С. А. Гриценко, В. С Черняк
Линеаризированная обратная кинематическая задача по отражению в слое с латеральными изменениями пластовой скорости
Пусть 
- координата точки на профиле наблюдений. Латеральное изменение пластовой скорости определим как функцию медленности 
. Расстояние между точкой и точкой на отражающей границе с профильной координатой 
обозначим 
, а время распространения волны между этими точками - 
. Известно, что в линейном приближении (М. М. Лаврентьев, В. Г. Г. Романов, 1969 г.), время можно вычислить через интеграл медленности 
вдоль прямолинейного отрезка соединяющего точки и :
, (1)
где
. (2)
Пусть координата источника на профиле 
, а координата приёмника - 
. Тогда время 
распространения отражённой волны, в соответствии с введёнными обозначениями:
, (3)
где точка отражения луча 
определяется из принципа Ферма:
. (4)
Здесь и ниже нижний индекс прописной буквой у функции означает частную производную.
Перепишем соотношения (3) в координатах ОГТ:
, (5)
подставляя в него, как следует из (5) 
, 
и вводя новые обозначения 
, 
:
(6)
Теперь, с учётом определения (1), время отражённой волны в координатах ОГТ можно записать:
(7)
Если считать, как часто полагали раньше, что медленность в пределах расстановки ОГТ (
) не меняется (локально однородный слой): 
, то (7) принимает вид:
. (8)
Для линий нулевых удалений 
, из (7) найдём:
, (9)
Параметр 
будем находить по гиперболическому годографу ОГТ:
, (10)
вторая производная которого, при 
, совпадает с второй производный годографа ОГТ: 
. Учитывая это, после возведения в квадрат и двукратного дифференцирования (10) по 
, получим*:
. (11)
Здесь и ниже индексы большими буквами обозначают общие производные.
На рис 1-3 приведены результаты расчёта* параметров 
и в слое с латеральным изменением скоростей и криволинейной отражающей границей**.
Обращает на себя внимание (рис. 3) то что, на профиле 12 км разброс пластовых скоростей в диапазоне 50 м/сек. привел к изменениям на 130 м/сек. На расстановках длиной 3.8 км. разброс пластовых скоростей достигал 30 м/сек., а - 100 м/сек. Кроме того, изменения имеют не только больший, но и более осциллирующий характер. Если на длине расстановки пластовые скорости имеют один экстремум, - три.
Эти особенности рассчитанных графиков напоминают поведение графиков получаемых по скоростным спектрам (Taner M. T., Koehler F., 1969). Именно такое поведение привело к распространенному мнению, что нельзя использовать для получения скоростной информации о среде. Вот выдержки из двух перекликающихся работ характеризующих эту точку зрения: (Р. Шерифф, Л. Гельдарт, 1987) «Учёт постепенных скоростных изменений зависит от того, возможно ли определить изменения скорости с достаточной надёжностью. Часто скорости приходится определять из самих сейсмических данных, но анализ скоростей (хотя он и может дать результаты, пригодные для использовании при суммировании) часто создаёт значительную неопределённость, которая не позволяет применить эти результаты для такой коррекции без сглаживания» и вторая работа ( В., А., Б., 1991) - «Исторически появление скоростного анализа сейсмограмм ОГТ связано с задачей улучшения качества временных разрезов и лишь впоследствии его стали использовать как способ оценки скоростной характеристики среды. Однако, если первоначальная задача решается сравнительно успешно: найденные скоростные параметры увеличивают резкость изображения горизонтов на временных разрезах, этого нельзя сказать о второй: оптимальные для временного разреза скоростные параметры часто изменяются вдоль профиля столь быстро, что вряд ли их можно соотнести с изменением пластовых скоростей в среде. По-видимому, фон помех, искажающий сейсмограммы ОГТ, приводит к таким оптимальным параметрам суммирования, которые не отражают изменения скоростных свойств среды. Заметим, что это не мешает получать правильные временные разрезы, так как при малых выносах расстановки ОГТ положение линии практически не зависит от скоростей суммирования». И далее «Возможно, что подборки трасс по ОГТ являются не лучшей возможностью для оценки скоростных параметров среды, несмотря на то, что они из всех регулярных систем выборок в меньшей степени зависят от структурного фактора. Но в этом случае большое влияние оказывают поверхностные условия».
