МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ» (МИИГАиК)
Утвержден
Учебно-методической
комиссией МИИГАиК
от «____»__________2014__ г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Математические методы обработки и анализа пространственных данных
Направление
120100 Геодезия и дистанционное зондирование
Профиль
1. Исследование природных ресурсов методами дистанционного зондирования
Квалификация (степерь)
Бакалавр
Форма обучения
очная
Москва
2014 год
1. Пояснительная записка
Цели и задачи курса
Курс «Математические методы обработки и анализа пространственных данных» («ММ») знакомит студента с задачами, возникающими при описании объектов из выбранного им направления обучения в терминах математических моделей, и с методами их решения с использованием вычислительной математики и компьютерных технологий. Рассматриваются необходимые дополнительные разделы теоретической и вычислительной математики, базовые прикладные примеры.
Целью изучения курса «ММ» является:
· подготовка студентов к деятельности, связанной с использованием математического моделирования;
· формирование профессиональных компетенций, определяющих способность студента к использованию теоретических знаний и практических навыков при разработке, анализе и применении математических моделей для решения профессиональных задач.
В результате изучения курса «Математические методы обработки и анализа пространственных данных» студент должен демонстрировать следующие результаты обучения:
· иметь представление об основных подходах к организации процесса обработки пространственных измерений. создания информационных систем и соответствующих им математических моделей; о популярных системах программирования; о методах программирования и методах разработки эффективных алгоритмов решения прикладных задач;
· знать основные стадии процесса разработки математических моделей, возможные различные методы их создания и постановки вопросов, па которые модели могут дать ответ;
· уметь формализовать поставленную задачу; выбирать необходимые теоретические и инструментальные средства для разработки и исследования получаемых при моделировании результатов; составлять, тестировать, отлаживать и модернизировать разрабатываемые модели.
Виды занятий и методики обучения
При реализации программы дисциплины «Математические методы обработки и анализа пространственных данных» в часы, отведенные для аудиторных занятий (98 ч), занятия проводятся:
· в виде лекций (32 ч.) ;
· в виде лабораторных работ (66 ч.) в компьютерном классе;
· в виде самостоятельной работы студентов под руководством преподавателя по выполнению индивидуальных расчетно-графических работ.
Формы контроля
Рубежный контроль.
В течение семестра студенты, руководствуясь учебно-тематическим планом, выполняют лабораторные работы. Выполнение всех работ является обязательным для обучающихся. Студенты, не выполнившие в полном объёме лабораторные работы, не допускаются кафедрой к сдаче экзамена.
Итоговый контроль по курсу.
Для контроля усвоения данной дисциплины учебным планом предусмотрен - экзамен. Оценка за экзамен является итоговой по дисциплине и проставляется в Приложении к диплому.
Методические рекомендации по изучению дисциплины
• советы по планированию и организации времени, необходимого на изучение дисциплины,
• описание последовательности действий или «сценарий изучения дисциплины»;
• рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса,
• рекомендации по работе с литературой;
• советы по подготовке к экзамену (зачёту);
2. Учебно-тематический план курса
№ п/п | Раздел дисциплины | Виды аудиторной работы (занятий) (час) | СРС (час) | |||
Лекции | Семинары | Практи-ческие | Лабора-торные | |||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
1 | Геопространственные данные (введение). | 2 | 4 | |||
2 | Методы работы в системе MathCad | 4 | ||||
3 | Линейные пространства и отображения. Матричпые преобразования. Спектральная теория. | 12 | 22 | |||
4 | Обусловленность систем | 5 | 10 | |||
5 | Метод наименьших квадратов и теория псевдорешений СЛАУ | 5 | 10 | |||
6 | Общая модель обработки пространственных измерений | 3 | 6 | |||
7 | Аппроксимация и интерполяция в одномерном случае | 5 | 10 | |||
Аттестация (экзамен) | 27 | |||||
ИТОГО: | 32 | 66 | 46 |
Программа дисциплины (содержание курса)
Раздел 1. Геопространственные данные (введение)
Основные понятия и определения о геопространственных данных.
