Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Задача F «Ёлка» (“Fir-tree”)
Математики из Института новогодних исследований разработали математическую модель новогодней ёлки. В этой модели предполагается, что ёлка имеет форму шара с единичным радиусом. Наибольшую сложность при построении модели вызвало моделирование ёлочной гирлянды.
Ёлочная гирлянда моделируется кривой, расположенной на поверхности шара. Кривая начинается в верхней точке сферы, а заканчивается в нижней точке сферы, при этом кривая делает ровно N оборотов вокруг сферы.
Опишем более подробно, как выглядит кривая. Рассмотрим сферические координаты j (долгота) и q (широта). Начальное значение долготы равно 0, долгота делает ровно N оборотов, и конечное значение снова равно 0. Начальное значение широты равно 90°, конечное значение равно –90°. При этом приращение широты q прямо пропорционально приращению долготы j.
Требуется найти длину кривой, моделирующей ёлочную гирлянду.
Ограничения
1 £ N £ 10
Формат входного файла
Входной файл содержит единственное целое число N.
Формат выходного файла
Требуется вывести в выходной файл длину кривой с точностью до 3-х знаков после запятой.
Решение
Найдём параметрическое представление кривой 
. В качестве параметра t возьмём количество оборотов. t изменяется от 0 до N.
, 
, здесь константа C определяется из условия 
, следовательно, 
, 
.
Теперь осталось найти 
, 
и 
. Можно показать, что
.
Итак,
,
,
.
Длина кривой равна 
,
,
,
Интеграл можно взять численно по формуле трапеций. Можно было бы не сводить криволинейный интеграл к интегралу от t, а аппроксимировать кривую ломаной.
Основные порталы (построено редакторами)