Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Впервые он был опубликован в работе Тернера, Клужа, Мартина и Топпа. Эта работа способствовала появлению других работ: был опубликован ряд статей с применением метода конечных элементов к задачам строительной механики и механики сплошных сред. В строительной механике метод конечных элементов минимизацией потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе уравнений равновесия.
Связь метода конечных элементов с процедурой минимизации привела широкому использования его при решении задач в других областях техники. Область применения метода конечных элементов также существенно расширилась, когда было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галёркина или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании метода конечных элементов, так как позволило применять его при решении любых дифференциальных уравнений. Следует отметить, что более общие теоретические обоснования исключают необходимость вариационной формулировки физической задачи.
Метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения систем дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Этот прогресс был достигнут за счет совершенствования быстродействующих цифровых вычислительных машин, необходимых для более точного расчета конструкций летательных аппаратов.
Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную функцию можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области.
В общем случае значения непрерывной функции заранее известны, и нужно определить значения этой величины в некоторых внутренних точках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить, если сначала предложить, что численные значения искомой функции в каждой внутренней точке области известны.
Построение дискретной модели состоит из нескольких этапов.
- В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами.
- Значения непрерывной функции в каждой узловой точке считаются неизвестными, которые должны быть определены.
- Область определения разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.
- Непрерывная функция аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность функции вдоль границы элемента.
Важным аспектом метода конечных элементов является возможность выделить из набора элементов типичный элемент при определении функции элемента. Это позволяет определять функцию элемента независимо от относительного положения элемента в общей связной модели и от других функций элементов. Задание функции элемента через произвольное множество узловых значений и координат позволяет использовать функции элемента для аппроксимации геометрии области.
Наиболее важными преимуществами метода конечных элементов являются следующие:
- свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми, что позволяет применять метод к телам, составленным из нескольких материалов;
- криволинейная область может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов или описана с помощью криволинейных элементов, то есть методом можно пользоваться не только для областей с «хорошей» формой границы;
- размеры элементов могут быть переменными, что позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы, если в этом есть необходимость;
- с помощью метода конечных элементов не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.
Главный недостаток метода конечных элементов заключается в необходимости составления вычислительных программ и применения вычислительной техники. Вычисления, которые требуется проводить при использовании метода конечных элементов, слишком громоздки для ручного счета даже в случае решения очень простых задач. Для решения сложных задач необходимо использовать быстродействующую вычислительную технику, обладающую большим объемом оперативной памяти.
Как уже отмечалось, при расчете поля численным методом предпочтительнее определять электромагнитные силы и электромагнитные моменты через натяжения или через объемную и поверхностные плотности электромагнитных сил. Наиболее часто в программных средствах численного моделирования для расчета электромагнитного момента применяют тензоры натяжения в магнитном поле. И. Иванов-Смоленский в своей работе [4] предлагает определять электромагнитный момент следующим выражением:
, (2.5)
где 
- вектор, определяющий положение объема 
, ограниченного поверхностью 
, относительно некоторой точки на оси, относительно которой определяется момент 
;
- вектор натяжения на поверхности .
Натяжение в магнитном поле было определено Максвеллом в 1862 г. В одной из его ранних работ «О физических силовых линиях», в которой были обоснованы и его основные уравнения. Согласно работе [4] в современных обозначениях и в системе СИ формулу Максвелла для тензора натяжения записывают следующим образом:
, (2.6)
где 
- вектор индукции в рассматриваемой точке поверхности;
- магнитная проницаемость среды в этой точке;
- нормальный орт к той стороне поверхности, на которую действует натяжение ;
- нормальная составляющая индукции.
Как видно из формулы (2.6), тензор натяжения определяется через параметры поля в определенных точках системы. Решения, полученные методом конечных элементов, представляют собой именно совокупность значений описывающей поле функции в дискретных точках, равномерно распределенных по всей области поля. Эти значения находятся путем замены одного описывающего поле дифференциального уравнения с частными производными системой простых уравнений в конечных разностях, которые имеют вид линейных уравнений, связывающие значения потенциала в каждой точке со значениями потенциала в других точках, окружающих ее. Таким образом, определение поля сводится к решению совместных уравнений.
В настоящее время существует достаточно много программных продуктов для расчета электромагнитных полей, основанных на методе конечных элементов. Можно подобрать программный продукт практически для любой задачи. Следует отметить, что многие коммерческие программы чрезвычайно дороги (речь идет о десятках тысяч долларов), но в отличие от дешевых и бесплатных программных пакетов, они способны представить более высокое качество и скорость решения задач.
Один из наиболее мощных коммерческих программных продуктов – это ANSYS. ANSYS известен на рынке уже более двадцати лет и является наиболее распространенным средством для научных и инженерных расчетов. Теперь эта программа очень широко распространена в России. Она изучается студентами многих различных вузов. Особенностью ANSYS является чрезвычайно широкий спектр задач, которые он в состоянии решать. Эта программа не требует предварительного проведения сложных математических преобразований.
Средства расчета электромагнитных полей, реализованные в программе ANSYS, делают доступными три типа анализа:
- двумерные плоские, осесимметричные и трехмерные стационарные электромагнитные поля;
- двумерные плоские, осесимметричные и трехмерные низкочастотные переменные электромагнитные поля;
- трехмерные высокочастотные электромагнитные поля.
Используемая в программе ANSYS конечно-элементная формулировка рассматриваемого вида анализа основана на уравнениях Максвелла для электромагнитных полей [19, 20]. Введением скалярного или векторного потенциала в эти уравнения и установлением определяющих соотношений пользователь получить уравнения, которые удобны для конечно-элементного анализа.
Программа ANSYS представляет в распоряжение пользователя линейные и нелинейные характеристики магнитных веществ, включая значения магнитной проницаемости для изотропных и ортотропных материалов, кривые намагничивания для магнитомягких материалов и кривые размагничивания для постоянных магнитов.
При анализе СГ имеют место низкочастотные переменные электромагнитные поля, для которых в результате расчета в ANSYS определяются следующие параметры: комплексный векторный потенциал, скалярный потенциал, плотность магнитного потока и напряженность электромагнитного поля.
При обработке результатов имеется возможность получить картину силовых линий, плотность магнитного потока и напряженность магнитного поля, а также выполнить расчеты сил, моментов, мощности источника, коэффициентов самоиндукции и других параметров.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Основные порталы (построено редакторами)