НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. Н.ВАСЮКОВ
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Методические указания к лабораторным работам
для студентов 3 года обучения факультета РЭФ
(направления 11.03.01 – Радиотехника,
11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи)
Новосибирск
2016
В. Н.Васюков. Цифровая обработка сигналов // Методические указания к лабораторным работам для студентов 3 года обучения факультета РЭФ (направления 11.03.01 – Радиотехника, 11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи). – Новосибирск: НГТУ, 2016.
Методические указания предназначены для проведения лабораторных работ по дисциплине "Цифровая обработка сигналов" с применением системы компьютерной математики MathCAD.
Составил: Н., д. т.н., профессор кафедры
Теоретических основ радиотехники НГТУ.
Рецензент:
© Новосибирский государственный
технический университет, 2016
ВВЕДЕНИЕ
Содержанием дисциплины «Цифровая обработка сигналов» является математическая теория дискретных и цифровых сигналов и цепей. Цель лабораторных занятий заключается в том, чтобы абстрактные математические конструкции превратились в конкретные знания и навыки. Среда программирования Mathcad как нельзя лучше подходит для начального изучения теории дискретных и цифровых сигналов и цепей, поскольку интуитивно понятный интерфейс позволяет сосредоточить внимание именно на вопросах теории, не отвлекаясь на проблемы, связанные с программированием, что неизбежно при применении таких систем, как MATLAB, Mathematica, Maple и т. п.
Лабораторные задания должны выполняться строго индивидуально и допуск к последующим занятиям предполагает непременное выполнение всех предыдущих заданий. Предполагается также обязательная самостоятельная подготовка к каждому занятию с использованием литературы по ЦОС [1...9].
После выполнения лабораторного задания следует предъявить результат преподавателю для проверки. Защита работы происходит в форме собеседования и предполагает как ясное понимание хода выполнения работы, так и знание соответствующих разделов теории. В случае успешной защиты работы до окончания занятия оформление отчёта не требуется. В противном случае оформляется отчёт и назначается время для защиты. Отчёт оформляется в виде документа формата. doc или. docx и распечатывается на листах формата А4. Форма отчета представлена в Приложении 1. Некоторые практические советы по применению системы Mathcad при выполнении лабораторных заданий приведены в Приложении 2.
Лабораторная работа № 1
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
Цель занятия – изучение процессов дискретизации и восстановления (интерполяции) аналоговых сигналов, явления подмены частот и процедуры противоподменной фильтрации.
Предварительное задание
Изучить вопросы, относящиеся к содержанию работы, по конспекту лекций и рекомендованным литературным источникам. Подготовиться к ответу на контрольные вопросы.
Краткие теоретические сведения.
Теорема отсчётов (Котельникова) утверждает, что сигнал 
с финитным спектром может быть восстановлен по его мгновенным значениям (отсчётам) 
, измеренным в моменты времени, отстоящие друг от друга на шаг дискретизации 
, определяемый из условия 
, где 
– верхняя частота спектра сигнала (частота Найквиста). Процесс восстановления описывается рядом Котельникова
,
который можно понимать как отклик идеального фильтра нижних частот с П-образной амплитудно-частотной характеристикой, тождественно нулевой фазочастотной характеристикой и частотой среза 
на воздействие, имеющее вид -периодической последовательности 
-функций, каждая из которых умножена на соответствующий отсчёт [4, п. ].
На практике условие финитности спектра никогда не выполняется вследствие ограниченной длительности реальных сигналов. Результатом является искажение формы сигнала после его дискретизации и последующей интерполяции. Причина искажения заключается в том, что гармонические составляющие сигнала с частотами выше, чем , оказываются продискретизированными слишком редко, и при интерполяции заменяются более низкочастотными колебаниями. Это явление называется подменой (маскировкой) частот и представляет собой по существу проявление стробоскопического эффекта. Искажения можно ослабить, если перед дискретизацией принудительно ограничить ширину спектра сигнала противоподменным фильтром[1] нижних частот с граничной частотой .
