Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Nd (d, q) = dqa-¦(a) . dd, a=a(q) (8.15)
где учтено
ò r (a) da = 1 (8.16)
Чтобы связать ¦(a) с экспериментально определяемой функцией t(q) вычислим обобщенную фрактальную размерность Dq относительно топологической размерности носителя d. Подставив (8.15) в формулу (8.1)получим
(1-q) (Dq - d) = ¦(a) - qa, (8.17)
Используя (8.6) для разности Dq-d получим искомую связь в виде
¦ (a (q)) = qa(q) + t(q ) (8.18)
Отсюда следует решение первого уравнения (8.13):
d
a(q) = - ¾¾ t(q) (8.19)
dq
Уравнения (8.18), (8.19) задают параметрическое представление кривой ¦(a).
Лекция 11. СООТНОШЕНИЕ ПЕРЕМЕЖАЕМОСТИ И МУЛЬТИ-ФРАКТАЛЬНОСТИ.
Сопоставляются значения показателя перемежаемости и мультифрактального спектра для реперных мультифрактальных порядков, раскрывается их физический смысл. Устанавливается их связь с фрактальными размерностями ячейки и полного множества.
11.1. Преобразования Лежандра
Формулы (8.14), (8.18), (8.19), связывающие показатель перемежаемости с мультифрактальной спектральной функцией имеют свойство цикличности: переменные q, t(q),- t¢(q) выражаются через a, ¦ (a), ¦¢(a) так же, как последние величины выражаются через первые. В этом можно убедиться, записав их в форме
q = ¦¢ (a), t(q) = ¦ (a) - a ¦¢ (a) (9.1)
a = - t¢(q), ¦ (a) = t(q) - qt¢(q) (9.2)
Такие преобразования, содержащие производные функций и образующие циклическую группу называются преобразованиями Лежандра. Преобразования Лежандра широко используются в неравновесной термодинамике [23]. Дифференцируя по a из (8.14) получим еще одну связь между t(q) и ¦(a) в виде
t¢¢(q)· ¦¢¢ (a) = - 1 (9.3)
которая может найти применение в общей теории мультифракталов.
11.2. Предельные и экстремальные значения ¦ (a), t (q).
По условию определения (8.12) - (8.14) ¦(a) имеет максимум при q = 0 и спадает до нуля при q ® ± ¥:
¦ (a (0) ) = D0, ¦ (a (± ¥)) ® 0 (9.4)
Из (8.18) следует
t(0) = ¦ (a(0) ) = D0 (9.5)
Для определения предельных значений t( ± ¥) нужно знать соответствие максимальных и минимальных значений a различным знакам q. Из определения a для локальной вероятностной меры (8.10) имеем
å miq ~ da (9.6)
i
Значит, отрицательным значениям q соответствуют наибольшие значения a, и наоборот. Учитывая (8.19) получим
t( - ¥ ) ~ - q amax , t ( + ¥) ~ - q amin (9.7)
11.3. Мультифрактальность без перемежаемости и информационная энтропия.
Из определения показателя перемежаемости через вероятностную меру
N(q, d) = å miq ~ d-t(a) , å mi = 1 (9.8)
i i
следует t (1) = 0 (9.9)
т. е. при q = 1 перемежаемость отсутствует. Из (8.18) имеем
¦(a1) = a1, a1 º a(q = 1) (9.10)
При отсутствии перемежаемости (различия структур) спектральная функция (фрактальная размерность подмножества z (a) ) равна фрактальной размерности ячейки. Этот результат можно рассматривать как проявление свойства самоподобия мультифрактального объекта.
Случай q = 1 является сингулярным в формуле (8.1), поэтому воспользуемся следующими выражениями, соответствующим пределу q ® 0:
miq = mi miq -1 = miexp ((q-1)ln mi) » mi(1+(q-1)ln mi),
ln å miq » (1+(q-1) ? miln mi) » (q-1) ? mi ln mi (9.11)
i i i
Подставляя (9.11) в (8.1) найдем мультифрактальную размерность
å mi (d)ln mi(d) S(d)
D1 = lim i¾¾¾¾¾¾¾¾ = - lim ¾¾¾ = S (9.12)
d ® 0 ln d d® 0 lnd
где S(d) - энтропия разбиения меры по ячейкам, S - энтропия меры полного множества. Учитывая
dt(q)
a1 = - ¾¾¾ ½q=1 = D1 (9.13)
dq
и формулу (9.10) получим
¦ (a1) = a1 = D1 = S (9.14)
Как и следовало ожидать, при отсутствии перемежаемости ((q = 1) фрактальная размерность ячеек, подмножества набора их равны мультифрактальной размерности, которая численно равна информационной энтропии. Этот факт является следствием статистической природы мультифракталов.
Перемежаемость и мультифрактальность являются эквивалентными, дополняющими друг друга характеристиками структурно-стохастического нелинейного объекта. При q = 0 мультифрактальность отсутствует, можно говорить о перемежаемости числа ячеек N (=0,d), не содержащих меру. При q = +1 (q ¹ - 1) нет перемежаемости, распределение мультифрактальной меры описывается безусловной информационной энтропией. В случаях q ¹ 0,+1 необходимо рассматривать смещенную (условную, зависящую от q ) энтропию [26].