Раздел 2. Методы работы в системе MathCad
Символьные вычисления. Виды графиков. Редактирование результатов.
Анализ эффективности решения трансцендентных уравнений методами дихотомии, хорд, касательных, простой итерации.
Раздел 3. Линейные пространства и отображения. Матричпые преобразования. Спектральная теория
Линейные пространства (вещественные и комплексные). Евклидовы и унитарные пространства. Линейные отображения и преобразования, их матричное представление. Переход к новому базису. Преобразования подобия. Ортогонализация Грамма-Шмидта. Матрицы перестановок. Собственные значения и собственные векторы. Самосопряжённые операторы. Сингулярные числа и базисы.
Раздел 4. Обусловленность систем
Зависимость решения от параметров. Плохо обусловленные СЛАУ и число обусловленности. Методы ортогонализации при решении таких систем.
Раздел 5. Метод наименьших квадратов и теория псевдорешений СЛАУ
Решение уравнений и систем по м. н.к. Псевдорешение и нормальное псевдорешение. Нормальная система уравнений. Псевдообратный оператор.
Раздел 6. Общая модель обработки пространственных измерений
Описание сложной системы при наличии ошибок измерений. Система уравнений поправок и методы её решения.
Раздел 7. Аппроксимация и интерполяция в одномерном случае
Различные критерии в задаче приближения функций. Интерполяция. Полиномы Лагранжа. Многочлены Чебышева. Конечные и разделённые разности. Аппроксимация по м. н.к. Сплайны. Кривые Безье. Многомерная аппроксимация.
Планы практических (лабораторных) занятий
№№ | Тема | Отчетность | Балл |
1 | Геопространственные даппые | Ответы на занятиях, выполнение работ на ПК | |
2 | Вычисления и графики в Mathcad Трансцендентные уравнения | Ответы на занятиях, выполнение работ на ПК | |
3 | Линейные пространства и отображения Матрицы и их свойства Спектральные свойства операторов | Ответы на занятиях, выполнение работ на ПК | |
4 | Обусловленность систем | Ответы на занятиях, выполнение работ на ПК | |
5 | Метод наименьших квадратов | Ответы на занятиях, выполнение работ на ПК | |
6 | Обработка измерений | Ответы на занятиях, выполнение работ на ПК | |
7 | Аппроксимация и интерполяция | Ответы на занятиях, выполнение работ на ПК |
3. Темы курсовых работ
Данный вид работы не предусмотрен учебным планом.
4. Методические рекомендации по выполнению курсовых работ
Данный вид работы не предусмотрен учебным планом.
Контрольные вопросы по курсу (вопросы к экзамену)
1. Основные понятия и определения по геопространственным данным.
2. Линейные пространства (определения и примеры).
3. Линейное подпространство, порождённое системой векторов. Определение линейной зависимости/независимости системы векторов. Размерность линейного пространства.
4. Базис линейного пространства. Примеры. Ранг системы векторов.
5. Изоморфизм линейных пространств. Критерий изоморфизма конечномерных линейных пространств.
6. Скалярное произведение. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами.
7. Нормированное пространство. Примеры норм в линейном пространстве. Метрическое пространство.
8. Ортогональные и ортонормированные базисы. Ортогонализация Грама – Шмидта.
9. QR-разложение матриц.
10. Перестановки. Матрицы перестановок.
11. NDRP-разложение матриц.
12. Линейные отображения и преобразования (определения и свойства). Примеры.
13. Матрица линейного отображения. Изоморфизм между матрицами и линейными отображениями.
14. Матрицы линейного преобразования в разных базисах. Собственные значения и векторы линейного преобразования.
15. Сопряжённые отображения и преобразования. Их простейшие свойства. Связь между матрицами сопряжённых отображений/преобразований. Матрица Грама.
16. Самосопряжённые преобразования, свойства их собственных значений и собственных векторов.
17. Преобразования вида A*A и AA*. Их свойства.
18. 1-й и 2-й сингулярные базисы.
19. Матрица оператора в сингулярных и произвольных ортонормированных базисах.
