ДИНАМИКА ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС СО ШПОНОЧНЫМИ СОЕДИНЕНИЯМИ
И., М.
Самарский аэрокосмический университет, г. Самара
DYNAMICS of TOOTHED WHEELS WITH KEYED JOINTS
Kurushin M. I., Kurushin A. M. During gyration of the toothed wheel connected to the shaft by keys, at change of an angular standing of keys, rigid parameters of an elastic-system vary. It can cause both the forced parametric excitation, and parametric instability and resonances of an elastic-system which includes such joints. Requirements and the reasons of such oscillations are investigated. Conclusion is done, that only single-keyed and two-keyed joints can induce a dynamical instability of elastic-systems including systems with toothed wheels. Joint with three and more keys are inconvertible and do not excite elastic-systems.
С точки зрения статики при вращении упругой системы с шпоночными соединением – рис.1 упругая система представляется во-первых, как статически неопределимой и распределение усилий между шпонками и ступицей (а ее необходимо принимать податливой наравне со шпонками) зависит от соотношений жесткостей шпонок и ступицы и их относительного положения при вращении зубчатых колес, а во-вторых, как система с переменной жесткостью, так как при вращении меняется, как бы, конструкция упругой системы опять же за счет вращения шпоночного соединения и изменения их относительного расположения по отношению к полюсу зацепления зубьев зубчатых колес. При исследовании динамики упругой системы с разным количеством шпонок были сделаны следующие допущения - рис.2: 1. контакт зубьев заменяется постоянной по величине жесткостью (не учитывалось влияние пересопряжения зубьев); 2. ведущее колесо вращается равномерно независимо от характера поведения ведомого колеса, чтобы опять же учесть влияние на динамику только шпоночных соединений; 3. модель упругого взаимодействия ступицы зубчатого колеса и шпонок принималась линейной и показана на рис 3 . Геометрические и силовые параметры шпоночных соединений показаны на рис.4. Согласно рис.4 деформация шпонки в контактах с валом и ступицей зубчатого колеса в окружном направлении
Окружное усилие в контакте шпонки при линейной постановки задачи
Координатные составляющие усилий в шпонке
Усилие в зацеплении зубьев зубчатых колес
Крутящий момент от усилий на шпонке
здесь x o, y o – координаты смещения центра ведомого зубчатого колеса относительно центра поперечного сечения вала; α- угловое положение шпонки; r - средний радиус расположения шпонки; φ- угол поворота ведомого зубчатого колеса; 
- жесткость в контактах шпонки; 
- жесткость в контактах зубьев зубчатых колес; 
- радиус основной окружности ведомого зубчатого колеса; 
- угол поворота ведущего зубчатого колеса.
Составлена система дифференциальных уравнений для описания динамики вращающихся зубчатых колес, в том числе и с несколькими присоединенными массами:
Уравнения движения ведомого зубчатого колеса в своей плоскости
Уравнения движения шлицевого участка вала в плоскости своего поперечного сечения
Уравнения вращения присоединенной массы в своей плоскости
Уравнения вращения ведущего зубчатого колеса в своей плоскости
здесь 
,
- соответственно массы ведомого зубчатого колеса и шлицевого участка вала; 
,
-соответственно массовые моменты инерции зубчатых колес и шлицевого участка вала; 
-момент сопротивления вращению ведомого зубчатого колеса; 
-нормальное усилие в зацеплении зубчатых колес в статике. Ниже приводятся результаты расчетов динамики упругой четырех массовой системы со следующими параметрами и исходными данными: радиусы основных окружностей зубчатых колес - 100 мм; длины зубьев зубчатых колес - 50 мм; ширина ступицы зубчатого колеса - 50 мм; длина шпонки - 2 см; удельная (на единицу длины) жесткость зубьев зубчатых колес-160000 кг/см2. участок вала с одной стороны шпоночного соединения по размерам: наружный диаметр- 50 мм; внутренний диаметр - 40 мм; длина вала - 100 мм. Крутящий момент сопротивления вращению ведомого зубчатого колеса - приложен к присоединенной массе. Статическое нормальное усилие в зацеплении зубьев зубчатых колес от действия крутящих моментов-=6000 кг. Контактные жесткости шпонки и ступицы ведомого зубчатого колеса определялись по зависимостям соответственно
; 
где Е – модуль упругости материала деталей; 
и 
- соответственно длины шпонки и ступицы ведомого зубчатого колеса.