Приведённые здесь расчёты говорят о другом. Флуктуирующее поведение вызвано не помехами и не верхней частью разреза, а изменением пластовых скоростей на длине расстановки. Сравните полученное в локально однородной модели без изменения пластовых скоростей на расстановке ОГТ (синяя кривая) и с учетом изменений (красная и коричневая кривые, рис. 3). 
Как подсказывает наш расчет, осцилляции параметра в скоростном анализе несут полезную информацию о среде и широко применяемое сглаживание этого параметра для их нивелирования только уведёт нас от цели (см. рис. 4, зелёная кривая). Конечно же, простое умножение на для определения глубины приведёт к совершенно неверным результатам (рис. 4, коричневая кривая). Относительно можно сказать, что в условиях латеральных изменений скорости оно плохо соответствует конфигурации отражающей границы см. рис. 2. В практике интерпретации сейсмических данных для определения глубины умножают , полученное даже в районах с сильными латеральными изменениями скорости, на пластовую скорость, определённую в скважинах (см рис. 4, голубая кривая - сливается с красной). Однако если скважин нет или очень мало, то, построение карт глубин сильно затруднено и, как мы попытаемся показать ниже, в этом случае возможно определение скоростей на основе сейсмических данных.
Продифференцируем соотношение (6) дважды по . Подставляя (4), с использованием (5), по ходу дифференцирования и в результат, без особых сложностей получим в точке :
(12)
( С., А, 1979)*. Так как при выводе (12) не использовались никакие допущения, оно справедливо для любых сред. Однако, если бы мы использовали линеаризацию уравнения эйконала (1-2) с нулевым членом постоянной скорости (прямолинейные лучи), то при выводе (12) вместо принципа Ферма (4) для точных времён, мы должны были бы использовать его для времён с постоянной скоростью (прямолинейных лучей): 
. В этом случае мы получили бы другое, более сложное, выражение (12) для второй производной годографа ОГТ. Но если рассматривать горизонтальную отражающую границу, то, так как в нашем приближении точка отражения фиксирована и производные 
равны нулю, уравнение (12) не изменяется. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что отражающая граница горизонтальна:
(13)
Подставляя теперь результат двукратного дифференцирования (1) по 
в (12), с учётом (13) получим:
(14)
Если в точке отражения глубина отражающей границы 
, то 
. Путём дифференцирования этого равенства по с учётом (13) найдём:
, 
(15)
Далее, найдём первую и вторую частные производные (2) по и перейдём к координатам ОГТ (5). После разрешения неопределённостей 
по правилу Лопиталя в (2) и результатах дифференцирования, возникающих в силу (13), получим:
, 
, 
. (16)
И, наконец, подставим (15) и (16) в (14). Учитывая (9) и (11), получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:
(17)
относительно медленности 
. Уравнение (17) впервые было выведено другим способом у (Lynn Walter S, Claerbout F., 1982). В более привычных для сейсморазведчиков терминах скорости 
, уравнение (17) выглядит следующим образом:
(18)
Уравнение (18), с точностью до квадрата первых производных скорости согласуются с его аналогом, полученным у ( А., 1988) методом малого параметра.
Скорость , рассчитанная по соотношению (17) , является, в соответствии с нашим выводом, предельной (см. сноску на стр. 5). Сравнение интегральной и предельной скорости приведено на рис. 5.* 
Оно свидетельствует о том, что годографы ОГТ для заданного изменения пластовой скорости практически не отличаются от гиперболы и вариации связаны только с изменением этих гипербол по профилю.
Так как уравнение (17) является дифференциальным уравнением второго порядка, то его решением является параметрическое семейство кривых зависящих от двух параметров. Именно по этой причине рассмотренное в работе (Lynn Walter S, Claerbout F., 1982) решение уравнения конечно разностной аппроксимации линеаризованного уравнения (17) не имеет единственного решения и, следовательно, как там отмечено, не стабильно. На рис 6. приведены две кривые пластовой скорости из семейства кривых удовлетворяющих (17).