20. Обусловленность системы уравнений. Меры обусловленности. Способы работы с плохо обусловленной системой.
21. Модели измерений. Источники ошибок. Запись модели измерений в виде системы уравнений поправок.
22. Метод последовательных приближений для решения системы уравнений поправок.
23. Решение системы по методу наименьших квадратов.
24. Псевдообратный оператор. Скелетное разложение матриц.
25. Задачи приближения функций. Методы интерполяции.
26. Многочлены Лагранжа, их свойства.
27. Разделённые и конечные разности, их применение.
28. Полиномы Чебышева. Их свойства и применение.
29. Сплайны. Их определение и возможности применения.
30. Общий алгоритм аппроксимации функций по м. н.к.
31. Аппроксимация функций через систему ортогональных функций. Ортогональные функции Лежандра, Фурье, Чебышева.
32. Оценка точности аппроксимаций. Полная система функций.
33.Постановка задачи о приближении функций нескольких переменных.
5. Варианты контрольных работ для студентов заочной формы обучения
Данный вид работы не предусмотрен учебным планом.
6. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ студентами заочного отделения
Данный вид работы не предусмотрен учебным планом.
7. Список основной и дополнительной литературы
а) основная литература:
1. Г., М. Методы вычислений в геодезии. Учебное пособие. М.: Недра, 1988, 304с.
2. Г., В. Методы линейной алгебры. Учебное пособие. М.: МИИГАиК, 2007, 96с.
3. П., А. Основы вычислительной математики, Наука, 2011г.
б) дополнительная литература:
1. Mathcad 2000 полное руководство. (Пер. с нем.) Киев:Изд. Группа BHV, 2000,416с.
2. В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983, 336с.
3. Дж. Демлиль. Вычислительная линейная алгебра. Теория и практика. Пер с англ. М: Мир, 2001, 430 стр.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
программные пакеты Mathcad, Excel и другие; информационно-справочные и поисковые системы: образовательный математический сайт «Exponenta» и другие учебные сайты и форумы интернета.
Выписка из федерального государственного образовательного стандарта (ФГОСТа)
В результате изучения курса «Математические методы обработки и анализа пространственных данных» студент должен:
Знать:
· роль и место математических методов обработки и анализа пространственных данных на ЭВМ, принципы математического моделирования, базисные понятия теории линейных пространств и линейных операторов, ОПК-2.
Уметь:
· работать в среде MathCad, решать трансцендентные уравнения и системы, решать системы линейных алгебраических уравнений разными методами (в том числе методом наименьших квадратов), исследовать обусловленность таких систем, ПК-7;
· пользоваться информацией из Интернета, ОПК-3;
Владеть:
· методиками аппроксимации функций и их использованием для обработки и анализа пространственной информации, ПК-11.
8. Словарь терминов и персоналий (глоссарий)
Базис линейного пространства – такой набор векторов линейного пространства, что любой элемент пространства однозначно выражается как их линейная комбинация.
Линейные отображения – отображения одного пространства в другое, при которых сумма векторов отображается в сумму образов слагаемых и произведение вектора на число отображается в произведение его образа на то же число.
Линейное пространство – множество с операциями сложения его элементов и умножения их на числа, при выполнении определённых аксиом.
Метод наименьших квадратов – метод нахождения в выбранном классе функций такой функции, которая даёт при подстановке в данное уравнение или систему минимальную невязку по квадратичной норме.
Метод последовательных приближений – нахождение решения урквнения или системы путём последовательного уточнения приближённого решения по некоторому алгоритму.
Нормированное пространство – линейное пространство с заданной на его векторах функцией (нормой), значения которой характеризуют “величину” векторов (при выполнении определённых аксиом).
Обусловленность системы уравнений – термин, выражающий зависимость решения от коэффициентов уравнения.
Собственные значения и векторы линейного преобразования – векторы, которые под действием преобразования умножаются на число (называемое собственным значением).
Сплайпы – используемые для приближения сложных функций гладкие функции, кусочно представляющие собой многочлены.
Основные порталы (построено редакторами)