Лабораторная работа № 1П “Моделирование электростатического поля коаксиального кабеля полем стационарных токов в проводящей среде”

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

PIS_21

mpei_1

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Лабораторная работа № 1П

“Моделирование электростатического поля коаксиального кабеля полем стационарных токов в проводящей среде”

Выполнил:
Группа:
Проверил:

Москва 2016

Лабораторная работа № П1

Моделирование электростатического поля коаксиального кабеля полем стационарных токов в проводящей среде

Назначение работы

Целью работы исследование плоскопараллельного электростатического поля коаксиального кабеля методом моделирования полем стационарных токов в проводящей среде (проводящей бумаге).

Ключевые слова. Электростатическое поле: потенциал, напряжение, вектор напряженности, вектор смещения, линейный и поверхностный заряды, удельная емкость, Поле проводящей среды: ток утечки, потенциал, вектор напряженности, вектор плотности тока, удельная проводимость.

Теоретическая справка

Электростатическое поле есть электрическое поле системы неподвижных зарядов на поверхности проводников и на границах раздела сред. Расчет основных характеристик электростатического поля - векторов напряженности поля и семейства потенциалов при заданной форме и положения проводников и диэлектриков исследуемого объекта, проводится по заданным величинам потенциалов проводников (условия Дирихле) или по известному закону распределения свободных зарядов на проводниках (условие Неймана).

Поле проводящей среды - это электрическое поле стационарных токов, распределенных в пространстве проводящих сред между проводниками, подключенными к источникам напряжения. В отличие от электростатического поля основные характеристики и параметры поля проводящей среды легко доступны для прямых измерений потенциалов и электрической напряженности, например, при моделировании поля на проводящей бумаге для конфигураций объектов в поперечной плоскости, однородных по длине.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Как электростатическое поле ( в отсутствии распределения объемных зарядов), так и поле проводящей среды описываются уравнениями Лапласа и для подобных конфигураций исследуемых объектов имеют аналогичные решения для потенциалов и напряженности электрического поля., что служит основанием для моделирования задачи электростатического поля подобной задачей поля проводящей среды.

Формальная аналогия полей отражена в следующей таблице:

Электростатическое поле

[В/м]

[В]

[Кл/м]

[Ф/м]

Электрическое поле постоянных токов в проводящей среде

[В/м]

[В]

[А/м]

[См/м]

Коаксиальный кабель представляет собой симметричную систему проводников (жила и оболочка) с диэлектрической изоляцией между жилой и оболочкой (рис.1.). Поле кабеля является плоскопараллельным, распределение потенциала во всех параллельных плоскостях, нормальных к осевой координате, является одинаковым. При однородной изоляции между жилой и оболочкой модуль вектора напряженности равен:

[В/м],

где - заряд на единицу длины кабеля [Кл/м], r –расстояние от центра (оси) кабеля до рассматриваемой точки.

Напряжение между жилой и оболочкой

[В],

где R1 и R2 –радиус жилы и внутренний радиус оболочки, соответственно (см. Рис. 1),

er - относительная диэлектрическая проницаемость изоляции, e0 – электрическая постоянная.

Электрическая емкость на единицу длины коаксиального кабеля:

[Ф/м].

Напряженность может быть найдена через напряжение между жилой и оболочкой:

Максимальная напряженность, как следует из зависимости , наблюдается в точке M, расположенной на поверхности жилы при , таким образом

Emax=.

Максимальная напряженность не должна превышать допустимую напряженность изоляции[1] EmaxEдоп; при этом максимально допустимое напряжение может быть определено из условия

Eдоп.

Следовательно, Umax= Eдоп ×.

Кабель со смещенной жилой

В ряде случаев изготовления и применения кабеля возможен технологический сбой – жила смещена относительно центра оболочки. Нарушение симметрии приводит к изменению картины поля кабеля, характерной для поля двух электрических осей, как показано на рис.2 и рис.3, что усложняет расчет поля (требуется определение положения электрических осей) и изменяет характеристики кабеля (например, максимально допустимое напряжение и удельную емкость).

Потенциал поля двух электрических осей с линейными зарядами рассчитывают по формуле , где - расстояние от рассматриваемой точки до положительной электрической оси , - расстояние до отрицательной электрической оси . Если принять , то С=0.

Определение положения электрических осей относительно области поля между параллельными цилиндрическими проводниками с несовпадающими осями (жилы и оболочки кабеля с радиусами и ) при заданном d – смещении (расстоянии между центрами цилиндрических проводников) позволяет найти положение начала координат (х=0), и - расстояние от центров жилы и оболочки кабеля до начала координат и расстояние между электрическими осями 2a ( Рис. 2).

, , .

При условии выбора , потенциалы точек М и Р, расположенных на поверхности жилы и оболочки наиболее близко друг от друга, равны и .