Эти кривые получены при различных начальных приближениях численного решения (17) методом секущих для решения систем нелинейных уравнений (Dennis and Schnabel, 1983). Одному и тому же поведению отвечают совершенно различное поведения пластовой скорости. У (Lynn Walter S, Claerbout F., 1982) предложена регуляризация конечно разностной схемы решения линеаризованного уравнения с использованием четвёртой производной обратной величины . Мы же считаем, что выбор единственного решения из семейства функций удовлетворяющих (17) должен быть произведён на основе дополнительной априорной информации о решении.
Следуя (Lynn Walter S, Claerbout F., 1982) линеаризуем (17). Если 
можно представить в виде:
, (19)
так что 
много меньше 
(это будет выполнятся, как можно оценить из рисунков, если в качестве выбрать среднее значение 
), то отбрасывая квадратичный член 
получим линейное уравнение:
, (20)
где 
, 
. При получении (19) мы положили 
, так как это не противоречит обсасыванию квадратичного члена (умножьте числитель и знаменатель на 
).
Для параметра 
с учётом (9), (16), (19) и сделанных допущений: , найдём:
, (21)
здесь 
- глубина отражения. Так как мы работаем в условиях горизонтальной отражающей границы, то - постоянно. Оценку можно получить, полагая, что в (19) среднее значение равно 0: 
. Тогда из (9) и (16) получим оценку глубины 
через среднее значение 
, здесь 
- начало и конец профиля, и, значит 
. Таким образом (20) можно рассматривать как линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами*. Для него можно записать общие решение:
(22)
Здесь 
и 
константы, определяющие в соответствии с (19) параметрическое семейство пластовых скоростей. Заметим, что пространственная частота гармонических функций (21) входящих в состав решений обратно пропорциональна глубине отражения. Чем больше глубина, тем меньше осцилируют пластовые (средние) скорости на протяжении профиля при фиксированных осцилляциях. По другому: Осцилляции средней скорости при большей глубине отражения приведут к более сильным осцилляциям 
.
Выбрать единственное решение из семейства (22) можно на основе сделанных нами допущений о малости (минимальная дисперсия медленности):
, (23)
или горизонтальности границы (минимальная дисперсия глубин):
. (24)
Кроме того, по этому счастливому обстоятельству необходимости выбора решения, мы можем использовать скважинные данные:
(25)
здесь 
отметки глубин в скважинах в точках 
(если на профиле нет скважин, то следует предварительно выполнить площадную интерполяцию отметок глубин на профиль).
Решение (22) при условии (23) или (24) или (25) является приближённым решением уравнения (17). Для получения точного численного решения (17) воспользуемся итеративным алгоритмом, аналогичным предложенному в работе ( Н., Ф., 1976). Обозначим расчёт по соотношению (17) через 
, а решение (22) для расчёта 
с учетом одного из условий (23-25) по через 
. Нам требуется найти решение уравнения:
(26)
Возьмём от обеих частей (26) функцию 
. Затем перенесём 
в правую часть. Добавив к обеим частям записанного равенства , получим новое уравнение:
(27)
Это уравнение будем решать методом простой итерации:
(28)
В качестве начального приближения (28) выберем 
. Решение будем считать найденным, если верхняя граница разности 
меньше заданной точности 
. Сходимость итерационного процесса (28) чаще всего будет хорошей, так как функции 
и почти обратные и производная правой части по близка к нулю. На рис. 7 и 8 приведены численные решения (28) для условий (23), (24) и условия минимального коэффициента корреляции между определяемой скоростью и глубиной 
. Интересно, что условие максимального коэффициента корреляции приводит к расходимости итераций (28).
В качестве априорной информации для определения коэффициентов и в (22) можно попытаться использовать сглаженные кривые как средние скорости, к которым решение (22) должно быть максимально близко:
(29)
Здесь 
сглаженная кривая на базе сглаживания 
. На рис. 9 показаны графики среднеквадратичных отклонений пластовых скоростей и глубин, полученных в результате решения (28) при условии (29), от истинных (модельных) скоростей и глубин в зависимости от базы сглаживания . Графики свидетельствуют - наилучшая оценка пластовых (средних) скоростей путём сглаживания , достигается при максимальной базе сглаживания, т. е. наилучшей оценкой является постоянная пластовая скорость равная среднему значению . Любая другая сглаженная кривая хуже соответствует пластовым скоростям, чем это среднее значение.