Практическое задание.
1. Дискретизация и восстановление полигармонического сигнала
1.1. Задайте сигнальную функцию в виде суммы трёх гармонических слагаемых.
1.2. Сформируйте последовательность отсчётов сигнала, взятых с интервалом, удовлетворяющим требованиям теоремы отсчётов.
1.3. Отобразите на одном графике сигнал и последовательность его отсчётов. Для отображения сигнальной функции целесообразно задать пунктирный тип линии.
1.4. Сформируйте сигнал в виде суммы ряда Котельникова, используя выбранное значение шага дискретизации и полученные ранее отсчёты сигнала. Отобразите на одном графическом поле исходный и восстановленный сигналы.
1.5. Измените частоту одной из составляющих сигнала так, чтобы нарушились условия теоремы отсчётов. Оцените изменение формы восстановленного сигнала.
1.6. Оставьте в составе сигнальной функции только одно гармоническое слагаемое. Изменяя его частоту, постройте график зависимости частоты восстановленного колебания от частоты исходного сигнала.
2. Дискретизация и восстановление последовательности прямоугольных импульсов
2.1. Задайте сигнальную функцию в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов. Определите спектр сигнала и отобразите его на графике. Определите эффективную ширину спектра.
2.2. Сформируйте последовательность отсчётов сигнала, взятых с интервалом, удовлетворяющим требованиям теоремы отсчётов, исходя из эффективной ширины спектра.
2.3. Отобразите на одном графике сигнал и последовательность его отсчётов.
2.4. Сформируйте восстановленный сигнал в виде суммы ряда Котельникова, используя выбранное значение шага дискретизации и полученные ранее отсчёты сигнала. Отобразите на одном графическом поле исходный и восстановленный сигналы. Рассчитайте среднеквадратическую ошибку восстановления.
2.5. Примените к исходному сигналу противоподменную фильтрацию, исключив составляющие с частотами выше половины частоты дискретизации. Продискретизируйте полученный сигнал и интерполируйте его, как в предыдущем пункте задания. Рассчитайте среднеквадратическую ошибку восстановления.
Контрольные вопросы
1. При каких условиях возможно точное восстановление аналогового сигнала по последовательности его отсчётов?
2. Как выбирается шаг дискретизации согласно теореме отсчётов?
3. В чём заключается явление подмены частот?
4. Почему противоподменная фильтрация приводит к уменьшению среднеквадратической ошибки восстановления? Как определить наименьшее значение этой ошибки?
5. Как на практике можно реализовать восстановление аналогового сигнала?
6. Что не позволяет точно восстановить аналоговый сигнал по последовательности его отсчётов?
7. Можно ли реализовать идеальный интерполирующий фильтр?
8. Для чего на практике частоту дискретизации выбирают значительно выше удвоенной частоты Найквиста?
Лабораторная работа № 2
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИГНАЛОВ НА ЛИС-ЦЕПИ. ЧАСТОТНЫЕ И
ФАЗОВЫЕ ИСКАЖЕНИЯ.
Цель занятия – практическое исследование частотных и фазовых искажений сигналов при их прохождении через ЛИС-цепи.
Предварительное задание
Изучить вопросы, относящиеся к содержанию работы, по конспекту лекций и рекомендованным литературным источникам. Подготовиться к ответу на контрольные вопросы.
Краткие теоретические сведения.
