Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Введение.
Мы уже говорили о том что для нахождения общего решения линейного однородного уравнения надо знать хотя бы одну фундаментальную систему его частных решений. Однако у нас нет общего метода, позволяющего найти фундаментальную систему решений для произвольного линейного уравнения. Поэтому мы ограничимся рассмотрением важного частного случая, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны. В этом частном случае задача разыскания фундаментальной системы решений легко может быть решена до конца.
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
В этой лекции будет рассмотрен частный случай линейных уравнений второго порядка, когда коэффициенты уравнения постоянны, т. е. являются числами. Такие уравнения называются уравнениями с постоянными коэффициентами. Этот вид уравнений находит особенно широкое применение. Рассмотрим уравнение:
в котором коэффициенты ао, а1, а2, постоянны, причем ао ¹ 0. Разделив все члены уравнения на ао и обозначив а1/ао=р, а2/ао=q, запишем данное уравнение в виде
(1)
Как известно, для нахождения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка достаточно знать его фундаментальную систему частных решений. Покажем, как находится фундаментальная система частных решений для однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Будем искать частное решение этого уравнения в виде
(2)
Дифференцируя эту функцию дважды и подставляя выражения для 
в уравнение (1) получим
Так как 
¹ 0, то, сокращая на , получим уравнение
(3)
Из этого уравнения определяются те значения k, при которых функция служит решением уравнения (1).
Алгебраическое уравнение (3) для определения коэффициента k называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (1).
Характеристическое уравнение является уравнением второй степени и имеет, следовательно, два корня. Эти корни могут быть либо действительными различными, либо действительными и равными, либо комплексными сопряженными.
Рассмотрим, какой вид имеет фундаментальная система частных решений в каждом из этих случаев.
1. Корни характеристического уравнения действительные и различные: k1¹k2. В этом случае по формуле (2) находим два частных решения: 
, 
.
Эти два частных решения линейно независимы, так как 
(ведь 
). Поэтому они образуют фундаментальную систему решений.
Следовательно, общее решение уравнения согласно формуле имеет вид
2. Корни характеристического уравнения равные: k1 = k2. В этом случае оба корня будут действительными. По формуле (2) получаем только одно частное решение :
Покажем, что второе решение 
, образующее вместе с первым фундаментальную систему, вид: 
Прежде всего проверим, что функция является решением уравнения (1). Действительно,
Но 
, так как 
есть корень характеристического уравнения (3). Кроме того, по теореме Виета 
. Поэтому
. Следовательно, 
, т. е. функция действительно является решением уравнения (1).
Найденные частные решения и 
образуют фундаментальную систему решений, так как они линейно независимы:
Таким образом, в этом случае общее решение однородного линейного уравнения имеет вид
или 
(4)
3. Корни характеристического уравнения комплексные. Как известно, комплексные корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами являются сопряженными комплексными числами, т. е. имеют вид 
, 
В этом случае частные решения уравнения (1), согласно формуле (2), записываются следующим образом:
; 
Применяя формулы Эйлера, выражения для у1 и у2 можно записать в виде
; 
Эти решения являются комплексными. Чтобы получить действительные решения, рассмотрим новые функции
; 
;
Они являются линейными комбинациями решений у1 и у2 и, следовательно, сами являются решениями уравнения (1).
Решения 
и 
образуют фундаментальную систему решений, так как они линейно независимы.
Таким образом, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид
или 
(5)
Приведем в заключение таблицу формул общего решения уравнения (1) в зависимости от вида корней характеристического уравнения.
Дифференциальное уравнение |
| ||
Характеристическое уравнение |
| ||
Корни характеристического уравнения |
|
|
|
Фундаментальная система частных решений |
|
|
|
Вид общего решения |
|
|
|
Пример 1. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид 
. Его корни k1 = -2, k2 = -3
Фундаментальная система частных решений: 
, 
Общее решение уравнения имеет вид
Пример 2. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Характеристическое уравнение 
имеет равные корни 
. Фундаментальная система частных решений: 
, 
Общее решение уравнения
Пример 3. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Характеристическое уравнение 
имеет корни 
, 
. Здесь α = -2, β = 3. Фундаментальная система частных решений: 
, 
Общее решение уравнения: 
Пример 4. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Характеристическое уравнение 
имеет корни
, 
.
Здесь α = 0, β =
. Фундаментальная система частных решений:
, 
. Общее решение уравнения
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Структура общего решения.
Рассмотрим теперь основные свойства линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
(6)
Линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью неоднородного уравнения (6), в дальнейшем будем называть соответствующим ему однородным уравнением.
Теорема. (о структуре общего решения). Если у*(х) – частное решение линейного неоднородного уравнения (6), а 
-общее решение соответствующего однородного уравнения 
, то функция у=
+у*(х) является общим решением неоднородного дифференциального уравнения (6).
Доказательство.
Так как у*(х) есть решение уравнения (6), то
Аналогично, вследствие того, что есть решение соответствующего однородного уравнения, получим
В таком случае имеем
=[
] + [
]
Отсюда следует, что функция у=+у*(х) действительно является решением неоднородного уравнения (6).
Для того, чтобы убедиться, что это решение является общим, остается показать, что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее начальным условиями
, 
Пусть 
и 
– два частных решения соответствующего однородного уравнения, образующие фундаментальную систему частных решений. В этом случае
и
= 
(7)
Пусть у = j(х) – какое либо решение неоднородного уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям. Покажем, что оно может быть выделено из решения (7) соответствующим подбором С1 и С2
Действительно, т. к. 
и 
,
То подставляя начальные условия получим систему уравнений для определения неизвестных С1 и С2 :
или
Эта система имеет единственное решение С10 и С20, так как ее определение отличен от нуля. Полученное частное решение
В силу теоремы единственности совпадает с решением у = j(х). Таким образом, теорема доказана.
Заключение.
Решение целого ряда практических проблем сводится к решению линейных дифференциальных уравнений. Однако даже в тех случаях, когда та или иная практическая проблема приводит к более сложному («нелинейному») дифференциальному уравнению, часто оказывается возможным найти приближённое решение задачи, заменяя полученное нелинейное уравнение «близким» ему линейным.
Этим объясняется то громадное значение, которое приобрели линейные дифференциальные уравнения.
Основные порталы (построено редакторами)