ему лишь несколько упражнений).
Однако, рассмотрение именно этой последней процедуры с надпредметной точки зрения вызывает весьма серьёзные вопросы.
Действительно, что в точности означают слова «вместо x подставить 2 ». Что такое x и как он воспринимается детьми?
До сих пор в теме «Многочлены» x фигурировал наравне с другими числами, и потому надо ожидать, что x – это число. Но что это за число?
Вспомним, что в предыдущих темах школьного курса математики x уже встречался детям – он использовался при задании и решении уравнений. Но ведь при решении уравнений x является вполне конкретным числом, которое просто было сначала неизвестно и которое следовало найти. Социализируя ситуацию число, можно сказать, что x в уравнении означает: «Вас задумал число, но скрывает его, а мы должны его отгадать».
Теперь же в многочлене, x – совсем уже не задуманное число. И именно на этом переходе школьники «спотыкаются», не в силах без объяснения (а такого объяснения в школьном учебнике нет) понять, что ситуация кардинально изменилась; в многочлене x – переменная величина, которая может быть произвольной, т. е. принимать любые значения, быть любым числом. Это и есть надпредметная проблема.
Изучением многочленов начинается новая деятельность, связанная с использованием в математике представления о переменных величинах. Но при этом в традиционном процессе обучения школьной математике – освоения фундаментальной идеи переменной величины не происходит. Дети вынуждены – кто удачно, а кто и нет - самостоятельно переживать эту смену представлений. Представление о переменной величине надо школьникам обязательно, специально вводить.
Например: Учитель предлагает задание, а потом, опираясь на сформированное представление о переменной, осваивать операции с многочленами. Это может быть выглядеть так. – Сначала учитель предлагает ученикам решить ряд арифметических примеров - вычислить:
4
+ 3
- 2
- 2
- 3
+ 4- 3;
4 + 3
- 3 - 2
- 3
+ 4- 3;
4
+ 3
- 5 - 2
- 3 + 4- 3;
4
+ 3
- 6
- 2
-3 + 4- 3.
Естественно вычислять утомительно и желание упростить свою работу приводить к тому, что найдется такой «умник», который увидит и сообщит всем, что вторые степени друг друга просто «убивают» и считать их не надо, что с пятыми степенями происходит тоже самое, а третьи, хоть и остаются, но для нахождения значений написанных выражений достаточно один раз вычислить куб каждого указанного числа и умножить его на 2.
Задание учителя: - Как записать обнаруженное правило, чтобы его все могли использовать, какое бы число вместо 2, 3, 5 или 6 не поставили?
Социализируемая таким образом ситуация позволяет искать прием, который бы не зависел от учительского произвола, и этот прием (не важно, придуман он кем-то из учеников или подсказан учителем) состоит в обозначении того произвольного числа, которое учитель может задать, как хочет через x. Вот это и есть момент истинности. Ученики теперь понимают суть произвольности x – это число, которое учитель может задать как угодно, а заодно они уловили и смысл проделанных ими действий – независимо от произвола учителя они получат всегда нужный результат, вычисляя 2x . А далее все правила оперирования с одночленами и многочленами ученики могут сформулировать сами – как перенос правил действий с числами на ими же сконструированный объект, предназначенный для того, чтобы обойти произвол, задаваемый учителем. При этом построении изучения темы у детей не появится непонимания – они легко и без напряжения освоят понятие, как переменная величина.
В теме «Неравенства» с надпредметной точки зрения: «Решить неравенство» не имеет никакого отношения к «Решить уравнение». «Решить уравнение» означает «отгадать число», которое задумал Вася. «Решить неравенство» связано не с задуманным числом, а с условием, с требованием, которое Вася установил. (например, связав его с получением приза), и это условие не надо отгадывать – речь идет о приведении его к наиболее простой форме. (При этом нужно ещё понять, почему именно такая-то форма – самая простая и зачем именно к ней приводить).
В теме «Функция» совершенно явно также просматривается новая деятельность, в которой фигурирует связь между переменными величинами, - некий механизм, который на человеческий произвол отвечает результатом, и в устройстве которого необходимо разобраться.
Если некоторая проблема с пониманием и, не возникает в 5 классе, она проявится потом, в 7 классе или в 10 классе. Но все равно она приводит к такому конфликту в деятельности учащихся, который напрочь отбивает у них какое - бы то ни было желание учиться.
Виды учебной деятельности.
· Учебно – познавательная деятельность вооружает знаниями. Умениями, навыками;
· Предметно – практическая деятельность помогает уяснить практическую значимость науки;
· Игровая деятельность содействует развитию познавательных сил учащихся и интереса к учению. И т. д.