Влияние ЛИС-цепей на сигналы выражается в умножении спектра (спектральной плотности) сигнала на комплексную частотную характеристику цепи. Если модуль КЧХ (амплитудно-частотная характеристика) отличается от константы, то имеют место частотные искажения сигнала, которые обусловлены тем, что различные гармонические составляющие сигнала по-разному усиливаются или ослабляются цепью. Фазовые искажения вызываются тем, что разные гармоники сигнала приобретают при прохождении через цепь различные временные сдвиги (задержки), чему соответствует нелинейная форма фазочастотной характеристики, которая представляет собой аргумент КЧХ. Вместе частотные и фазовые искажения называются линейными искажениями. Общим для них является то обстоятельство, что они сводятся к изменению амплитуд и начальных фаз гармонических составляющих, уже имеющихся в спектре сигнала. Искажения, связанные с появлением в спектре новых гармонических составляющих, принято относить к нелинейным искажениям, хотя они могут возникать и в линейных цепях с параметрами, зависящими от времени.
Практическое задание.
1. Генерирование последовательностей.
1.1. Задайте сигнальную функцию в виде суммы трёх гармонических слагаемых.
1.2. Сформируйте последовательность отсчётов сигнала, взятых с интервалом, удовлетворяющим требованиям теоремы отсчётов.
1.3. Отобразите на одном графике сигнал и последовательность его отсчётов. Для отображения сигнальной функции целесообразно задать пунктирный тип линии.
2. Получение фазовых и частотных искажений формы сигнала фильтром нижних частот
2.1. Задайте прямоугольную амплитудно-частотную характеристику и линейную фазочастотную характеристику фильтра нижних частот. Отобразите их на графике.
2.2. Определите импульсную характеристику фильтра обратным преобразованием Фурье. Оцените влияние наклона ФЧХ на импульсную характеристику. Оцените влияние граничной частоты фильтра на вид ИХ.
2.3. Определите отклик фильтра на заданный сигнал при условии, что частоты всех гармонических составляющих сигнала находятся в полосе пропускания фильтра, а его ФЧХ тождественно равна нулю. Отобразите на одном графическом поле графики входного полигармонического сигнала и отклика на него.
2.4. Задав ненулевой наклон ФЧХ, убедитесь в отсутствии фазовых искажений формы сигнала.
2.5. Изменяя граничную частоту фильтра, добейтесь появления частотных искажений формы сигнала.
2.6. Задайте нелинейную ФЧХ фильтра и убедитесь в появлении фазовых искажений.
3. Генерирование негармонических последовательностей.
3.1. Задайте сигнальную функцию в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов. Сформируйте последовательность отсчётов сигнала с учетом эффективной ширины его спектра. Отобразите на одном графике сигнал и последовательность его отсчётов.
3.2. Определите спектральную плотность дискретного сигнала через его преобразование Фурье. Найдите выходной сигнал умножением спектральной плотности на КЧХ фильтра и обратным преобразованием Фурье. Постройте графики входного и выходного сигналов на одном поле.
3.3. Изменяя граничную частоту ФНЧ, убедитесь в её влиянии на степень частотных искажений сигнала. Удостоверьтесь, что наклон линейной ФЧХ влияет только на сдвиг сигнала.
3.4. Задайте нелинейную ФЧХ и убедитесь в появлении фазовых искажений формы сигнала.
Контрольные вопросы
1. Какие искажения называются линейными?
2. Что такое частотные искажения?
3. Что такое фазовые искажения?
4. Какими должны быть АЧХ и ФЧХ фильтра, чтобы сигнал проходил через него неискажённым?
5. Какими должны быть АЧХ и ФЧХ цепи, предназначенной для задержки сигнала без искажения его формы? Как связаны параметры такой цепи с величиной задержки?
6. Какие искажения называются нелинейными? Могут ли нелинейные искажения возникнуть в линейной цепи?
7. Можно ли реализовать ЛИС-цепь с линейно растущей ФЧХ? С тождественно нулевой ФЧХ?
8. Как связан вид импульсной характеристики П-образного ФНЧ с его граничной частотой?
Лабораторная работа № 3
ПОСТРОЕНИЕ ФИЛЬТРОВ ПУТЕМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО РАЗМЕЩЕНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ
Цель занятия – изучение влияния размещения нулей и полюсов передаточной функции дискретного фильтра на его амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики; построение простых фильтров.