Для точки М , ; аналогично рассчитывают расстояния и .

Напряжение между жилой и оболочкой

емкость на единицу длины кабеля со смещенной жилой

Напряженность в точках, расположенных на оси Х для среды с абсолютной диэлектрической проницаемостью

, , ,

где - расстояние от рассматриваемой точки до положительной электрической оси , - расстояние до отрицательной электрической оси . Таким образом, максимальное значение напряженности будет в точке М, . Условие Eдоп определяет предельно допустимую линейную плотность заряда и максимальное допустимое напряжение .

Изображение картины поля путем нанесения линий равного потенциала (эквипотенциалей) при неизменной разности потенциалов между соседними линиями, дает наглядное представление о характере поля. Там, где соседние линии лежат ближе одна к другой, тем больше напряженность поля. Разность потенциалов в направлении перпендикулярном эквипотенциальным линиям, деленная на расстояние между линиями, равна средней напряженности поля. Семейство эквипотенциальных линий представляет собой окружности радиуса , с положением центра окружности на оси Х , переходящие от окружности с радиусом жилы к окружности с радиусом оболочки. Семейство силовых линий - окружности, центры которых лежат на оси Y, и которые взаимно перпендикулярны линиям семейства эквипотенциалей, как показано на Рис.3.

Рис.3. Электрическое поле кабеля со смещенной жилой

как частный случай поля двух электрических осей

(начало координат по оси Х выбрано в точке положения электрической оси +τ )

Семейство эквипотенциалей представляет собой концентрические окружности радиуса с положением центра окружности , переходящие от окружности с радиусом жилы к окружности с радиусом оболочки (Рис. 4). При расчете положения центра окружности и радиуса можно использовать следующие формулы:

; , где (для и С=0) .

Рис. 4

Для окружности, все точки которой имеют потенциал, равный (40% от приложенного напряжения) необходимо учитывать, что (рис.2),

для точки А этой окружности .

3. Экспериментальное исследование

Моделирование плоскопараллельных электростатических полей полем стационарных токов в проводящей среде, применяют в тех случаях, когда расчет затруднен, а непосредственное экспериментальное исследование объекта затруднено. Моделирование проводится при напряжениях существенно меньших, чем в реальном объекте. Размеры объекта и модели могут отличаться, подобной должна быть геометрия системы.

Используя подобие этих полей ([1], стр. 128-130.) по измеренной величине проводимости на единицу длины [См/м] в поле проводящей среды ( модель проводников кабеля на проводящей бумаге) определяют удельную емкость единицу длины [Ф/м] электростатического поля кабеля той же геометрии, как

где - проводимость используемой проводящей бумаги.[2]

При выполнении лабораторной работы ток утечки измеряют по величине напряжения на дополнительном измерительном резисторе Rизм=1 Ом. Точки равного потенциала (эквипотенциальные линии) можно найти, проводя измерения с помощью электрического вольтметра (одноштырькового зонда). Средняя напряженность электрического поля рассчитывается по формуле

где j1 и j2 – потенциалы ближайших линий эквипотенциалейτ, - кратчайшее расстояние между ними ([1], стр. 59-60.).

Измерительная установка состоит из моделирующей части (электроды модели, повторяющие форму жилы и оболочки кабеля в масштабе 10:1, проводящая бумага на резиновой подложке) и измерительной части (источник питания, электронный вольтметр, измерительный резистор, зонд).

Замечание Измерения следует проводить, обеспечивая равномерное прилегание внутренних кромок электродов к проводящей бумаге.

4. Подготовка к работе

1. Полагая, что смещение геометрических осей проводников кабеля отсутствует (d=0), рассчитать емкость на единицу длины симметричного коаксиального кабеля и .

Определить напряженность на поверхности жилы и оболочки (точки М и Р на рис.1) при напряжении между ними . Рассчитать максимально допустимое напряжение . Значение Eдоп, er заданы в Таблице и выбираются в соответствии с номером бригады.

2. Рассчитать положение электрических осей при заданном d –смещении центров проводников. Сделать соответствующий рисунок с изображением геометрических и электрических осей, указав все расстояния согласно Рис. 2.

Рассчитать емкость на единицу длины кабеля со смещением жилы. Вычислить напряженность в точках M, N, P и Q при U=1 кВ. Рассчитать максимально допустимое напряжение .

3. Сравнить результаты расчета п.1 и п.2.

4. Начертить рабочую схему для проведения моделирования электростатического поля кабеля полем стационарных токов в проводящей бумаге. Написать формулу для определения удельной емкости кабеля по результатам эксперимента.

№ бригады	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
d, мм	4	5	6	7	8	9	9	8	7	6	5	4
er	6	5	4	4	5	6	4	6	6	6	4	5
, кВ/см	100	150	200	200	150	100	200	100	100	100	200	150

5. Рабочее задание

В работе используем модель кабеля с соотношением геометрических размеров 10:1 (размеры цилиндрических электродов и , смещение d=(dтабличное×10) мм).