Каждый вид деятельности учащихся служит достижению тех или иных целей образования. В любой учебной деятельности существуют цели. Мотивы, побуждающие к деятельности, и способы её выполнения на том или ином уровне.
Учебно – познавательная деятельность.
Каждый раз, составляя проект очередного урока, учитель задает себе одни и те же вопросы:
· как сформулировать цели урока и обеспечить их достижение;
· какой учебный материал отобрать и как подвергнуть его дидактической обработке;
· какие методы и средства выбрать;
· как организовать свою собственную деятельность и деятельность учеников;
· как сделать, чтобы взаимодействие всех этих компонентов привело к определенной системе знаний и ценностных ориентаций.
Основной из главных задач учителя является организация учебной деятельности таким образом, чтобы у учащихся сформировались потребности в осуществлении творческого преобразования учебного материала с целью овладения новыми знаниями.
Цели урока должны отражать результаты учебной деятельности ученика. Результаты же деятельности учителя будут отражены в результатах учебной деятельности учащихся. Под целями урока понимается желаемый результат учебной деятельности ученика на уроке и способ его достижения.
Урок изучения нового материала: Тема «Умножение положительных и отрицательных чисел». Цели: формирование знаний о правилах умножения положительных и отрицательных чисел и умений применять их в простейших случаях: развитие умений сравнивать, выделять закономерности, обобщать; воспитание ответственного отношения к учебному труду. Урок - практикум: Тема «Применение нескольких способов разложения многочленов на множители» Цели: воспитать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при разложении многочленов на множители; развивать навыки самоконтроля; сформировать умения разлагать многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, группировкой и применением формул сокращенного умножения. Триединая цель урока может интегративно формулироваться посредством глаголов, отражающих поисковый характер деятельности ученика: «найти», «выявить», «отыскать», «исследовать», «обосновать» и т. д. Чтобы спроектировать весь ход урока, необходимо описать, какими знаниями и умениями должен овладеть ученик в процессе решения поставленной учебной задачи. Например: цели урока по теме «Квадратное уравнение». В совместной деятельности с учащимися выделить новый объект изучения – квадратное уравнение и спланировать дальнейшую работу по исследованию этого объекта. В результате ученик знает: какие учебные задачи стоят перед ним при изучении темы; определение квадратного уравнения; название коэффициентов квадратного уравнения. Умеет: из предложенных уравнений выбрать квадратные; приводить примеры, иллюстрирующие новое понятие; составлять квадратное уравнение, если заданы коэффициенты. Понимает: что квадратное уравнение является математической моделью, описывающей некоторые реальные ситуации.
Цель должна « рождаться» на уроке в совместной деятельности учителя и учащихся. Примеры: Урок изучения нового. Первая часть урока заключается в формировании у школьников смысла и потребности в предстоящей деятельности - мотивационно – ориентировочная. Её компоненты: актуализация; мотивация, проблемная ситуация, формулировка проблемы; постановка учебной задачи (цели урока).
Пример 1. Урок по изучению нового материала: «Разность квадратов двух чисел»
Для актуализации знаний можно предложить следующую систему упражнений.
1. Прочитайте выражения:
m + n, ab, d – c, 2k, 2ab, (3m) , (a + b)(a + b) (c - d)(c + d), m - n ;
2. Запишите:
· удвоенное произведение чисел c и d;
· квадрат числа (
c);
· разность квадратов чисел x и y;
· произведение разности двух чисел на их сумму и т. д.
3. Представьте, если возможно, выражение в виде квадрата (куба) другого выражения:
49; 25а; 
с; xy ; 8а
х
, и т. д.
4. Выполните действия:
( mn ); (- 0, 5xy ); (x - y)(x + y);
5. Решение последнего упражнения учитель записывает на доске.
6. Разложите на множители:
- 5а b + 25a; 2х - 3х + 4ах – 6а; х - у.
Разложить последнее выражение школьники пока не могут. Тогда учитель предлагает проанализировать записанное на доске решение последнего упражнения из 4-го задания: (х - у)(х + у) = х - у. Читая его справа налево, ученики замечают, что выражение х - у представлено в виде произведения двух множителей. Следовательно, оно на множители раскладывается. Но каков способ разложения таких выражений на множители? Далее выясняется специфика этого выражения – разность квадратов двух чисел. Учитель предлагает ученикам сделать предположение (сформулировать цель урока): «Чем мы должны заниматься на сегодняшнем уроке?» Учащиеся высказывают свои предположения, учитель их корректирует и окончательно формулирует проблему (учебную задачу – цель деятельности учеников на уроке): найти способ разложения разности квадратов двух выражений на множители. Задачу урока фиксировать письменно на доске и в тетрадях.