Предварительное задание
Изучить вопросы, относящиеся к содержанию работы, по конспекту лекций и рекомендованным литературным источникам. Подготовиться к ответу на контрольные вопросы.
Краткие теоретические сведения.
Любая линейная инвариантная к сдвигу цепь конечного порядка имеет передаточную функцию (ПФ) дробно-рационального вида
,
где 
– коэффициенты полинома-числителя, 
– коэффициенты полинома-знаменателя, 
– корни числителя, называемые нулями ПФ, 
– корни знаменателя (полюсы ПФ). Как видно из приведённого выражения, передаточная функция определяется (с точностью до числа 
) значениями своих нулей и полюсов. Таким образом, меняя расположение нулей и полюсов на 
-плоскости, можно управлять видом амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик.
Комплексная частотная характеристика (КЧХ) представляет собой сужение ПФ на единичную окружность, которая является частотной осью в описании дискретных сигналов и цепей. Очевидно, что если нуль 
передаточной функции находится на 1-окружности, то есть 
, то значение АЧХ на частоте 
будет равно нулю. Таким простым способом можно реализовать подавление (режекцию) гармонической составляющей данной частоты. Полюсы нельзя размещать ни на 1-окружности, ни вне её, так как это приводит к неустойчивости цепи (фильтра). Но располагая полюс внутри 1-окружности на небольшом удалении от неё, можно создать на определённой частоте значительный подъём АЧХ. Таким образом, располагая нули и полюсы на комплексной -плоскости, можно построить любой из типовых фильтров – фильтр нижних частот (ФНЧ), фильтр верхних частот (ФВЧ), полосовой или режекторный фильтр. Нужно иметь в виду при этом, что как нули, так и полюсы должны быть либо вещественными, либо образовывать комплексно-сопряжённые пары, т. к. только при выполнении этого условия импульсная характеристика фильтра будет вещественной.
В данной работе метод непосредственного размещения нулей и полюсов применяется для построения простых фильтров – резонатора, фильтра-пробки и гребенчатого фильтра. Под резонатором понимается аналог колебательного контура – простейший полосовой фильтр с АЧХ колоколообразной формы. Фильтр-пробка – это режекторный фильтр, предназначенный для полного подавления одной гармонической составляющей определённой частоты, при этом на остальных частотах АЧХ должна быть как можно более равномерной. Гребенчатым называется фильтр, АЧХ которого содержит периодически повторяющиеся острые максимумы, разделённые глубокими провалами.
Практическое задание.
1. Построение полосового фильтра – резонатора
1.1. Задайте два полюса ПФ таким образом, чтобы обеспечить подъём АЧХ на заданной частоте (например, 
).
1.2. Постройте передаточную функцию фильтра, отобразите на графике АЧХ и ФЧХ.
1.3. Изменяя положение полюсов, установите заданную ширину полосы пропускания по уровню 0.707.
1.4. Добавляя нули, обеспечьте уровень АЧХ вне полосы пропускания не более 0.1 от максимума.
1.5. Добавьте полюс в точке 
. Оцените изменение КЧХ.
2. Построение фильтра-пробки
2.1. Задайте два нуля 
и 
так, чтобы обеспечить полное подавление сигнала на заданной частоте (например, ).
2.2. Постройте передаточную функцию фильтра, отобразите на графике АЧХ и ФЧХ. Оцените степень наравномерности АЧХ.
2.3. Добавьте два полюса 
и 
, соответствующих этой же частоте и лежащих внутри 1-окружности. Оцените изменение равномерности АЧХ при изменении расстояния между полюсами и 1-окружностью.
3. Построение гребенчатого фильтра
3.1. Задайте вещественный полюс =0.9. Сформируйте набор полюсов путём поворота этого полюса на углы, кратные величине 
, где 
– целое число.
3.2. Постройте передаточную функцию фильтра. Отобразите на графике АЧХ и ФЧХ.