1. Установить на листе проводящей бумаги электроды в соответствии с заданной геометрией коаксиального кабеля (без смещения d=0). Собрать схему для измерения тока утечки (рис.5). Выполнив измерения (см. Замечание), рассчитать проводимость системы. Определить емкость коаксиального кабеля, сравнить со значением, рассчитанным в п.1 Подготовки к работе.

Рис.5

2. Измерить напряженность в точке М и Р. Отметить на проводящей бумаге контуры электродов. Провести эквипотенциали, соответствующие 20, 40, 60, 80% от приложенного напряжения3.

3. Установить на листе проводящей бумаги электроды в соответствии с заданной геометрией кабеля с заданным смещением внутреннего электрода -d и измерить проводимость системы. Определить емкость такого кабеля, сравнить со значением, рассчитанным в п.2 Подготовки к работе.

4. Измерить напряженность в точке М, N, P, Q. Отметить на проводящей бумаге контуры электродов. Провести эквипотенциаль, соответствующую 20,40,60,80% от приложенного напряжения[3].

5. Дополнить картину эквипотенциалей п. 4 силовыми линиями.

Протокол измерений к работе №1П.

Сопротивление измерительного резистора Rизм =______ Ом.

Без смещения жилы

№ опыта	U, В	URизм, В	I0, А/м	, [См/м]	, [Ф/м]
1

__________ См/м

теор = __________ Ф/м

№ опыта	U, В	EМ, В/м	EР, В/м
2

Со смещением жилы

№ опыта	U, В	URизм, В	I0, А/м	, [См/м]	, [Ф/м]
3

теор = __________ Ф/м

№ опыта	U, В	EМ, В/м	EN, В/м	EP, В/м	EQ, В/м
4

6. Методические указания

Экспериментальное определении постоянной проводимости проводящей бумаги следует проводить на осесимметричной модели кабеля, измеряя значения тока утечки при заданном напряжении между проводниками. Согласно определению погонной проводимости модели кабеля (поле проводящей среды), получим эффективное значение

проводимости бумаги

=Io ln(R2/R1)/2π U.

Таким образом, экспериментально определенная постоянная проводящей бумаги эффективно учитывает удельную проводимость проводящего слоя бумаги, толщину и плотность бумаги, а также эффекты старения и другие неучтенные факторы..

Литература

1. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин.

Теоретические основы электротехники. Т.3. – СПб.: Питер, 2003 г.

7. Моделирование электростатического поля кабеля в среде ELCUT

( студенческая версия ELCUT 5.4)

Вызов программы ELCUT. В меню «Файл» кнопкой

создать «задачу» - ОК В поле «Создание задачи» - ввести имя файла – «Коаксиальный кабель» Осуществить Выбор папки – Обзор- (для последующей записи своих файлов) «далее» Выбрать Тип задачи – «Электростатическое поле»- Расчет- «Обычный» - Класс модели «Плоская»,«Единицы длины» (см или мм), система координат - Декартовы координаты – нажать " Готово", Сохранить файл описания задачи.

Замечание: Решения ELCUT допустимы для ограниченных областей с замкнутыми границами» (экраном) плоско-параллельных и осесимметричных конфигураций. В нашей задаче внутренняя поверхность проводника оболочки ограничивает область поля кабеля

Выбор команд можно осуществить из всплывающего меню с помощью нажатия ПКМ на соответствующем поле окна.

В новом окне «Меню» Коаксиальный кабель (появляется в левом окне)

Дважды щелчком ЛКМ на строке «Геометрия» Создать файл геометрии – ОК

(справа появится окно для построения геометрии на размеченном в клетку поле)

Кнопкой из строки инструментов

осуществляем команду - «вставка вершин и ребер» Щелчок дважды ЛКМ - создание вершины (синяя точка), протяжка – создание ребра (прямой линии), ввод двух вершин - диаметр окружности (или из двух полуокружностей), имитирующие линии металлических тел или границ раздела сред.. Необязательно попасть точно в указанную точку, достаточно щелкнуть мышью поблизости от точки левее и ниже нее, координаты точек представляются в виде значений (х, у) .Дополнительно кнопкой "добавить фигуру" на панели инструментов можно выбрать круг (с указанием диаметра и положения центра) или прямоугольник Кнопкой

в командной строке выделяются и удаляются нежелательные объекты (вершины, ребра, окружности) Щелчком ЛКМ в левом окне на выделенных объектах устанавливаем метки ( названия или числа).для соответствующих объектов геометрии. В меню Коаксиальный кабель (в левом окне) щелчком ЛКМ на строке «Физические свойства» выделяем метками частичные блоки кабеля ( области изоляции и жилы) и устанавливаем в всплывшем окне значение относительной диэлектрической проницаемости εr , в блоке изоляции – требуемое значение, а в блоке жилы значение 106 или более (имитация идеального проводника жилы, электрическое поле внутри которого отсутствует) На метках ребер, вершин выделяем их отдельно щелчком ЛКМ и устанавливаем значения потенциалов (или зарядов) на выделенных объектах ( например, «0» вольт на оболочке и заданное значение «U» – на жиле ).. Нейтральные электроды отмечаются как Экран Кнопкой

устанавливаем сетку в выделенных блоках. С помощью кнопки

осуществляется удаление сетки. Сохранить построенную модель командой «Сохранить все файлы».