Приёмы создания мотивации школьников разнообразны. Особенно велика их роль на первом уроке изучения новой учебной темы.
Пример 2. Приступая в 11 классе к изучению объёмов тел с помощью определенного интеграла, в качестве домашнего задания к уроку можно дать следующее. Объемы таких тел, как куб, прямоугольный параллелепипед, прямая призма, находили на основе аксиом объёмов и приемов разбиения (на) или достраивания (до) фигуры, объём которой уже известен. Попытайтесь дома достроить (или разбить) наклонную призму (пирамиду) до фигуры, объём которой уже известен. На следующем уроке идет разговор о выполнении домашнего задания. Выясняется возможность указанных действий. Учитель может обосновать это, ссылаясь на известные в математике теоремы о том, что равновеликие многоугольники и равносоставлены, а для многогранников это утверждение неверно. Следовательно, для нахождения формул объёмов наклонной призмы, пирамиды, конуса, шара и его частей нужны другие методы. Появляется проблема (учебная задача) их нахождения. Учитель сам рассказывает о сути нового метода – вычисление объёмов тел с помощью определенного интеграла. Ученику будет понятен смысл дальнейшей деятельности учителя.
Приведенные примеры не только решают задачи мотивации и целеполагания предстоящей деятельности, но они углубляют, расширяют и систематизируют знания учащихся. В этом случае цели ученику будут понятны и приняты им. Это одно из важнейших условий становление ученика субъектом дальнейшей деятельности на уроке.
Операционно - познавательная часть урока напрвлена на поиск решения и решение поставленной проблемы (учебной задачи). Поэтому её иногда называют поисково – исследовательской.
Процесс «открытия» нового понятия может происходить следующим образом:
· выявление содержания (характеристических свойств) понятия.
· «присвоение» термина (имени) новому понятию;
· конструирование определения;
· символ понятия.
Приемы включения школьников в математическую деятельность по «открытию» и «конструированию определений» математических понятий.
1. Аналитико – синтетический прием введение понятия «Компланарные векторы». Используя изображение параллелепипеда, повторить понятие вектора, равных, противоположных, коллениарных векторов, критерий коллениарности двух векторов, выражение вектора через два неколлениарных вектора, если все три вектора принадлежат одной плоскости. Выясняется как могут располагаться два, три вектора в пространстве. Далее дается следующая система вопросов – заданий:
· сколько различных векторов задают ребра параллелепипеда?
· опишите свойства пар (троек) векторов (анализируется каждый случай отдельно):
а) (АВ, АД); б) (АВ, А
В); в) (ДС, ДС)
а) (АВ, АС, АД ); б) (АВ, АС, АД); в) (АВ, АД, АА)
· выделите общие и различные свойства пар (троек) векторов (анализ, сравнение, синтез – ведущие мыслительные операции при этом).
· выделите признаки, по которым все шесть случаев можно разбить на две группы (существует плоскость такая, что все пары или тройки векторов, отложенные от любой ее точки, лежат в этой плоскости; не существует такой плоскости). В первом случае векторы называются компланарными.
· попытайтесь сформулировать определение компланарных векторов и создать графическую модель к новому понятию.
Обучение идет на конкретном примере с помощью специальных вопросов – заданий, отражающих ход исследования.
Вместе с тем в приведенном примере формируем уже на этапе образования определения понятия такой важный мыслительный прием, как классификация. Знания усваиваются учащимися через осознание собственных действий в процессе поиска оснований для классификации.
2. Форма организации деятельности школьников по открытию новых знаний может быть различной: эвристическая беседа, индивидуальная, парная или групповая работа, рассказ или школьная лекция, самостоятельная работа с учебником и т. д.
Пример. Фрагмент урока «Правильные и неправильные дроби» 5 класс.
Тип урока: изучение нового материала.
1 этап – актуализация знаний и умений.
· Какую тему мы изучаем на последних уроках математики? (дроби)
· Чему мы научились за время изучения этой темы, покажут задачи, которые я предлагаю вам решить (выполняют задания устно и у доски).
1. Прочитайте дроби: 
, 
, 
, Назовите числитель, знаменатель каждой дроби. Что показывает дробь?
2. Запишите дробью: арбуз разрезали на 16 равных частей, за обедом съели 7 таких долек. Какую часть арбуза съели за обедом? Какая часть арбуза осталась?