3.3. Изменяя модули полюсов, оцените изменения АЧХ и ФЧХ.
4. Построение полосового фильтра
4.1. Задайте несколько нулей и полюсов, чтобы обеспечить полосу пропускания от 
до 
.
4.2. Постройте передаточную функцию фильтра. Отобразите на графике АЧХ и ФЧХ.
4.3. Добавляя нули, обеспечьте уровень АЧХ вне полосы пропускания не более 0.1 от максимума.
Контрольные вопросы
1. Как связаны передаточная функция и КЧХ ЛИС-цепи?
2. Что такое нули и полюсы?
3. Как влияют нули и полюсы на АЧХ цепи?
4. Почему полюсы должны находиться внутри 1-окружности?
5. Что такое фильтр-пробка?
6. Влияет ли нуль в точке на вид АЧХ? На ФЧХ?
7. Влияет ли полюс в точке на вид АЧХ? На ФЧХ?
Лабораторная работа № 4
ВСЕПРОПУСКАЮЩИЕ И МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ ЛИС-ЦЕПИ
Цель занятия – изучение особенностей амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик всепропускающих и минимально-фазовых цепей.
Предварительное задание
Изучить вопросы, относящиеся к содержанию работы, по конспекту лекций и рекомендованным литературным источникам. Подготовиться к ответу на контрольные вопросы.
Краткие теоретические сведения.
Как известно, АЧХ и ФЧХ цепи определяются расположением на комплексной -плоскости нулей и полюсов передаточной функции. Фактически нуль-полюсная диаграмма определяет все свойства ЛИС-цепи. Например, устойчивая каузальная цепь характеризуется тем, что все её полюсы находятся внутри единичной окружности. Расположение нулей не влияет на устойчивость цепи, но оказывает влияние на АЧХ и ФЧХ.
Каузальная устойчивая цепь, имеющая некоторый набор полюсов внутри единичной окружности, называется всепропускающей, если каждому полюсу 
соответствует нуль 
. АЧХ такой цепи постоянна, поэтому цепь не обладает частотной избирательностью. Фазочастотная характеристика цепи определяется конкретными значениями нулей и полюсов. Таким образом, всепропускающая цепь воздействует только на фазовый спектр сигнала, поэтому ее называют также фазовым контуром или фазовращателем. Поскольку ненулевые отсчёты импульсной характеристики каузальной цепи не могут располагаться слева от нулевого момента времени, такая цепь может только увеличить задержку (и, следовательно, фазовый спектр) проходящего через неё сигнала.
Рассмотрим каузальную устойчивую цепь, у которой передаточная функция имеет нули 
, а также расположенные внутри единичной окружности полюсы 
. Представим себе, что каскадно с этой цепью включается всепропускающая цепь с полюсом, в точности совпадающим с одним из нулей первой цепи, например, . Нуль этой всепропускающей устойчивой цепи будет располагаться вне единичной окружности в точке 
. В результате такого соединения двух цепей образуется устойчивая каузальная цепь, обладающая такой же АЧХ, как исходная цепь (с точностью до константы), но обеспечивающая бо́льшую задержку сигнала (больший «набег фазы») по сравнению с исходной цепью вследствие неупреждающего (каузального) характера фазового контура. Действуя подобным образом, можно «переместить» все нули изнутри единичной окружности наружу, при этом будет изменяться только фазочастотная характеристика. Следовательно, цепь, имеющая нули только внутри единичной окружности, допускает изменения фазочастотной характеристики без изменения формы АЧХ только в сторону увеличения фазового набега. Поэтому каузальные устойчивые цепи, не имеющие нулей вне единичной окружности, называются минимально-фазовыми цепями.
Практическое задание.
1. Построение всепропускающей цепи
1.1. Задайте два полюса и два нуля ПФ таким образом, чтобы обеспечить всепропускающий характер цепи.