В случае превышения допустимого числа ячеек сетки (255) следует уменьшить размеры объекта, повторно установив метки и их значения.

В строке «Задача» выбираем команду «Решить» (кнопку решить

и увидеть результаты

). Появится окно с вопросом " Хотите ли ВЫ увидеть результаты?". Нажать "Да". По умолчанию решение представляется в виде картины распределения эквипотенциалей.

Пример картины семейства эквипотенциалей кабеля со смещенной жилой

В стоке «Вид» выбираем «Картина поля» и в сплывающем меню выбираем «Вектора поля» и наблюдаем распределение напряженности (или смещения) электрического поля. При выборе «Цвет» наблюдаем распределение интенсивность электрического поля в цветах (от синего до красного).

Картина векторов напряженности электрического поля

Распределение напряженности в цветном представлении

Для представления графиков в строке «Контур» выбираем «прямую линию» в качестве оси ординат графика и накладываем ее протяжкой на интересующую область исследуемого объекта. Нажатием ЛКМ в поле «Вид» на строке «Графики» наблюдаем полученные зависимости (распределение потенциала, напряженности, смещения и др.)

График зависимости потенциала (вдоль выделенной линии - оси Х)

График напряженности поля (в кратчайшем промежутке

между жилой и оболочкой кабеля)

Для определения заряда на жиле кабеля в строке «Контур» выбираем «полуокружность» ( две частичные линии дают окружность) и при нажатой ЛКМ охватываем замкнутым контуром электрод жилы, как показано ниже. Дополнительно, при необходимости, в строке «Контур» можно выбрать команду «Замкнуть»

В строке «Вид» выбираем «Интегральные параметры» и в перечисленных в всплывающем меню параметрах выбираем «Заряд» или другие интересующие параметры. Удельную емкость кабеля находим как отношение значения заряда к

приложенному напряжению U. Заряд жилы примера Q = 3,9155×10-8 Кл/м.

Для определения локальных значений потенциалов, напряженности, смещения и других величин в строке «Вид» выбираем «Локальные значения» и устанавливаем появившийся курсор в заданную точку, где проводится измерение требуемой величины.

Так в данном примере локальные значения напряженностей в точках Q, N, M, P (см. Рис.2.) равны:

U= 0 В, Ex = -425,27 В/м, Dx = -3,765×10-9 Кл/м2

U= 991,3 В, Ex = -2372,5 В/м, Dx = -2,1×10-8 Кл/м2

U= 1000 В, Ex = 3171,9 В/м, Dx = 2,8085×10-8 Кл/м2

U= 11,25 В, Ex = 2199,3 В/м, Dx = 3,765×10-8 Кл/м2

Замечание: так как в студенческой версии ELCUT число ячеек сетки ограничено, то погрешность расчетов искомых интегральных величин может составлять до 20 процентов. Погрешность измерений обусловлена как недостаточно малым размером ячеек сетки, так и точностью установки курсора локальной переменной. При этом окружности электродов представляются в виде многоугольников.

С помощью кнопки

сохранить все файлы задачи «Коаксиальный кабель» в ранее выбранной папке. Переход к задаче «Симметричный коаксиальный кабель» осуществляется заново или с помощью файла геометрии предыдущей задачи, выделением жилы кнопкой

и удерживая ЛКМ окружность жилы перемещаем ее на заданное расстояние (до совпадения центров оболочки и жилы). В каждом из указанных случаев необходимо заново сохранить файл в новой папке, устанавливать метки блоков, метки ребер и вершин, а также значения относительных диэлектрических проницаемостей блоков и потенциалов ребер. Провести исследование картин поля и интегральных параметров задачи аналогично предыдущей задачи. С помощью кнопки

сохранить все файлы задачи «Симметричный коаксиальный кабель». Сравнить расчетные зависимости и интегральные параметры исследуемых объектов с полученными результатами по программе ELCUT.

Основные результаты моделирования приложить к отчету по лабораторной работе.

[1] Допустимая напряженность Eдоп или Eпроб для воздуха Eпроб = 30 Кв/см, твердого диэлектрика

Eпроб = Кв/см, масла Eпроб =54 Кв/см.