Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
8. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ
1. Введение
Задачи, в которых требуется вычисление интегралов или производных функций, возникают почти во всех областях прикладной математики. Например, проблема численного дифференцирования функций встречается в методе Ньютона решения систем нелинейных уравнений; в методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений, в задачах отыскания экстремумов функций одной и многих переменных и т. д. С другой стороны многие критерии оценки качества проектируемого изделия вычисляются с помощью определенных интегралов. В теории вероятности интеграл от функции плотности вероятности определяет величину вероятности некоторого события. С помощью интегралов вычисляются геометрические характеристики объектов и т. д.
Иногда удается найти аналитическую формулу для вычисления определённого интеграла или дифференциала функции, но значительно чаще этого сделать не удается. В таких ситуациях приходится применять различные методы численного интегрирования или дифференцирования функций.
Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подинтегральной функции.
В настоящее время разработано достаточно большое количество методов численного интегрирования функций, учитывающих различные особенности в постановке задачи. В этой лекции будут рассмотрены общие подходы к решению указанных задач.
2. Правило трапеции
Рассмотрим задачу вычисления определенного интеграла:
(8.1)
где a, b - конечны; f(x) - непрерывная функция на отрезке интегрирования.
Общий подход к решению задачи заключается в разбиении отрезка [a, b] на множество отрезков меньших размеров и вычислении интеграла как суммы приближенно вычисленных площадей полосок, получившихся при таком разбиении (см. рис. 8.1).
y
|
… 
… 
x
Рис. 8.1. Вычисление определенного интеграла методом трапеций
Разобьем отрезок [a, b] на п равных частей точками х0 < x1 < x2 < ...< хn , каждая длиной h = (b - а) / п. Рассмотрим один из интервалов, представленный на рис. 8.2. Площадь, лежащую под кривой у = f(x) между точками xi и xi+1, будем приближённо вычислять как площадь трапеции ABCD, так что:
(8.2)
y
x
A D
Рис.8.2. Вычисление площади частичного отрезка.
Тогда величину определённого интеграла можно оценить как:
(8.3)
Эта формула описывает хорошо известное правило трапеции для численного интегрирования. Это один из простейших методов численного интегрирования.
3. Ошибка ограничения для метода трапеций.
Предположим, что y = f(x) C2[a, b] - непрерывная вместе со своими первой и второй производными на [a, b] функция. Остаточный член на i-м участке равен:
или 
(8.4)
Дифференцируя формулу (8.4) по h последовательно два раза, получим
(8.5)
(8.6)
причем очевидно, что R(0) = R'(0) = 0.
Формулу (8.6) проинтегрируем по h и, используя теорему, получим:
(8.7)
где 
(xi ,xi+1).
Аналогично:
(8.8)
где x 
(xi ,xi+1).
Таким образом, окончательно имеем:
(8.9)
где 
(xi ,xi+1).
Тогда остаточный член на всем отрезке [a, b] можно вычислить по формуле:
(8.10)
где [a, b].
4. Ошибка округления правила трапеций
Для вычисления ошибки округления составим граф вычислительного процесса правила трапеций (см. рис.8.3.). Предполагается, что все члены суммы, которые необходимо умножить на 2, сначала складываются, а их сумма умножается на 2.
Пусть d i (i = 0,1,...,n) относительные ошибки каждой величины yi. Пусть 
относительная ошибка операции сложения, 
- относительная ошибка операции умножения. Тогда относительная ошибка округления для формулы вычисления интеграла по правилу трапеции (8.3) в соответствии с графом вычислительного процесса можно вычислить:
где К - символ, заменяющий многоточие.
Абсолютная ошибка равна:
Положим 
Положим
где 
- коэффициент пропорциональности;
среднее из всех yi.
Тогда
(8.11)
Учитывая, что
, имеем 
Тогда
(8.12)
При малом h (большом n) главная часть ошибки округления в формуле (8.12) заключена в члене n2, поэтому можно дать следующую верхнюю оценку eI :
(8.13)
-1 +1
+1
+1 
n-1
n-2
3
2
Рис. 8.3. Граф вычислительного процесса для интегрирования функции по правилу трапеции.
Полученный результат показывает, что ошибка ограничения с уменьшением h не уменьшается, как это имеет место для ошибки ограничения, а увеличивается. Следовательно, влияние ошибок округления и ограничения в методах численного интегрирования имеет противоположную направленность. Из чего можно заключить, что существует некоторая величина шага интегрирования hopt (nopt), при которой суммарная ошибка вычисления интеграла наименьшая. На рисунке 8.4. представлены графики ошибок ограничения и округления, а также суммарная ошибка вычисления интеграла.