Литература
1. А. Временные поля отражённых волн в трёхмерных слоистых средах со слабо криволинейными границами раздела слоёв и латерально-неоднородными слоями, Новосибирск «Наука» Сибирское отделение 1988, с 98-128
2. М. Вольф, Основы оптики, - «Наука» 1970 с.172
3. Н., Ф., Итеративный алгоритм определения пластовых скоростей по данным метода ОГТ. – «Прикладная геофизика», вып. 78, М., «Недра», 1976
4. В., А., Б. Способ оценки эффективных скоростей. Геология и геофизика. – 1991 №10 с 89 - 97.
5. М. М. Лаврентьев, В. Г. Васильев, В. Г. Романов. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений, - «Наука», 1969 с 40-43
6. С. А. Интерпретация эффективных параметров для пространственной системы однородных слоёв с криволинейными границами. Геология и геофизика. – 1979 №12 с 112-119.
7. Р. Шерифф, Л. Гельдарт, Сейсморазведка, Том 2, Москва «Мир», 1987 с. 240
8. Dennis, J. E., Jr., and Robert B. Schnabel, Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey., 1983
9. Gill, Philip E., Walter Murray, and Margaret Wright (1981), Practical Optimization, Academic Press, New York.
10. Lynn Walter S, Claerbout F., Velocity estimation varying media, Geophysics, Vol 47, № 6, p. 884-897, 1982.
11. Mayne W H. Common-reflection-point horizontal data-staking techniques: Geophysics, 27, 927-38, 1962.
12. Nelder, J. A., and R. Mead (1965), A simplex method for function minimization, Computer Journal 7, 308-313.
13. Taner M. T., Koehler F. Velocity spectra-digital computer derivation and applications of velocity function. Geophysics, v. 34, p. 859 – 81, 1969.
* Определяемые таким образом параметры и называют предельными или дифференциальными, в отличие от интегральных – соответствующих гиперболе, наилучшим образом приближающейся к годографу ОГТ 
для всех . В приведённых ниже расчётах использовались интегральные параметры, но в рассматриваемое задаче их различие с предельными не существенно.
* Расчёт производился путём вычисления времён (3) при котором, для выполнения принципа Ферма (4) использованы программы оптимизации метода квази-Ньютона с конечно-разностной аппроксимацией производных (Dennis and Schnabel, 1983), и поливершинного метода (Nelder and Mead,1965) и (Gill et al., 1981). Сравнение этих методов в задаче поиска лучей показало, что при заданной точности, поливершинный метод быстрее, а метод квази-Ньютона надёжнее. Далее, находились интегральные параметры и путем аппроксимации годографов ОГТ методом квази-Ньютона. Заметим также, что задача решалась для трёхмерной сеточной модели скоростей и границ, где интерполяция в сетках выполнена по билинейным функциям (непрерывность между прямоугольниками сетки). Вычисления производились для расстановки ОГТ на заданном профиле, пространственный сейсмический снос для заданных сеток глубин и скоростей не имел особого значения, так как, не превышая 50 метров.
** Рельеф отражающей границы получен на …… площади Ямал Скорости получены…….
* Это равенство свидетельствует о том, что метод общей глубинной точки (Mayne W H., 1962) действительно имеет отношение к глубинной точке (), являющейся основанием нормального луча к отражающей границе: половина второй производной годографа волны, выходящей из основания нормального луча совпадает со второй производной годографа ОГТ. С точки зрения теории изображений (см. например М. Борн, Э. Вольф 1970), эта точка является точкой рассеивания на границе. Рассеивание фокусируется с помощью линзы в точку изображения на временном разрезе. Роль фокусировки линзы выполняет суммирование сейсмограмм ОГТ по симметричным гиперболическим годографам. Гиперболические годографы означают, что при суммировании используется информация лишь о вторых производных годографа ОГТ. Это потому, что симметричная гипербола суммирования определяется второй производной годографа ОГТ в точке (см. (10) и (11)). Таким образом, процедура суммирования по гиперболе приводит к выделение глубинной точки, как точки изображения.
* Второй производная медленности вычислялась путём параболической аппроксимации медленности на базе 1/3 расстановки ОГТ. Такая базы была выбрана из условия наилучшего совпадения интегральных и предельных параметров ОГТ.
* Это уравнение вынужденных колебаний без затухание в котором время заменено на пространство.
Основные порталы (построено редакторами)