|
(функции многих переменных),
2 семестр,
вариант – 25
1. Найти область определения функции 
. Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции 
изобразить линии уровня z = 0,5; –1; 2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
, z = |y| .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = x2 + y2, определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(1, –7), В(–7, –1), С(–5, –12).
5. Для функции 
проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа 
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции 
в точке (2,002; 7,996).
7. Исследовать на экстремум функцию z = x3y – 3xy – y2 . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении 
произвести замену независимых переменных 
.
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x + 2y при условии
x2 + 2y2 – 2x – 4y =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 7 и 8 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 168, чтобы функция полезности U = xy2 была максимальной.
|
(функции многих переменных),
2 семестр,
вариант – 26
1. Найти область определения функции 
. Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции 
изобразить линии уровня z = 0,5; –1; 2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
.
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = y – 2x, определить её наибольшее и наименьшее значения в области, ограниченной линиями у = – х2 , у = х – 2 .
5. Для функции 
проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции 
в точке (2,005; 0,99).
7. Исследовать на экстремум функцию z = xy3 – 3xy – x2 . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении 
произвести замену независимых переменных .
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x2 + y2 при условии
x2 + y2 – 8x – 12y + 39 =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 12 и 1 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = x3y приняла значение U = 4 .
|
(функции многих переменных),
2 семестр,
вариант – 27
1. Найти область определения функции 
. Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции 
изобразить линии уровня z = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
z = 4 – x2 – y2 , .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = (у + 2)/(x + 2), определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(1, 4), В(5, 1), С(6, 5).
5. Для функции 
проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции 
в точке (1,0012; 0,9994).
7. Исследовать на экстремум функцию z = x3y + xy2 – 5xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение x3(3y+2)–y2(2xy3+3) = 0 удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении 
произвести замену независимых переменных 
.
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 3x + 4y при условии
x2 + 2y2 – 3x – 4y =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 5 и 6 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 90, чтобы функция полезности U = x2y была максимальной.
|
(функции многих переменных),
2 семестр,
вариант – 28
1. Найти область определения функции 
. Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции 
изобразить линии уровня z = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
z = 0, z = ln(x2 + y2 ), .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = (х + 2)/(y + 2), определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(2, 5), В(4, 1), С(6, 4) .
5. Для функции 
проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции 
в точке (1,004; 0,996).
7. Исследовать на экстремум функцию z = xy3 + x2y – 5xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении 
произвести замену независимых переменных .
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x2 + y2 при условии
x2 + y2 – 12x – 18y + 104 =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 12 и 2 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = x3y приняла значение U = 32 .
|
(функции многих переменных),
2 семестр,
вариант – 29
1. Найти область определения функции 
. Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции 
изобразить линии уровня z = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
z = 4 – x2 – y2 , z = ln(x2+ y2 ), z = 0 .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = у/x2, определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(2, 1), В(6, 1), С(2, 5).
5. Для функции 
проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции 
в точке (3,0025; 3,9975).
7. Исследовать на экстремум функцию z = (y2 – x2)(x2 – 4) . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении 
произвести замену независимых переменных 
.
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 5x + 4y при условии
x2 + 2y2 – 5x – 4y =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 8 и 4 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 160, чтобы функция полезности U = x3y2 была максимальной.
|
(функции многих переменных),
2 семестр,
вариант – 30
1. Найти область определения функции 
. Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции 
изобразить линии уровня z = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
x2+y2– x = 0, , z = 0 .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = x(y – 2), определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(1, 3), В(5, 3), С(5, 7) .
5. Для функции 
проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции 
в точке (1,001; 0,998).
7. Исследовать на экстремум функцию z = (x2 – y2)(y2 – 4) . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении 
произвести замену независимых переменных .
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x2 + y2 при условии
x2 + y2 – 16x – 24y + 195 =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 8 и 3 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = x2y приняла значение U = 36 .
Основные порталы (построено редакторами)