R R(h) 
n
Рис. 8.4. Зависимость суммарной ошибки (округление и ограничения) от количества интервалов интегрирования
5. Правило Симпсона
Интегрирование функции f(x) по правилу трапеций можно интерпретировать как замену исходной функции f(x) некоторой
кусочно-линейной функцией (после разбиения общего интервала интегрирования на множество отрезков, на каждом из которых функция заменяется прямой линией), от которой и вычисляется приближенное значение искомого интеграла.
Ошибка метода в этом случае определяется грубостью предложенного способа аппроксимации функции. Естественно допустить, что если исходную функцию f(x) приближать на отрезках не линейными функциями, а полиномами более высоких порядков, то ошибка метода интегрирования должна уменьшиться. Для правила Симпсона в качестве функции, с помощью которой осуществляется приближение исходной функции на частичных отрезках интегрирования, выбрана парабола.
y
x
Рис. 5.5. Геометрическое представление правила Симпсона на [x0 , x2]
Отрезок [а, b] разобьем на 2n равных частей. Рассмотрим частичный отрезок интегрирования [x0 , x2] (см. рис. 5.5.).
Для исходной функции f(x) на [x0,x2] по трем точкам можно построить интерполяционный многочлен
Тогда справедливо приближенное равенство
(8.14)
Искомое значение интеграла от функции f(x) на [a, b] можно найти по формуле:
(8.15)
где
Тогда имеем
(8.16)
Формула (8.16) получила название метода интегрирования функции по правилу Симпсона и является одним из наиболее распространенных и применяемых методов интегрирования. Правило Симпсона удачно сочетает простоту метода и высокую точность. Остаточный член формулы Симпсона можно оценить формулой
, где 
На рисунке 8.6 для сравнения представлены графики суммарных ошибок интегрирования функции y=sin x для правила трапеции и метода Симпсона.
6. Экстраполяционный переход к пределу
Оригинальную идею повышения точности интегрирования функций предложил Ричардсон. Рассмотрим применение этой идеи для метода трапеций.
Для метода трапеций ошибка ограничения оценивается величиной
, где 
Метод трапеций
Метод Симпсона
0 400 800 1200 1600 2000 n
Рис. 8.6 Зависимость суммарной ошибки (ограничения и округления ) от количества интервалов интегрирования
Пусть 
Тогда коэффициент с также является постоянной величиной. Откуда справедливо:
(8.17)
где 
- значение интеграла, вычисленного по правилу трапеции с шагом интегрирования
Предположим теперь, что выбрана некоторая другая величина шага разбиения k=(b-a)/m, причем 
, тогда интеграл J может быть вычислен по формуле:
(8.18)
Из выражения (8.17) и (8.18) определим величину константы с:
(8.19)
Величину интеграла с учетом поправки можно вычислить по формуле:
(8.20)
Вычисленное таким образом значение интеграла является лучшим приближением, чем и 
. Если же 
действительно постоянна при
, то ошибка ограничения в формуле (8.20) равна 0.
7. Численное интегрирование с использованием сплайн-функций.
В методе трапеций для интегрирования функций применялась идея кусочно-линейной аппроксимации функции f(x). С точки зрения теории сплайн-функций, кусочно-линейная функция является линейным сплайном. С этих позиций метод трапеций можно интерпретировать как приближение исходной функции f(x) линейным сплайном S1(x), построенном на интерполяционной сетке Х0<X1<K<Xn. Процедура взятия определенного интеграла от функции f(x) заменяется интегрированием S1(x)^
В методе Симпсона (значительно более эффективном, чем правило трапеций) на двойных отрезках функция f(x) заменялась параболой. Однако построенная таким образом кусочно-полиномиальная функция не является параболическим сплайном по следующим причинам:
1) нет гладкого сопряжения кусков парабол между собой,
2) каждая парабола метода Симпсона распространяется на два интервала интерполирования функции.
Естественно предположить, что на той же интерполяционной сетке X0<X1<K<X2n, которую использует метод Симпсона, параболический сплайн S2(x) приближает исходную функцию f(x) с более высокой точностью. Тогда приближенное вычисление интеграла по формуле:
(8.21)
имеет меньшую величину ошибки ограничения R(h), чем для метода Симпсона. Для вычисления интеграла (8.21) удобно использовать следующую форму представления сплайна:
Частичный интеграл можно вычислить на 
по формуле:
(8.22)
Тогда
(8.23)
Основные порталы (построено редакторами)