3. Как иначе можно записать дроби 
, , 
? Как записать 1 в виде дроби с числителем 3 ? С знаменателем 4? С произвольным знаменателем?
4. Сравните дроби: 
и 
, 
и 
, 
и , 
и 
. (сравнение последней пары вызывает у учащихся затруднение)
· Почему вы не можете сравнить две последние дроби? (Учились сравнивать только дроби с одинаковыми знаменателями, а здесь разные).
Постановка учебной задачи (цели ) урока.
· Предлагаю выбраться из затруднительного положения так, как предпочитают это делать ученые – математики. Решить более общую задачу: изучить числа похожие на предложенные дроби, выяснить их свойства, а затем использовать их для решения задачи.
· Как же сформулировать нам цель работы на уроке? (фиксируются предложенные варианты на доске) «Изучить дроби похожие на дроби из последней пары», «Изучить дроби с разными знаменателями»
· Вижу, что сейчас нам сложно сформулировать цель урока; давайте тему урока и его цель запишем позже, когда сможем более четко охарактеризовать эти дроби.
2 этап – операционно – познавательная часть. Выделение существенных свойств понятия
- На доске записаны дроби: 
- Добавьте к ним дроби 
разбейте все дроби на группы так, чтобы дроби и оказались в разных группах. Можете работать самостоятельно или в группах. (Работают индивидуально или в группах 2-3 минуты)
- Как вы разделили дроби на группы?
(1 группа: 
2 группа: 
3 группа 
)
- В подобных ситуациях ученые говорят, что произведено разбиение на классы. Его проводят для того, чтобы изучить не каждый объект в отдельности, а целый класс похожих между собой объектов. Такой способ исследования называют методом классификации. Он часто используется в науке (например, классификация растений и животных в биологии). Очень важным является выбор свойства, по которому производится разбиение на классы – основания классификации. Это свойство должно быть существенным, отражающим характерные особенности исследуемых объектов.
- Поясните, по какому принципу мы произвели разбиение на классы. Каково было основание классификации? (В первую группу собраны дроби, которые имеют числитель меньше знаменателя, у дробей второй группы числитель равен знаменателю, в третьей группе – дроби, числитель которых больше знаменателя).
- Те свойства, что мы указали, являются важными, существенными для проведенного разбиения. Их также называют характеристическими свойствами для каждой группы, а каждая группа имеет собственное название: дроби первой группы называют правильными, второй и третьей групп - неправильными. (Делают соответствующие записи на доске и в тетрадях).
- Думаю, что теперь мы можем записать тему урока и уточнить его цель. Принимаю ваши предложения. (Тема «Правильные и неправильные дроби» Цель урока – изучить правильные и неправильные дроби).
- Как именно мы хотели бы их изучить? – установить свойства правильных и неправильных дробей. Запишите тему и цель урока в тетрадях.
2 Моделирование определения
- Вернемся к трем группам дробей. Вспомните, по какому признаку мы произвели разбиение, и опишите, что называют правильной дробью? неправильной дробью? (- Правильной дробью называют такую дробь, числитель которой меньше знаменателя; - Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю).
На доске выписываются в два столбца род и видовые отличия каждого понятия:
Неправильной дробью Правильной дробью
называют называют
1) дробь 1) дробь
2) числитель которой 2) числитель которой
меньше ее знаменателя больше ее знаменателя
или
3) равен знаменателю.
- Сравните выписанные предложения. Что в них общего и чем они отличаются? (- Предложения похожи по своему строению, в обоих присутствует слово «называют» - Оба предложения повествуют о видах дробей, указывают их общие и отличительные (характеристические) свойства. - Количество свойств может быть различным и сами свойства различаются. - Свойства могут быть связаны между собой с помощью союзов («или» во втором случае) и т. д.)
- Как вы думаете, зачем нужны определения, каково их назначение в математике? (Они дают названия, имена понятиям, заменяют длинное описание более коротким. - Определения описывают, раскрывают. Что понимается под каким-то словом (термином) - С их помощью люди «договариваются» о точных названиях для понятий.)
- Вы совершенно правы, у определений в математике двойная роль, с одной стороны, они дают краткое название понятиям – термин, с другой - раскрывают этот термин, поясняют его через указание на ближайшее известное понятие (род) и отличительные свойства (видовые отличия) .
Но тем самым определения помогают нам в решении задач. Убедитесь в этом при выполнении заданий, записанных на доске:
Основные порталы (построено редакторами)