После этого можно уточнить физический смысл порядка мультифрактального момента q и соответствующего спектрального анализа. Обычно первые моменты физических величин имеют ясный физический смысл. Так, первый момент скорости связан с импульсом, второй момент - с энергией, третий момент - с потоком энергии и т. д. Смысл порядка вероятностной меры можно выяснить используя термодинамическую аналогию мультифрактального формализма, на возможность которой указывает результат (9.14). Если сопоставить сумме вероятностной меры с порядком q статистическую сумму, спектральной функции ¦ (a) - энтропию в статистическом смысле, то параметр q соответствует обратной температуре [25].Отрицательному значению q соответствует отрицательная температура- формальное понятие, используемое для описания неравновесных явлений [18]. Согласно (9.7) восходящяя область кривой ¦ (a) соответствует значениям q > 0, нисходящая область - значениям q < 0. Кривая ¦ (a) может служить универсальной характеристикой нелинейных явлений. В работах [27, 28] показано, что различные эксперименты по однородной и неоднородной турбулентности могут иметь общие закономерности, описываемые кривой ¦ (a).
Значения q = ±1 приводят к разным количественным результатам в теории мультифракталов. Поэтому в более точной интерпретации смысла q нужно учесть различие характеристик самих структур множества. В работе [28], где получено лучшее согласие с экспериментом, было принято q > 0 как число пар взаимодействующих вихрей ( структурных элементов турбулентности) с одинаковой циркуляцией, а случаю противоположных циркуляций сопоставлены значения q < 0.
Лекция 12. САМОАФФИННЫЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЫ
Вводится понятие о самоаффинных (неоднородных) мультифракталах, приведены формулы их обобщенной размерности, спектра и пространственного распределения полной меры.
12.1. Обобщенная размерность самоаффинных мультифракталов.
Формула Реньи (8.1) определяет размерность самоподобных мультифракталов, коэффициент подобия у которых одинаков по всем пространственным (временным) переменным. При наличии неоднородности и анизотропии, что всегда связанно с реальными начальными и граничными условиями структурные элементы нелинейной среды следует рассматривать как самоаффиные мультифракталы - объекты, у которых коэффициенты подобия различны по разным переменным.
Будем исходить из более общих функциональных соотношений для определения Dq [29]. Воспользуемся неравенством Гельдера для вероятностной меры ячейки (например, для энергии) mi, содержащей различные моменты с порядком qj :
? qj qj/Pj Pj
å mij £ P ( å mi ), å Rj = 1 (10.1)
i j i j
где Рj = d/dj - вероятность реализации масштаба dj при эволюции самоподобной (изотропной) структуры с масштабом d. Равенство выполняется при наличии связи между числами Pj, qj:
Pj = const qj º c qj (c < 0, qj < 0) (10.2)
Учитывая
qj = 1,2.., n; qj º j, 1-c(1+2+..(n-1)) =nc (10.3)
где принято во внимание (10.2) и нормировка Pj, получим
c = c(n) = 2/n (n+1) (10.4)
Случайное число n имеет смысл максимального числа пар квазистационарных (виртуальных, см. раздел 3) структур. Реализуемое число qj в общем случае не равно n (qj £ n).
Полная мера, распределенная на фрактальном множестве с обобщенной размерностью Dq определяется как
qDq Dq(q-1)
å miq = N(d) d ~ d (10.5)
i
где принято равномерное распределение числа изотропных ячеек в множестве. Влияние неоднородности, вызванной различием q, на распределение числа ячеек целесообразно учесть при определении локальной характеристики - мультифрактального спектра.
Учитывая (10.5) запишем (10.1) в виде равенства
( å qj - 1 ) D = ? ( qj - Pj ) D, Pj=c(n)qj (10.6)
j ?qj j qj/pj
j
Поскольку c(n) неизвестно, вначале следует определить Dq из (10.6), затем, при необходимости, искать c(n) = pj/qj. Выражение (10.6) нужно рассматривать как функциональное уравнение, связывающее значения обобщенной размерности от аргументов? Pj и jqj /pj .
Уравнение (10.6) имеет два частных решения:
1
Dq = D0 + ¾¾ logа å Pjq (10.7)
q-1 j
q
Dq = D0 + ¾¾ logаП Rj (10.8)
q-1 j
где D0 - фрактальная размерность носителя, а- основание логарифма, которое явно не зависит от q и в общем случае определяется неоднозначно [29, 30 ]. Решение (10.7) удовлетворяет (10.6) при выполнении условия
Pj = qj½ å qj, c = 1½å qj (10.9)
j j
следовательно, не описывает произвольную самоаффинность, так как Pj и qj связаны однозначно. При выборе а = d ® 0 формула (10.7) переходит в формулу Реньи для самоподобных мультифракталов. Этот факт дает основание принять а= d как один из вариантов. Решение (10.8) имеет место без дополнительного условия (10.9). Общее для двух решений условие Pj = c(n)qj теперь не исключает возможность реализаций с различными pj при заданном значении qj. Применимость решения вида (10.8) к описанию именно самоаффинных свойств мультифракталов обосновывается также тем, что оно содержит мультипликатив-ный закон распределения вероятности, порождающее перемежаемость. Самоаффинность есть следствие проявления перемежаемости в самом мультифрактале.
12.2. Спектральная функция самоаффинного мультифрактала.
Принимая во внимание определение вероятностной меры ячейки m(q) = mq неоднородность по q распределения числа ячеек в пространстве с топологической размерностью d учтем наиболее простым образом:
Nd(q, d) = d(q)-d = d-d/q, dq(q) = d (10.10)
Теперь связь между функций перемежаемости t(q) и обобщенной размерностью (10.8) должна иметь вид
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
Основные порталы (построено редакторами)