Были составлены также уравнения равновесия элементов упругих систем и исследовано возникновение и изменение усилий на шпонки, ступицу и зубья зубчатых колес в условиях вращения в статике при заданных относительных смещениях элементов упругих систем. На рис. 5 показано изменение усилий в шпоночном соединении с одной шпонкой в статике при. заданных смещениях ведомого зубчатого колеса: вдоль горизонтальной оси - 0.0001 см; вдоль вертикальной оси - 0.0001см; и угловом положении шпонки - 0 
градусов, при длине шпонки -2 см. Видно, что все силовые параметры соединения изменяются при вращении: F ox – усилие на вал вдоль горизонтальной оси, F oy - усилие на вал вдоль вертикальной оси, F sh - усилие на шпонку и M z - крутящий момент на валу присоединенной массы. Аналогичные результаты показаны для случая двух диаметрально расположенных шпонок в соединении - рис.6. только в этом случае возбуждение по кручению отсутствует а усилия на вал меняются по второй гармонике. Видно также что шпонки всегда нагружаются знакопеременным усилием в окружном направлении, что может вызывать их износ и усталостные поломки. Поэтому 
шпонки всегда нужно рассчитывать на долговечность по износу и на усталостную прочность.
Были также составлены линеаризированные дифференциальные уравнения для определения собственных частот и собственных форм упругой системы и выяснения как условий резонанса так и возможности возникновения параметрической неустойчивости упругой системы. На рис.7 приведен спектр собственных частот в об/мин для трех массовой упругой системы пары зубчатых колес с одно шпоночным соединением их с валом. Угловое положение шпонки =0 град. длина шпонки - 2 см. Упругая система имеет широкий спектр собственных частот от 500 до 13000 об/мин по различным собственным формам. А на рис. 8 показано изменение собственных частот колебаний (об/мин) упругой трех массовой системы пары зубчатых колес с одним шпоночным соединением с валом и крутильной массой по первой форме колебаний в зависимости от углового положения шпонки при вращении относительно полюса зацепления зубчатых колес. Видно, что собственная частота упругой системы по первой форме меняется за один оборот от 643 до 675 об/мин что равносильно изменению жесткости системы на 10 %. Это при длине шпонки 2 см. При большей длине шпонки перепад жесткостей при вращении шпоночного соединения должен быть больше, что может привести к большей опасности параметрической неустойчивости упругой системы.
Результаты расчетов динамики шпоночных соединений приведены на графиках рис.9, 10 и 11. На рис. 9 показаны огромные усилия в зубьях зубчатых колес и в опорах вала при частоте вращения ведущего зубчатого колеса n =16742 об/мин одно шпоночной упругой системы с парой зубчатых колес. Длина шпонки 2 см. Коэффициент демпфирования очень большой λ= 4000 кг·сек/см. Режим движения при таком большом демпфировании установившейся с собственными частотами и формами. На рис. 10 показаны также огромные усилия в зубьях зубчатых колес и крутящий момент в приводном вале при частоте вращения ведущего зубчатого колеса n =11094 об/мин двух шпоночной упругой системы с парой зубчатых колес. Длина шпонки 2 см. Коэффициент демпфирования очень большой λ= 4000 кг·сек см. Режим движения даже при таком большом демпфировании неустановившейся. Система резонирует в опорах а присоединенная масса колеблется с частотой в два разе меньше частоты вращения ведомого зубчатого колеса. На рис. 11 показаны усилия в зубьях зубчатых колес и усилия в опорах вала также при частоте вращения ведущего зубчатого колеса n =11094 об мин одно шпоночной упругой системы с парой зубчатых колес. Длина шпонки 2 см. Коэффициент демпфирования небольшой λ= 0.5 кг·сек/см. Режим движения установившейся и в основном вынужденный. Система не резонирует. Упругая система колеблется в основном по первой гармонике но в опорах вала проявляется вторая гармоника. Видна большая разница в динамике системы при замене одно шпоночного соединения на двух шпоночное и наоборот. В приведенных случаях резонансы параметрические, так как элементы упругой системы колеблются с собственными частотами очень далекими от частоты вращения ведомого зубчатого колеса, что, естественно, затруднит на практике поиск источников возбуждения колебаний.
В результате всех этих исследований установлено:
1. шпоночные соединения как с одним так и с двумя шпонками могут быть мощными источниками как вынужденных колебаний упругих систем с зубчатыми колесами, так и резонансов и параметрической неустойчивости их; 2. шпоночные соединения с тремя и больше шпонками расположенными равномерно по окружности посадочной поверхности вала, при условии что они выполнены абсолютно одинаковым, не возбуждают упругие системы. 3. при любом количестве шпонок в соединении они всегда подвержены знакопеременному нагружению в окружном направлении, что естественно, может приводить их к износу и усталостному повреждении даже в условиях статического
нагружения упругой системы. 4. Влияние неточностей изготовления и расположения шпонок по окружности требует дополнительного исследования.
Основные порталы (построено редакторами)