Практикум 2-06. Колебательный контур. Характеристики электромагнитных колебаний

Практикум 2-06. Колебательный контур. Характеристики электромагнитных колебаний.

Гармонические электрические колебания в LC контуре – это колебания, при которых изменение состояния системы происходит по закону синуса или косинуса

(1)

(2)

(3)

Частота колебаний

, (4)

где (5)

- индуктивность катушки, - число витков на единицу длины; электроемкость конденсатора определяется

(6)

где - площадь обкладок, - расстояние между обкладками конденсатора.

Колебательный контур

(7)

Определим параметры и , тогда (7) принимает вид

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Логарифмический декремент затухания колебательного контура есть

(13)

Добротность системы характеризует темп релаксации (затухания) в колебательном контуре и определяется как произведение на отношение энергии, запасенной системой в момент времени к убыли этой энергии на период колебания, (14)

Пример 6.1. Конденсатор электроемкостью пФ соединен параллельно с катушкой длиной м и площадью сечения провода см2. Катушка содержит витков. Сердечник катушки немагнитный. Определить период колебаний.

Решение

Период колебаний заряда (тока) в LC-контуре определяется формулой Томсона , где, согласно (5), индуктивность катушки равна Гн. Подставим численные значения величин в формулу Томсона, получим с.

Ответ: мкс.

Пример 6.2. Ток в колебательном контуре зависит от времени как , где мА, с-1. Электроемкость конденсатора равна мкФ. Найти индуктивность контура и напряжение на конденсаторе в момент времени .

Решение

Используем второе правило Кирхгофа для LC-контура и запишем , где ЭДС самоиндукции равна , таким образом . Индуктивность катушки найдем из (4): . Подставляем численные значения величин, получаем Гн, при разность потенциалов на обкладках конденсатора равна В.

Ответ: Гн, В.

Пример 6.3. В контуре левый конденсатор заряжен до напряжения В. В момент t = 0 замыкают ключ. Написать зависимость напряжения на конденсаторах от времени. Электроемкости конденсаторов равны 0.047 мкФ, индуктивность катушки 1 мГн.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Решение

В начальный момент времени левый конденсатор заряжен до напряжения , тогда электрический заряд в контуре равен . При замыкании заряд начнет перетекать из левого конденсатора в правый, этот процесс описывается уравнением, согласно правилу Кирхгофа, , где , и , знак «-» для правого конденсатора направление обхода противоположно направлению электрического поля в конденсаторе. Учитывая, что и , а , получаем следующее уравнение

, , где и . Решением этого уравнения является гармоническая функция , амплитуду и начальную фазу определим из начальных условий: и . Из последней записи следует что , тогда . Окончательно, заряд и напряжение на левом конденсаторе изменяется как и . Аналогично, заряд и напряжение на правом конденсаторе изменяется как и .

Ответ: 1) с-1; 2) .

Пример 6.4. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью мкГн и конденсатора электроемкостью нФ. Величина емкости может отклоняться от указанного значения на 2%. Вычислить в каких пределах может изменяться длина волны, на которой резонирует контур.

Решение

Со школьной скамьи известна связь частоты колебаний с длиной волны:

(15)

Циклическая частота колебательного контура равна . Величина емкости конденсатора известна с ошибкой , т. е. . Таким образом, длина волны лежит в диапазоне от до , где

. Тогда . Итак, м и м

Ответ: м и м

Пример 6.5. Ток в колебательном контуре зависит от времени как , где мА, с-1. Индуктивность контура равна Гн. Найти электроемкость конденсатора и максимальные энергии магнитного и электрического поля.

Решение

Используем второе правило Кирхгофа для LC-контура и запишем , где ЭДС самоиндукции равна , таким образом . Период колебаний найдем из (4): , электроемкость конденсатора также найдем из (4): , а максимальные значения магнитного поля: и электрического поля: . Подставляем численные значения величин, получаем мс, мкФ, мДж.

Ответ: мс, мкФ, мДж.

Пример 6.6. Колебательный контур имеет емкость нФ и катушку длиной м из медной проволоки диаметром мм. Найти логарифмический декремент затухания.

Решение

По умолчанию считается, что намотка катушки произведена плотно виток к витку в один слой.

Расчет логарифмического декремента затухания выполним по (13): , где - омическое сопротивление контура (катушки), - длина провода, - радиус поперечного сечения катушки, - площадь поперечного сечения медного провода, мкОм·м – удельное сопротивление меди, тогда .

Число витков плотной намотки рано , а . Индуктивность катушки равна и . Итак, логарифмический декремент затухания равен . Подставляем численные значения величин, получаем .

Ответ: .

Аудиторная работа 6.

А6.1. Катушка индуктивностью мГн и воздушный конденсатор, состоящий из двух круглых пластин диаметром см каждая, соединены параллельно. Расстояние между пластинами равно см. Определить период колебаний заряда в контуре.

А6.2. Катушка индуктивностью мГн и конденсатор электроемкостью пФ. Каково максимальное напряжение на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока мА?

А6.3. В колебательном контуре индуктивность катушки равна 2.5 мГн, а электроемкости конденсаторов и мкФ. Конденсаторы зарядили до напряжения 180 В и замкнули ключ К. Определить: 1) частоту собственных колебаний; 2) амплитудное значение тока через катушку (0.7 мс; 8.05 А).

А6.4. На какую длину волны будет резонировать контур, состоящий из катушки индуктивностью мкГн и конденсатора электроемкостью нФ ( м).

А6.5. В LC-контуре и при . Через какую долю периода, считая от начального момента , энергия впервые распределиться поровну между катушкой и конденсатором? Каким в этот момент будет заряд конденсатора? (,)

А6.6. Катушка индуктивностью 5.07 мГн и воздушный конденсатор электроемкостью мкФ, соединены параллельно. При каком логарифмическом декременте затухания разность потенциалов на обкладках конденсатора за 1 миллисекунду уменьшится в три раза? ().

Задание на дом: [1]: 26.21, 26.18, 26.22;

В6.4. Колебательный контур состоит из конденсатора, электроемкостью мкФ, катушки индуктивности мГн с пренебрежимо малым сопротивлением и ключа. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения В и затем в момент времени замкнули ключ. Найти: 1) ток в контуре как функцию времени; ЭДС самоиндукции в катушке в моменты, когда электрическая энергия конденсатора равна энергии тока в катушке.

В6.5. Найти отношение энергии магнитного поля колебательного контура к энергии его электрического поля для момента времени ().

В6.6. Колебательный контур состоит из конденсатора, электроемкостью нФ, катушки индуктивности мГн. Логарифмический декремент затухания равен За какое время вследствие затухания потеряется 99% энергии? (6.8 мс).