1.2. Постройте передаточную функцию, отобразите на графике АЧХ и ФЧХ.
2. Разложение цепи общего вида на минимально-фазовую цепь и фазовый контур
2.1. Задайте два полюса внутри 1-окружности и два нуля вне её.
2.2. Постройте передаточную функцию цепи, отобразите на графике АЧХ и ФЧХ.
2.3. Постройте передаточную функцию и нуль-полюсную диаграмму минимально-фазовой цепи (МФЦ) с такой же (с точностью до постоянного множителя) АЧХ. Отобразите АЧХ и ФЧХ на графике.
2.4. Постройте передаточную функцию и нуль-полюсную диаграмму всепропускающей цепи, которая при каскадном соединении с МФЦ даст цепь, эквивалентную исходной (см. п.2.2).
2.5. Отобразите на одном графике АЧХ исходной цепи, МФЦ и фазового контура. То же сделайте для ФЧХ.
Контрольные вопросы
1. Какие цепи называются всепропускающими?
2. Как обеспечить всепропускающий характер цепи?
3. Что такое минимально-фазовая цепь, почему она так называется?
4. Можно ли минимально-фазовую цепь преобразовать в другую цепь, не изменяя при этом формы АЧХ? Как при этом изменится ФЧХ?
5. Можно ли неминимально-фазовую цепь преобразовать в минимально-фазовую с такой же формой АЧХ?
Список рекомендуемой литературы
1. В. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. — СПб.: БХВ-Петербург, 2012. — 432 с.
2. http://www. polybook. ru/mathcad/index. html (Мультимедийный учебник по Mathcad)
3. Г. Mathcad. Учебный курс. – СПб., Питер, 2009. – 384 с.
4. Н. Общая теория связи. – Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2016.
5. Н. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры в системах подвижной радиосвязи. – Новосибирск, НГТУ, 2006.
6. Цифровая обработка сигналов. – М.: Связь, 1979.
Приложение 1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
 |
Кафедра Теоретические основы радиотехники
ОТЧЁТ
О ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЦОС
Выполнил:
____________ (Фамилия, И. О.)
Группа_________________
Проверил:
_____________ (Фамилия, И. О.)
Новосибирск
2016
Приложение 2
Некоторые рекомендации по использованию системы Mathcad
1. Для отображения на одном графическом поле решётчатой функции (последовательности) и функции непрерывного аргумента (аналогового сигнала) можно задать в поле аргумента через запятую целую переменную (например, 
) и непрерывный аргумент, нормированный к шагу дискретизации (например, 
).
2. Для удобства наблюдения графиков при изменении параметров сигналов или цепей рекомендуется для параметров использовать оператор глобального присваивания 
(вводится через панель инструментов Evaluation или с помощью горячих клавиш Ctrl+~). Выражение глобального присваивания можно расположить в любом месте документа, в том числе рядом с исследуемым графиком.
3. Некоторые функции, используемые в выражениях сумм рядов, целесообразно определить заранее, например, прямоугольный импульс выражением 
, где 
– функция Хэвисайда, а также 
.
4. Если используются массивы с отрицательными индексами, нужно задать соответствующее значение встроенной переменной ORIGIN, имеющей по умолчанию значение 0, например, присваиванием ORIGIN:=–30. Можно это также сделать с помощью панели Worksheet Options (вкладка Built-In Variables).
5. В тех случаях, когда в работе предусмотрено моделирование или вычисление по различным алгоритмам, удобно воспользоваться возможностью отключения вычислительных блоков (команда Disable Evaluation в меню Tools или в контекстном меню, вызываемом нажатием правой кнопки мыши в пределах вычислительного блока). При этом справа сверху от выражения появляется чёрный прямоугольник. Обратное действие выполняется выбором команды Enable Evaluation.
[1] В англоязычной литературе подмена частот называется aliasing, а противоподменный фильтр – antialiasing filter.
Основные порталы (построено редакторами)